Пример комплексного решения основных актуарных задач (надбавка, начальный резерв, перестрахование, вероятность разорения)

Пример 28. Пусть портфель состоит из 1000 договоров с одинаковыми вероятностями страхового случая 0.01 и страховыми суммами в 1 условную единицу. Нормальный закон неприменим.

Тогда при пуассоновской аппроксимации получим:

λ= n · p =10, е^–λ=0.0000454. Далее программа в цикле для k =0, 1, 2,… рассчитывает величины: P _k, Σ(P _k), k ·P _k. Работа заканчивается при Σ(P _k)>0.999.

n =1000, p =0.01, λ= n · p =10, е^–λ=4.54·10^–5.

k	P k	Σ(P k)	k ·P k
	4.54·10^–5	4.54·10^–5
	4.54·10^–4	5·10^–4	4.54·10^–4
…	…	…	…
	0.113	0.333	0.900
	0.125	0.458	1.126
	0.125	0.583	1.251
	0.114	0.697	1.251
	0.095	0.792	1.137
	0.073	0.864	0.948
	0.052	0.917	0.729
	0.035	0.951	0.521
	0.022	0.973	0.347
	0.013	0.986	0.217
	0.007	0.993	0.128
	0.004	0.997	0.071
	0.002	0.998	0.037
	0.001	0.9993	0.019

Из таблицы видно, что средний размер выплат равен 10, и что с вероятностью 0.58 фактический размер выплат не должен превзойти это значение. Пусть надбавка составляет 10%, тогда будет собрано в виде премий не 10 у.е., а 10+1=11 у.е. Это позволит поднять надежность до 70%. Однако вероятность разорения остается слишком большой – 30%, что неприемлемо, а возможность повысить надбавку исчерпана из-за конкуренции. Поэтому компания вынуждена использовать собственные средства.

Например, если начальный резерв составит 4 у.е., то он повысит надежность до 95%. Этого явно недостаточно. Но с другой стороны, начальный резерв уже составил 4/10 (40%) от собранных премий. Повышать его дальше нецелесообразно. Отметим, что за счет резерва в 7 у.е. можно повысить надежность до 99%.

(Ранее отмечалось, что добиться 100% надежности практически невозможно. Для этого в данном примере нужен запас в 990 единиц, тогда можно обойтись без надбавки, но когда свои средства в 99 раз превышают собранные взносы, страхование теряет смысл бизнеса и превращается в благотворительность).

Итак, дальнейшее (после 95%) повышение надежности возможно только путем перестрахования. Рассмотрим различные варианты эксцедентного перестрахования.

Перестраховщик берет на себя ответственность за те страховые случаи, обязательства по которым не в состоянии выполнить его клиент (основной страховщик), т.е. за случаи от 16 и далее. Здесь, в принципе, возможны варианты:

– повысить надежность до 0.99 – случаи 16, 17, 18;

– повысить надежность до 0.999 – случаи 16 – 21;

– повысить надежность до 1 – случаи 16, 17, 18, …, 1000 (ранее отмечалась принципиальная невозможность обеспечить 100% надежность, т.е. оплату возмещений всех N случаев).

Сколько должен заплатить страховщик перестраховщику за перераспределение риска в каждом варианте? Для этого надо определить математическое ожидание ответственности перестраховщика.

В первом варианте перестраховщику, возможно, придется выплатить:

– 1 у.е., если будет ровно 16 случаев (вероятность этого 0.0217);

– 2 у.е. 17 0.0128;

– 3 у.е. 18 0.0071;

Имеем дело с тремя несовместными событиями, из которых может одновременно реализоваться не более одного. Поэтому математическое ожидание выплаты равно: 1·0.0217+2·0.0128+3·0.0071=0.0686.

Это и есть рисковая премия за перестрахование. На практике цена перестрахования также включает рисковую надбавку, но есть и скидка, точнее, комиссионные, которые платит перестраховщик своему клиенту (основному страховщику) за то, что тот пришел именно к нему (не надо искать своего клиента). Обычный страховщик сам ищет своего страхователя. В начале, чтобы не загромождать пример, мы будем считать, что эти две составляющие компенсируют друг друга. (Далее это упрощение подвергнется критике).

Во втором варианте сумма несколько увеличится за счет случаев 19-21. К выплатам могут добавиться:

– 4 у.е., если будет ровно 19 случаев (вероятность этого 0.0037);

– 5 у.е. 20 0.0019;

– 6 у.е. 21 0.0009;

получим: 0.0686+4·0.0037+5·0.0019+6·0.0009=0.0983.

