Распределения

№ п/п	хi,	ni,	хi,пi,	хi,-X	(х,-X)^2	(хi-X)^2пi	t = xi-X σ	f(t)	kn/ σ	f(k) округ­ленно
	9,4		9,4	-0,8	0,64	0,64	-1,82	0,0761	2,15
	9,6		48,0	-0,6	0,36	1,80	-1,36	0,1582	4,46
	9,8		58,8	-0,4	0,16	0,96	-0,91	0,2637	7,44
	9,9		108,9	-0,3	0,09	0,99	-0,68	0,3166	8,93
	10,2		122,4	0,0	0,00	0,00	0,00	0,3989	11,23
	10,3		103,0	од	0,01	0,10	0,23	0,3885	10,96
	10,5		73,5	0,3	0,09	0,63	0,68	0,3166	8,93
	11,0		88,0	0,8	0,64	5,12	1,92	0,0761	2,15
	11,2		22,4	1,0	1,00	2,00	2,27	0,0303	0,85
Всего	—		634,4	—	—	12,24	—	—	—

X = 634,4 ≈ 10,2 H; σ = 12,24 ≈ 0,197 H²

62 62

σ= √0,197 ≈ 0,44 H.

Объем выборки п = 62; σ_х = 0,44 Н.

Величину интервала k выбираем приближенно — по характе­ру вариационного ряда. В примере 2.12 удобно выбрать интервал k = 0,2. В таком случае величина

kn = 0,2 · 62 ≈ 28,2

σ 0,44

В столбце f(k), представленном в табл. 2.25, произведено ок­ругление чисел, так как частоты измеряются в целых числах.

Сумма теоретических частот п = 56 не совпала с суммой эмпи­рических частот п = 62, что свидетельствует о малой выборке.

Теперь рассмотрим, подчиняется ли полученное теоретичес­кое распределение как некий закон распределения исходных дан­ных нормальному закону распределения. С этой целью воспользу­емся специальными статистическими приемами, называемыми кри­териями согласия. Самым популярным из них является критерий χ² Пирсона, который определяется по формуле

χ² = ∑( ni - ni ⁰) (2.13)

ni ⁰

где ni — эмпирические частоты; ni ⁰ — теоретические частоты; п — объем эмпирической совокупности.

Теоретический критерий χ² Пирсона определяется с помощью таблицы приложения 2. Для того чтобы воспользоваться этой таб­лицей, нужно определить число степеней свободы, т. е. число, ука­зывающее на количество взаимно связанных параметров.

Так, в примере 2.12 рассмотрены три взаимосвязанных па­раметра, а именно:

- найдена средняя арифметическая величина X, связывающая все исходные данные;

- определено среднее квадратическое отклонение σ, указыва­ющее на рассеивание исходных данных;

- установлен объем совокупности п = 62.

Число степеней свободы k = 6, так как: всего вариантов, свя­занных между собой, было 9 (от 9,4 до 11,2); а число связей рав­но 3, что установлено выше, следовательно, число степеней сво­боды k = 9 - 3 = 6.

В таблице приложения 2 по показателям χ² и k находим величи­ну вероятности того, что любое xi распределенное по закону χ², примет значение меньшее, чем найденное χ².

Если выяснится, что найденное в таблице число больше ве­личины 0,01, расхождения между практическими ni и теоретиче­скими ni ⁰частотами следует считать незначительным, и эмпири­ческое распределение согласуется с нормальным законом рас­пределения. По данным примера 2.12 продолжим вычисления (табл. 2.26).

Таблица 2.26

Расхождение между теоретическими и практическими частотами.

Вариант 1

№ п/п	хi	ni	ni ^0	ni - ni ^0	(ni - ni ^0)^2	(ni - ni ^0 ) ²/ ni ^0
	9,4			-1		0,50
	9,6					0,25
	9,8			-1		0,14
	9,9					0,44
	10,2					0,09
	10,3			-1		0,09
	10,5			-2		0,44
	11,0					18,00
	11,2					1,00
Всего	—			—	—	20,95

По таблице приложения 2 находим

χ² = 20,95 ≈ 21,0 и k =6.

Отсюда

P (χ² >χо²) = 0,0018.

Величина Р(χ²) = 0,0018 < Р(χ²) = 0,01, поэтому исходный эмпирический ряд не соответствует нормальному закону распре­деления.

Заметим, что резкое увеличение величины χ² произошло из-за предпоследней частоты ni, = 8, которая составила существенное различие с теоретической частотой ni = 2.

Попробуем изменить исходный ряд так, чтобы приблизить ni к ni ⁰ (табл. 2.27 и 2.28).

Таблица 2.27

Дата добавления: 2015-07-15