Использование процедуры свертки

Рассмотрим применение свертки в актуарных расчетах.

Пример 32. Портфель из четырех одинаковых договоров, согласно которым возможна (условно) компенсация полного ущерба в 2 у.е. с вероятностью 0.1 или частичного ущерба в 1 у.е. с вероятностью 0.1.

Найти рисковую премию и нетто-премию в этом портфеле.

С рисковой премией трудностей не возникает. Ожидаемый ущерб равен: 2·0.1+1·0.1+0·0.8=0.3. Следовательно, страховщик соберет суммарную рисковую премию 1.2, что позволит ему за счет взносов клиентов выплатить возмещение только для одного страхового случая с частичным ущербом.

Для оценки устойчивости этого страховщика следует оценить распределение суммарного ущерба по всем четырем договорам.

Есть 4 независимые одинаково распределенные случайные величины. При анализе будем последовательно переходить от одной величины к двум, затем от двух к трем, и т.д.

Итак, для двух величин возможны 9 различных вариантов:

	X1=0	X1=1	X1=2
X2=0	0.64	0.08	0.08
X2=1	0.08	0.01	0.01
X2=2	0.08	0.01	0.01

Преобразуем эту таблицу в таблицу распределения новой случайной величины: X₁+X₂.

X1+X2
Р	0.64	0.16	0.17	0.02	0.01

Теперь построим новую таблицу, добавив величину Х_З.

Р3/Р(1+2)	0.64	0.16	0.17	0.02	0.01
0.8	0.512	0.128	0.136	0.016	0.008
0.1	0.064	0.016	0.017	0.002	0.001
0.1	0.064	0.016	0.017	0.002	0.001

Поэтому для распределения X₁+X₂+Х₃ имеем таблицу:

(k)
P(k)	0.512	0.192	0.216	0.049	0.027	0.003	0.001

Аналогично построим матрицу для присоединения Х₄.

0.4096	0.1536	0.1728	0.0392	0.0216	0.0024	0.0008
0.0512	0.0192	0.0216	0.0049	0.0027	0.0003	0.0001
0.0152	0.0192	0.0216	0.0049	0.0027	0.0003	0.0001

Тогда распределение X₁+X₂+X₃+X₄ имеет вид:

.4096	0.2048	0.2432	0.0800	0.0481	0.0100	0.0038	0.0004	0.0001

Накопленная вероятность соответственно равна:

0.4096

0.6144

0.8576

0.9376

0.9857

0.9957

0.9995

0.9999

1.0

Отсюда видно, что при собранной суммарной рисковой премии 1.2 вероятность неразорения составит всего 0.6144 (менее 62%), что недопустимо мало. Следовательно, необходимо включить в премию еще и рисковую надбавку. Если страховщик соберет суммарные взносы в размере 3 у.е., то он обеспечит вероятность неразорения около 94%, что вполне приемлемо. Отметим, что если страховщик будет ориентироваться на вероятность и захочет обеспечить вероятность неразорения не ниже 90%, то ему потребуется собрать те же 3 у.е. Этот результат означает, что премия должна составлять не 0.3 у.е., а 3/4 = 0.75 у.е., что недопустимо много. Клиент не согласится столько платить.

Если клиент согласен платить не 0.3, а 0.5, то собранные премии позволяют обеспечить надежность более 85%, что уже близко к норме. Здесь рисковая надбавка составляет 2/3 от рисковой премии. Многовато! Это – следствие малого портфеля и довольно высокой вероятности.

Отметим, что этот же результат может быть получен с помощью другого аппарата, основанного на производящих функциях:

.

Совпадение производящих функций двух случайных величин означает совпадение распределений этих величин. Это следует из разложения в ряд Тейлора:

, P(n)=коэффициент при Zⁿ.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины n с производящей функцией f (z) выражаются через производные этой производящей функции в точке 1.0: f '(l)=M(n), f "(l)=M[ n ²]–M[ n ]; D[ n ]= f "(l)+ f '(l)–[ f '(l)]².

Производящая функция двух независимых случайных величин равна произведению их производящих функций.

Итак: f (z)=0.8· z ^o+0.1· z ¹+0.1· z ². Тогда для суммы: f _l(z)· f ₂(z)· f ₃(z)· f ₄(z)=(f (z))⁴= =0.1⁴·(8+ z + z ²)⁴=…=10^(–4)·(4096+2048 z +2432 z ²+800 z ³+481 z ⁴+100 z ⁵+38 z ⁶+4 z ⁷+ z ⁸).

Отбирая коэффициенты при степенях z, получаем искомые вероятности (те же самые, которые получили ранее!).

Дата добавления: 2015-07-17