В третьем варианте расчеты по данной схеме достаточно громоздки, однако можно рассуждать иначе. Известно, что Σ(k –P k)=λ=10. Поэтому искомая величина может быть представлена в виде:

Σ(k –15)P k =Σ(k ·P k)–15ΣP k =(10–9.13)–15·(1–0.95126)=0.83–0.73=0.10, k =15,17,…,1000

В данном примере цена перестрахования достаточно мала, поэтому возникает возможность переложить на перестраховщика весь риск сверх среднего (10 случаев) и расплатиться с ним за счет рисковой надбавки (то есть без привлечения своих средств). Если это пройдет, то своих денег вкладывать не придется (резерв не нужен). Более того, возможно, даже удастся получить прибыль или снизить рисковую надбавку, и тем самым, свой тариф (повысить конкурентоспособность).

Теперь страховщик рассуждает иначе. Он собирает (исходя из принципа эквивалентности риска) суммарную премию в λ=10 у.е. А весь последующий риск хочет переложить на перестраховщика, который будет оплачивать случаи с 11 по 1000 и в среднем заплатит:

– 1 у.е. (11 случаев) (вероятность 0.1137)

– 2 у.е. 12 0.0948

– Зу.е. 13 0.0729 и т.д.

Аналогично вышеизложенному получим: (10–4.58)–10·(1–0.583)=5.42–4.17=1.25.

Именно эту сумму 1.25 у.е. надо заплатить за перестрахование. Конечно, хотелось бы ее полностью переложить на страхователя, назначив надбавку на безопасность в размере 12.5%, но из соображений конкурентоспособности придется часть этой суммы платить самому. А тогда получится, что в среднем, страховщику не хватит собранных премий на выполнение своих обязательств и оплату услуг перестраховщика. Он будет медленно, но верно разоряться.

Поэтому страховщик вынужден пойти по пути удешевления перестрахования, то есть передать перестраховщику меньшую часть риска (за меньшую плату), а образовавшийся зазор закрыть своими средствами. Подразумевается, что если собранных средств достаточно для выполнения своих обязательств и оплаты перестрахования, то свои средства расходуются и пополняются так, что их величина, в среднем, не убывает.

Итак, в данном примере, поскольку страховщика не устраивают ни вариант передачи на перестрахование всех случаев после 10 (из-за дороговизны), ни вариант передачи всех случаев после 15 (из-за необходимости иметь большой резерв), то остается перебрать промежуточные варианты и выбрать наиболее приемлемый.

Напомним, что если страховщик оставляет себе риск до случая (m >λ) включительно, а все случаи (k > m) передает перестраховщику, то средний риск перестраховщика определяется по формуле:

Чтобы не загромождать текст расчетами, приведем лишь сводные результаты:

					страховщик оплачивает случаи из своих средств или передает перестраховщику
плата	0.837	0.537	0.317	0.180
резерв

Для выбора оптимального варианта надо знать, под какой процент можно разместить свои свободные средства. Если 1 у.е., размещенная под процент, приносит доход больший, чем «экономит» на перестраховании, то надо сокращать свои средства. А иначе, наоборот, увеличивать свои средства, уменьшая оплату перестрахования.

Например, если i >0.3, то (2–l)· i >0.3=(0.837–0.537) и тем более для остальных вариантов, поэтому страховщик оставляет себе риск до 11 случая включительно. Если 0.22< i <0.3, то оставленный риск до 12 случаев, так как (2-l)·i<0.3=(0.837–0.537) и (3–2)· i >0.22=(0.537–0.317).

Очевидно, следующее изменение «стратегии» при 0.137< i <0.22 и, наконец, при i <0.137.

Замечание. В таблице указана величина начального резерва, однако в него включен остаток от надбавки после оплаты услуг перестраховщика. Поэтому собственные средства страховщика, вложенные в резерв, несколько меньше, они соответственно равны: 0.837, 1.537, 2.317, 3.180. Следовательно, при оценке эффективности своих возможных инвестиций страховщик в знаменатель помещает не всю величину резерва, а только свой вклад в резерв, например, (0.837–0.537)/(1.537–0.837)=0.3/0.7=0.43=43%.

То есть границы процентных ставок, определяющие различные стратегии поведения, несколько изменятся.

Замечание. Разумеется, в практических задачах λ не обязано быть целым числом. Тогда возникают некоторые нюансы. Их следует учесть, потому что иначе неточности могут привести не только к техническим ошибкам, но и к неверным, в принципе, выводам. Покажем некоторые моменты.

Пример 29. Пусть λ=6.4, надбавка 10%, тогда всего собрано взносов 6.4·1.1=7.04. Это позволяет выплатить возмещение до седьмого случая включительно. Если страховщик оставляет себе риск до шестого случая включительно, а все следующие (начиная с седьмого) передает на пере­страхование, то для оплаты услуг перестраховщика он располагает суммой 7.04–6=1.04, которой более чем достаточно.

Здесь важно отметить, что страховщик может оставить себе риск меньше, чем собранная рисковая премия (6<6.4), однако, в этом примере (где страховые суммы у всех страхователей одинаковы) оставляемый риск «равен» числу страховых случаев, поэтому должен быть целым числом. Оставленный риск может быть равным даже 5, выгодно ли это страховщику – другой вопрос.

