Читайте также:
|
|
Теорема. Нехай задано два ряди. (1) і (2), причому члени першого ряду не перевищують відповідних членів другого ряду, тобто для довільних n
. (3)
Тоді:
1) із збіжності ряду (2) випливає збіжність ряду (1);
2) із розбіжності ряду (1) випливає розбіжність ряду (2).
Доведення. 1) Нехай ряд (2) збіжний, тобто існує границя
.
Згідно з нерівністю (3) для часткових сум ряду (1) маємо нерівність
.
Із додатності рядів очевидно, що часткові суми монотонно зростають. Скористаємось ознакою існування границь: якщо послідовність монотонно зростає і обмежена зверху, то вона має границю.
Поскільки і , то існує . Отже, ряд (1) збіжний.
2) Якщо ж додатний ряд (1) розбіжний, то при , а, значить, із нерівності , тобто ряд (2) теж розбіжний.
Приклади. Дослідити збіжність рядів.
1. .
2. .
3. .
4. .
Розв’язання. 1. Поскільки , , …, , , … то із збіжності ряду (див. ряд (5) в 1.) за ознакою порівняння випливає збіжність ряду
,
приписавши в останньому ряді спереду доданок 1, отримаємо початковий ряд , який збігається.
2. Поскільки а праві частини цих нерівностей є членами гармонічного ряду , який розбігається, то за ознакою порівняння ряд теж розбігається.
3. Із нерівності і збіжності отримуємо збіжність ряду .
4. Аналогічно попередньому маємо , якщо . Отже, ряд теж збіжний при .
В більшості випадків зручнішою може бути гранична ознака порівняння, яку подаємо без доведення.
Теорема (гранична ознака порівняння). Нехай задані ряди (1) і (2).
Якщо існує скінчена границя відношення загальних членів, відмінна від 0, тобто
,
то обидва ряди ведуть себе однаково, тобто або одночасно збігаються або одночасно розбігаються.
Приклади. Дослідити збіжність ряду.
1. . 2. .
Розв’язання. 1. З теорії границь відомо, що при многочлен веде себе так, як його найстарший доданок, тобто при . Тому , а . Візьмемо , а .
Розглянемо
.
Відповідно теоремі обидва ряди і збіжні, бо збіжність другого ряду вже доведена.
2. Поскільки при , а , то .
Тому знаходимо границю
.
Ряд - є гармонічним, розбіжним, тому розбіжним є і даний ряд.
Дата добавления: 2015-07-17; просмотров: 190 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Властивості збіжних рядів | | | Ознака Даламбера |