Анализ поведения страховщика на страховом рынке

Более сложные задачи

Анализ поведения страховщика на страховом рынке

В одном из ранее рассмотренных примеров (12) страховщик не смог решить свои проблемы за счет средств, собранных в виде премий.

Напомним: n =1000, р =0.1; показано: M(m)= np =100, D(m)= npq =90, s _m =9.49, тогда при q=0.1 P(m < np (l+q)=l10)=1–0.145=0.855, а если P(m <l15.6=116)=0.95, то Q=0.156>0.1.

Если на рынке установилась средняя рисковая надбавка 10%, то произвольно повысить ее до 16% страховщик не может из-за конкуренции. Поэтому он вынужден для повышения своей надежности либо вкладывать свои средства (т.е. капитал) – создать начальный резерв, либо прибегнуть к перестрахованию.

Пример 25. Рассмотрим первую возможность. Собранные нетто-премии обеспечивают возможность выполнить свои обязательства по выплате возмещений, если число страховых случаев не превысит 110. А для надежности 95% необходимо иметь возможность оплатить случаи до 116-го включительно. Отметим, что 116-й случай либо произойдет, либо нет, поэтому необходимо округлить 115.6 до ближайшего целого большего числа.

Итак, страховщику не достает средств для выплаты 6 страховых случаев, т.е. ему нужен капитал в размере 6 страховых возмещений. Например, если страховая сумма равна 500, то капитал, при котором гарантируется заданная надежность, равен 6·500=3000, а не 5.6·500=2800.

Пример 26. Если у страховщика своих средств для резерва нет, (или он считает целесообразным пустить свои средства в оборот), заключается договор о перестраховании. Распределим зоны ответственности.

При 0< m < np (1+q)=110 страховщик выплачивает возмещение за счет собранных нетто-премий. При 110= np (l+q)< m < np +st=116 ответственность делится между страховщиком и перестраховщиком. Первый выплачивает фиксированное число возмещений: пр (1+q)=110, а второй – все остальное: m - np (l+q)= m –110. Наконец, при m > np +st=116 риск не обеспечен, это и составляет предпринимательский риск страховщика.

Отметим, что левая граница ответственности перестраховщика может быть сдвинута. За перестрахование надо платить, своих средств у страховщика нет, поэтому он пытается расплатиться деньгами своих клиентов.

Он собрал взносов на сумму: 110·500=55000, а средние ожидаемые выплаты составляют 100·500=50000, поэтому ожидаемая прибыль (до перестрахования) составит 5000. Страховщик делится ожидаемой прибылью с перестраховщиком для повышения своей надежности. Но это означает, что собранных средств недостаточно для оплаты возмещения, по крайней мере, 110-го случая.

Итак, весь риск X можно разбить на 3 части: Y – риск страховщика, Z – риск перестраховщика, W – необеспеченный риск. Очевидно, X=Y+Z+W, тогда M(X)=M(Y)+M(Z)+M(W); но с дисперсиями это не так. Надо выбрать аппроксимацию. Поскольку р =0.1>>0, то применить закон Пуассона нельзя, но допустима нормальная аппроксимация.

Однако надо быть готовым к появлению неточностей, вызванных этим. Например, потерей "хвостов" нормального закона, невозможностью принять отрицательные значения, заменой дискретного распределения непрерывным, различием результатов при использовании локальной теоремы Лапласа и интегральной теоремы Лапласа и т.д. Наконец, есть и вычислительные погрешности.

Это обстоятельство иллюстрирует сложность актуарных задач. В учебном курсе демонстрируется лишь принципиальный подход. На цивилизованном страховом рынке, в условиях жесткой конкуренции выигрывает тот, кто считает точнее!

Итак, надо найти М(Х), M(Y), M(Z) (и возможно, M(W)).

Для нормального закона распределения X ~ N(m, s) плотность:

;

выполняется условие:

;

тогда понятно, что при сужении интервала интегрирования до (0, n) интеграл от положительной функции уменьшится, поэтому математическое ожидание всего риска X будет несколько меньше, чем μ= np.

Для дальнейшего нам понадобится , при разных a, b. Обозначим этот интеграл через J(a, b). Итак, установлено, что

М(Х)=J(0, n)@ np (но< np);

M(Y)=J(0, np + np q)+(np + np q) =J(0, 110)+110 ;

M(Z)=J(np + np q, np +st)–(np + np q) =J(110, 116)-110 ;

M(W)=J(np +st, n)=J(116, 1000).

Для вычисления интеграла типа J сделаем замену переменных, традиционную при работе с нормальным распределением: t = (x – np)/s. Тогда: x = np +s t, dx = s– dt, t _l = (a–np)/s, t ₂ = (b – np)/s; следовательно:

Итак, необходимо только вычислить t _l, t ₂ и использовать свойства экспоненты и функции Лапласа.

1) M(X)=J(0, n)=J(0,1000); на практике: n >> np (1000>>100), и при большом портфеле n: np >>s =(npq)^1/2 (100>>9.49), поэтому t _l =(0– np)/s = – np /s = –100/9.49= –10.53<–5; t ₂=(n –
– np)/s = 900/9.49 = 95>>5, т.е. F(t _l) @ –1, F(t ₂) @ +1; т.е. M(X) @ np = 100.

2) M(Y)=J(0, np + np q)+(np + np q) =J(0, 110)+110 =?

t _l = – np /s = –10.53; t ₂ = np q/s = 1.053, F(t _l) = –1, F(t ₂) = 0.708;

J = 50·(1+0.708)+9.49/2.51·(е ^–55.1– е ^–0.555) = 85.4–3.78·0.575 = 85.4–2.17=83.23;

Итак, риск страховщика после перестрахования составил: М(Y) = 83.23+10.56 = 93.79<100.

