Неоднородные риски

При объединении групп с различными рисками (р ₁=0.01; р ₂=0.02) ситуация несколько усложняется, здесь возникает аналог схемы взаимного оказания услуг по перестрахованию. Идея в том, что в обеих группах пики выплат возмещений, как правило, приходятся на разные моменты времени. Это несовпадение и позволяет «перекачивать» средства из одного портфеля в другой, т.е. иметь меньший суммарный начальный резерв.

Если дело происходит в рамках одной страховой компании, то не важно, где какой резерв создается, поскольку резервы – общие. И не важно, кто кому на какую сумму оказывает услуги, и каков риск каждой подгруппы. То есть ответственность первого портфеля по отношению ко второму может не совпадать с противоположной ответственностью.

Совсем иначе обстоит дело в том случае, если две различные компании оказывают друг другу услуги по взаимному перестрахованию. Здесь есть только один очевидный (но практически не встречающийся) вариант с равной ответственностью. Если оба портфеля абсолютно одинаковы (n _l= n ₂; p _l= p ₂), тогда и λ₁=λ₂.

Во всех остальных случаях (n _l¹ n ₂ или p _l¹ p ₂, даже при λ₁¹λ₂) необходимо рассчитывать условия договора, обеспечивающие соответствие между передаваемыми друг другу рисками размерами оплаты этой передаваемой ответственности. И решение этой задачи не сводится к арифметической разности цен перестрахования (но в первом приближении, для оценки разбалансированности взаимных обязательств этот подход вполне приемлем).

Пример 35. Проиллюстрируем объединение двух пуассоновских потоков с различными значениями вероятностей p ₁ и p ₂.

Есть два потока (500; 0.02; 10) и (400; 0.01; 4). Отметим, что распечатки этих двух потоков в отдельности ранее уже проанализированы: второй поток – явно, а первый имеет те же значения вероятностей, как и поток (1000, 0.01, 10), потому что в пуассоновских потоках все определяется значением параметра λ а у этих двух потоков λ=10.

Для первого известны вероятности P_l(m _l= k _l) k _l=0, l, 2, …, 21; а для второго, соответственно, P₂(m ₂= k ₂) k ₂=0, l, 2, …, 11. Последующие вероятности можно считать нулевыми. Составляем матрицу Р₁·Р₂ размера 21´11. А затем с помощью этой матрицы находим вероятности сложных событий.

P(m _l+ m ₂= k)=ΣP((m _l= k _l)Ù(m ₂= k ₂)), k ₁+ k ₂= k.

Например, если k =12, то следует учесть, что не имеет смысла рассматривать k ₂>11 (вероятность такого события практически равна 0). Тогда получим:

P(m _l+ m ₂=12)=P((m _l=12)Ù(m ₂=0))+P((m _l=11)Ù(m ₂=1))+…+P((m _l=1)Ù(m ₂=11))= =0.095·0.018+0.114·0.073+…+0.019·0.030+0+0= =0.002+0.008+0.018+0.025+0.023+0.015+0.007+0.002+0.001=0.101

Итак, P(m _l+ m ₂=12)=0.101. Аналогично определяются все остальные вероятности. (Если теперь "вспомнить", что для пуассоновских потоков можно просто складывать интенсивности, то получим: P(m =12/λ=14)=0.098, расхождение объясняется округлениями на промежуточных этапах). Целью данного примера была иллюстрация принципа объединения.

Замечание. В непрерывном случае сумма превращается в интеграл, а вся операция получила название «свертки функций», которая широко ис­пользуется в актуарных расчетах.

Теперь можно определить более интересную для страховщика вероятность того, что число случаев в двух потоках вместе не превысит заданного числа, P(m _l+ m ₂< k)=ΣPr{ m _l+ m ₂= i }; i =0, l, …, k. Это и есть вероятность неразорения.

Пример 36. Далее можно составить таблицу, аналогичную таблице для одного потока, где будут указаны:

k, P(m = k), P(m < k), k ·P(m = k),

Это позволит решить аналогичную задачу, то есть при различной надежности (вероятности неразорения) найти величину начального резерва и плату за перестрахование.

	k 2
k 1	P1/P2	0.018	0.073	0.146	0.195	0.195	0.156	0.104	0.059	0.030	0.014
	0.002
	0.008
	0.019									0.001
	0.038								0.002
	0.063							0.007
	0.090						0.015
	0.113					0.023
	0.125				0.025
	0.125			0.018
	0.114		0.008
	0.095	0.002
	0.073
	0.052
	0.035
	0.022
	0.013
	0.007
	0.004
	0.002
	0.001

Отметим, что числа внутри таблицы характеризуют плотность двумерного распределения.

Замечание. Рассмотренные примеры показывают, что задача определения тарифов не является единственной для актуария. Это даже не основная его задача. Она занимает небольшую часть его рабочего времени. И решается единовременно при установлении тарифов на следующий финансовый год. Здесь учитываются и собственные данные и рекомендации «страхнадзора» или актуарного центра. Сравниваются свои тарифы со средними на рынке и оцениваются позиции своей компании. Выводы по этому разделу актуарных исследований являются одним из факторов для выработки рекомендаций по политике компании на рынке.

Но для решения этой (глобальной для компании) задачи более важной является оценка вероятности разорения компании и тесно связанная с этим оценка динамики активов. Данную задачу необходимо решать периодически, причем тем чаще, чем менее устойчиво положение компании.

Актуарий обязан немедленно информировать правление компании о приближении величины активов к критическому рубежу, а также о выявленной устойчивой тенденции к снижению активов. При этом он обязан дать объяснение причин такого снижения и свои рекомендации по стабилизации.

Активы могут снижаться вследствие определенных действий компании на страховом рынке (предпринятой попытке завоевания новой ниши и связанного с этим снижения цен на свои услуги, открытия филиалов на новой для себя территории, взятия на себя обязательств другой компании из-за объединения или по договору о перестраховании и т.д.).

В таких случаях подобная тенденция предусмотрена при составлении соответствующего плана и тогда актуарию надо только следить за отклонениями фактического положения дел от прогнозируемого.

Ситуация резко осложняется при возникновении непредусмотренной тенденции. Здесь особенно актуальны оперативная диагностика причин и выработка предложений по стабилизации. На практике это может быть вызвано, например, неоправданным принятием на страхование некоторых рисков.

Естественно, очень важной является задача исследования зависимости вероятности разорения за определенный период от начальной величины резерва. Временной интервал в страховании может быть достаточно велик (несколько лет), но он всегда конечен, поскольку на бесконечном временном интервале любая компания разоряется с вероятностью 1. Решение этой задачи позволяет планировать поведение компании на страховом рынке.

Дата добавления: 2015-07-17