Читайте также: |
|
V. Ряди Фур’є
Спочатку нагадаємо означення періодичності функції:
Означення. Функція називається періодичною, якщо існує таке число , від додавання (або віднімання) якого до значення функції не зміниться:
.
Найменше додатне число, яке має таку властивість, називається періодом і позначається буквою :
.
Рис. 1.
Відмітимо властивість визначеного інтеграла, яка пов’язана з періодичністю функції.
Теорема 1. Для всякої періодичної функції періода виконується рівність
, (1)
де - довільне число.
Для доведення використаємо властивість адитивності визначеного інтеграла:
. (2)
В третьому інтегралі зробимо заміну , ,
якщо , то , якщо , то . Отже,
.
Таким чином, останній доданок в правій частині (2) знищується з першим доданком, і тому справджується рівність (1).
Теорема 2. Нехай функція задана на відрізку і є парною , тоді
. (3)
Для доведення необхідно розглянути рівність
,
і в першому інтегралі зробити заміну .
Теорема 3. Нехай функція задана на відрізку і є непарною , тоді
. (4)
Дата добавления: 2015-07-17; просмотров: 182 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Деякі застосування рядів | | | Ряди Фур’є для періодичних функцій |