3) M(Z) = J(np + np q, np +s t)–10.56 = J(l10, 116)–10.56. Здесь: t _l =1.053; t ₂= t = 1.645;

J = 50·(F(1.645) – F(1.053))+3.78·(е ^–0.555– е ^–1.353) = 50·(0.90–0.708)+3.78(0.575–0.258)=9.6+1.2=10.8. Следовательно: M(Z) = 10.8–10.56 = 0.24.

На практике необходимо указать, кто возмещает 110-й случай. Поэтому: M(Z)= =J(110.01; 116)–10.56.

Риск перестраховщика достаточно мал, что объясняется сравнительно большим n. Интересно, что суммарный риск страховщика и перестраховщика равен 93.79+0.24= =94.03<100. Это из-за отказа от 100% надежности. Разность 5.97 должна составить необеспеченный риск.

4) M(W)=J(np +s t, n)=J(l16, 1000)=50(1–F(1.645))+3.78(е ^–1.353–е^–100)=50(1-0.9090)+ +3.78/3.87= 4.55+0.98= 5.53, т.е. М (W)= 5.53.

Подведем итоги: 93.79+0.24+5.53=99.56<100. Несовпадение объясняется приведенными в начале раздела факторами. Отметим, что страховщик может рассчитывать на увеличение своей ожидаемой прибыли до 110-93.79=16.21 возмещений (8100). А за перестрахование придется заплатить всего 0.24·1.15=0.276 у.е. (138), что вполне приемлемо. Разница зачисляется в резерв, что позволит в будущем обойтись без перестрахования (или повысить надежность, или снизить надбавку, повысив тем самым свою конкурентоспособность).

Возможен (но на практике не используемый) "экзотический" перестраховочный договор, где при m > np =110 весь ущерб оплачивает перестраховщик, а страховщик соответственно от выплаты возмещения освобождается. Это приведет к тому, что средний риск страховщика уменьшится на 10.56 (т.е. составит всего 83.23), а средний риск перестраховщика на столько же увеличится (и будет равен 10.8). Естественно, такая ситуация невыгодна обеим сторонам, т.к. существенно увеличивается риск перестраховщика и плата за него.

Виден парадокс: при ответственности перестраховщика за 6 случаев (от 111 до 116), его ожидаемый риск составит 10.8! Кроме того, при приближении числа случаев к 110 (например, 109) у страховщика появляется заинтересованность в том, чтобы произошли еще 2 случая, т.к. если n >110 (например, 111), то весь ущерб оплачивает перестраховщик! Это объясняет, почему такие договора не практикуются.

Понятно, что можно установить нижнюю границу ответственности перестраховщика и не 110, тогда будет другая плата за договор. Перебрав все возможные варианты, стороны выбирают наиболее приемлемый.

Отметим, что в принципе возможно выполнение расчетов и на локальной теореме Лапласа. Без использования ПЭВМ этот путь более трудоемкий, но при наличии соответствующих программ – возможен. Но результаты будут несколько иными.

Пример 27. Составим вспомогательную таблицу, где указаны:

m	t =(m – np)/σ	f (t)	p (m)= f (t)/σ
		0.3989	0.042
	0.11	0.3965	0.042
	0.21	0.3902	0.041
	0.32	0.3790	0.040
	0.42	0.3653	0.038
	0.53	0.3467	0.037
	0.63	0.3251	0.034
	0.74	0.3034	0.032
	0.84	0.2803	0.029
	0.95	0.2541	0.027
	1.05	0.2299	0.024
	1.16	0.2036	0.021
	1.26	0.1804	0.019
	1.37	0.1561	0.016
	1.48	0.1334	0.014
	1.58	0.1145	0.012
	1.69	0.0957	0.010

Для дальнейших расчетов понадобится еще одна таблица, где по строкам указана нижняя граница ответственности перестраховщика, а по столбцам – число фактически предъявленных требований (и соответствующие вероятности).

P(k = m Φ)	0.042	0.042	0.041	0.040	…	0.016	0.014	0.012	0.010
m н\ m Φ
…				…

Для подсчета среднего риска перестраховщика при каждом уровне удержания (строке) найдем сумму произведений чисел в этой строке (объем передаваемого риска) на соответствующую вероятность, (например, нижняя граница равна 100):

0.042·1+0.042·2+0.041·3+…+0.014·15+0.012·16+0.010·17=3.405.

Это и будет ожидаемый риск перестраховщика, если его нижняя граница ответственности равна 100, а верхняя 116 (17 единиц).

Получим соответственно:

3.405

2.927

2.491

2.097

…

0.120

0.068

0.032

0.010

(Отметим, что в каждой строке эта сумма уменьшается на сумму вероятностей от этого столбца до последнего, например, первая сумма равна:

0.042+0.042+0.041+…+0.014+0.012+0.010=0.478; следующая сумма на 0.042 меньше, т.е. 0.436 и т.д. Эти суммы:

0.478

0.436

0.394

0.353

…

0.052

0.036

0.022

0.010

могут быть использованы для упрощения расчетов.)

В частности, если ответственность перестраховщика от 111 до 116, то его средний риск равен 0.283, что несколько отличается от найденного ранее 0.24, что объясняется различием подходов в интегральной теореме Лапласа (для непрерывной случайной величины) и в локальной теореме (для дискретной величины).

Дата добавления: 2015-07-17