Образование вариационных рядов

Самым популярным методом статистики в практике физиче­ской культуры и спорта является метод средних величин, который состоит из трех основных этапов: 1) образование вариа­ционных рядов на базе исходной статистической совокупности; 2) определение параметров вариационных рядов, характеризую­щих совокупность без потерь информации; 3) практическую реа­лизацию найденных параметров.

Пример 2.1. У 43 легкоатлетов при выполнении старта с пос­ледующим бегом на 6 м измерена величина стартовой реакции (с):

1,25 1,36 1,38 1,32 1,32 1,36 1,40 1,30

1,38 1,30 1,40 1,36 1,42 1,45 1,38 1,36

1,42 1,38 1,32 1,25 1,38 1,36 1,30 1,40

1,32 1,36 1,45 1,38 1,42 1,40 1,36 1,42

1,38 1,40 1,36 1,30 1,32 1,36 1,38 1,42

1,32 1,25 1,30

Статистические совокупности предполагают большие массивы чисел: чем больше исходных данных, тем точнее конечный ре­зультат. В принципе практические совокупности имеют объем от 30 до 200 ед. Однако в практике спорта есть свои особенности.

Во-первых, на практике по определенному виду спорта чем­пионов бывает ограниченное количество (8 —10 человек). В этом случае используют статистические методы на малых совокупно­стях, справедливо полагая, что лучше установить закономерность на малой совокупности, чем вообще ее не иметь.

Во-вторых, в практике спорта не только спортсмены, но и сами явления бывают уникальны, поэтому совокупности могут быть малыми. Как бы там ни было, но принцип действия метода средних величин остается одинаковым и для больших, и для малых совокупностей.

Пример 2.1 представляет собой серию однотипных измерений. Полученная на практике и представленная выше группа бессис­темных чисел должна быть преобразована в систему, т. е. совокуп­ность связанных между собой показателей, характеристики кото­рой дадут представление о всей системе, а через нее — и о группе исходных данных.

С целью получения такой системы осуществим операцию ран­жирования.

Ранжирование — это операция расположения чисел в порядке или возрастания, или убывания.

Для примера 2.1 операция ранжирования по возрастанию чисел такова:

1,25	1,25	1,25
1,30	1,30	1,30	1,30	1,30
1,32	1,32	1,32	1,32	1,32	1,32
1,36	1,36	1,36	1,36	1,36	1,36	1,36 1,36 1,36
1,38	1,38	1,38	1,38	1,38	1,38	1,38 1,38
1,40	1,40	1,40	1,40	1,40
1,42	1,42	1,42	1,42
1,45	1,45	1,45

Теперь несложно увидеть, что большая совокупность не подда­ется анализу и потому на практике бесполезна.

Максимально упростим ранжированный материал, подсчита­ем количество каждого показателя и выстроим их в столбцы:

xi ni

1,25
1,30
1,32
1,36
1,38
1,40
1,42
1,45

Полученная группа чисел называется вариационным рядом.

Вариационный ряд — это двойной столбец ранжированных чи­сел, где слева стоит собственно показатель — вариант, а справа — его количество — частота.

Сумма частот называется объемом совокупности, т.е. общим чис­лом исходных данных. Сумма всех частот и представляет собой объем совокупности.

Теперь обратимся к символам вариационного ряда. Собственно показатель принято обозначать какой-либо буквой (чаще всего буквой латинского алфавита), а находящийся при ней индекс i указывает на множество показателей данной группы, каждый из которых в соответствии с произведенным ранжированием зани­мает определенное место. Так, вариант 1,25 в вариационном ряду стоит на первом месте и потому может быть обозначен как х₁ вариант 1,30 — х ₂, вариант 1,32 — х₃ и т.д., последний вариант в ряду — 1,45, соответствующий х₈, также может быть обозначен как х n, т. е. как вариант, стоящий на последнем месте. Таким обра­зом, в столбце хi, находятся числа, каждое из которых имеет опре­деленный порядковый номер i. В целом в этом столбце находятся показатели, отличающиеся порядковыми номерами, — xi.

Если рассматривать вариационный ряд с другим смысловым значением, отличным от вышеприведенного, следует обозначить его, например, буквой уi. У нового вариационного ряда также будут порядковые номера вариантов. Таким образом, столбцы варианта различных рядов могут быть представлены как xi, yi, zi и т.д.

Столбец вариационного ряда, содержащий частоты, обознача­ется как n i, и отражает наличие частот, стоящих в соответствии с ранжированием: на первом месте n1 = 3, на втором — n₂ = 5 и т.д. до л₈ = 3, который может быть представлен как nn т. е. как показа­тель, стоящий в данном ряду на последнем месте.

Объем совокупности приведенного ряда n= 43 обозначается без индекса одной буквой, так как для ряда характерно един­ственное число объема совокупности, не имеющее никакого пе­речисления.

Для найденного вариационного ряда характерно то, что в от­личие от группы первоначально измеренных показателей ряд пред­ставляет собой математическую систему, т. е. группу чисел, свя­занных между собой.

Проще всего эта связь наблюдается через объем совокупности, который представляет собой сумму частот. Другими словами, час­тоты, стоящие в ряду, не произвольны и в сумме показывают объем совокупности. Если представленный ряд является матема­тической системой, то эту систему можно охарактеризовать сле­дующими показателями:

- средняя арифметическая х;

- дисперсия σ²;

- среднее квадратическое отклонение σ;

- коэффициент вариации v.

Существуют и другие характеристики ряда, но они не рассмат­риваются здесь, так как не нашли своего практического примене­ния в исследованиях ФКС.

Перейдем к определению показателей x, σ², σ и v.

Средняя арифметическая величина х — показатель среднего уровня, самого типичного и характерного для всего ряда — опре­деляется по формуле

n

∑ xi ni (2.1)

x = 1

n

где х, — вариант ряда; п, — частота ряда; л — объем совокупности.

Суммой ∑ принято обозначать суммирование тех данных, которые стоят справа от него. Нижние и верхние показатели 2, указывают, с какого числа следует начать сложение и какими показателями его закончить. Так, ∑ xi обозначает, что необходимо сложить все х, имеющие порядковые номера от 1 до 7. Знак ∑ xi показывает суммирование всех х от первого до последнего показа­теля.

Таким образом, вычисления по формуле (2.1) предполагают следующий порядок действий.

1. Умножают каждый вариант х i,- на соответствующую частоту ni,.

2. Суммируют все полученные произведения, т.е. ∑ xi ni.

3. Найденную сумму ∑ xi ni. делят на объем совокупности n.

Для удобства и наглядности работы с показателями действия необходимо составить таблицу, так как сложению подлежат xi, ni, перебираемые от первого до последнего числа.

Используя данные примера 2.1, составим табл. 2.1.

Средняя арифметическая определяется по формуле (2.1):

Таблица 2.1

Дата добавления: 2015-07-15