Итак, λ=6.4 означает только, что в среднем за много лет ежегодная выплата возмещений составит 6.4 у.е., но величина резерва и плата за перестрахование зависят от λ лишь косвенно, через величины оставляемого и передаваемого риска.

Учитывая все изложенное, ясно, что нецелесообразно округлять собранную сумму взносов 7.04 до 7. Даже притом, что малая разность 0.04 не должна привести к принципиальным расхождениям.

Пример 30. Возможна и другая ситуация. λ=12.4, тогда λ·1.1=13.64, и если страховщик оставляет себе риск до 12-го случая включительно, то у него остаются средства в размере 13.64–12=1.64, а не 1.0. Это расхождение может привести к принципиальным расхождениям. Например, суммы 1 недостаточно для оплаты договора о перестраховании, следовательно, страховщик обязан создать начальный резерв из своих средств, то есть отвлечь в резерв определенную сумму, которую он мог бы выгодно инвестировать. А остатка 1.64 ему вполне достаточно для покупки перестраховочного договора (возможно, даже при более высокой надежности), поэтому он не станет создавать резерв и нести убытки из-за этого.

Если актуарий "не заметит" этого различия, он нанесет убыток компании (и своей репутации). Очевидно, противоположная ошибка (рекомендация отказа от создания начального резерва при наличии объективной необходимости в нем) может привести страховую компанию к катастрофе.

Замечание. В данном примере до сих пор неявно предполагалось, что страховщик оставляет себе риск до среднего, а передает на перестрахование риск выше среднего. Более того, расчеты показали, что страховщику может недоставать рисковой надбавки для оплаты договора о перестраховании. Тогда он вынужден сдвигать вправо границу передаваемого риска (левую границу зоны ответственности перестраховщика). А зазор между риском, покрываемым за счет собранных премий, и риском перестраховщика необходимо закрыть за счет своего резерва, то есть вложить свои средства.

Но ведь никто не запрещает страховщику передать на перестрахование и часть риска до среднего. Идея такого подхода в том, что высвобождаемых средств страховщика может быть больше, чем увеличение платы за перестрахование. Тогда будет возможным оплата перестраховочного договора за счет собранных взносов. Следовательно, отпадет необходимость в создании своего резерва. Требуется только соответствующее актуарное обоснование такого решения.

Пример 31. Вероятность неразорения 0.9. Цена перестрахования при передаче страховых случаев от 10-го до 14-го включительно составит:

(1,251+1,251+1,137+0,948+0,729)–9·(0,125+0,114+0,095+ +0,073+0,052)=5,036–9·0,459<1.

А у страховщика остается 11–9=2 у.е. Он может оплатить договор и у него еще останется сумма: 2–0.905=1.095. Если он передает и 9-й страховой случай, то после соответствующих расчетов видно, что у страховщика останется 1.418 у.е. – больше, чем в предыдущем случае. Получается, что чем больше риска страховщик передает на перестрахование, тем в большем выигрыше он остается. Конечно, перестрахование стабилизирует ситуацию, значительно снижает риск разорения, способствует снижению своих резервов. Но с точки зрения здравого смысла возникает некоторое противоречие. Не должно быть так, что чем меньше риск, тем больше прибыль.

Следовательно, в наших рассуждениях допущена ошибка. Очевидно, назначенная нами произвольно рисковая надбавка внесла свой вклад в получение этих парадоксальных результатов. Мы предположили, что у перестраховщика комиссионные компенсируют его надбавку. На практике, наверное, не вполне, то есть перестрахование стоит несколько дороже.

В дальнейшем будет показано, что рисковая надбавка в перестраховании при одинаковой рисковой премии несколько выше, чем в обычном страховании. Например, в страховании надбавка 10%, в перестраховании 15%, а комиссионные 2%–3%, то есть у перестраховщика остается еще 2%–3%. Это связано с тем, что на перестрахование передаются в основном большие риски.

Наконец, в практическом страховании есть целый ряд факторов, влияющих на выбор стратегии поведения на страховом рынке. Мы в нашем примере этого учесть просто не в состоянии.

Прежде всего, это относится к соотношению (на практике) между стремлением к получению максимальной прибыли и готовностью к риску. Наличие конкуренции приводит к тому, что зазор между ценой страхования и ценой перестрахования постоянно сужается. Следовательно, передавая риск, страховщик одновременно передает перестраховщику и соответствующую прибыль (а не только часть собранных взносов). Если страховщик не будет рисковать, он ничего не заработает.

Тем не менее, данный пример достаточно поучителен. Нельзя отказываться от варианта решения задачи только потому, что он на первый взгляд представляется бесперспективным. Необходим тщательный просчет всех допустимых в принципе вариантов, так как различие между оптимальным вариантом и "просто хорошим" может быть достаточно велико.

Дата добавления: 2015-07-17