Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл

Задача о площади криволинейной трапеции. Пусть на отрезке [ а, Ь ]задана неотрицательная функция y=f(x). Требуется найти площадь S криволинейной трапеции, ограниченной кривой у = f (х), прямыми х = а, х =Ь и осью абсцисс у=0 (см. рис. 1.1). Говорят также о площади S под кривой у =f(x) на [ а, Ь ]).

Рис. 1.1 Рис. 1.2

Наметим общий подход к решению этой задачи. Введем в рассмотрение некоторую ломаную, которая расположена достаточно близко к кривой у =f(х) на [ а, Ь ](см. рис. 1.2). Фигура под ломаной состоит из трапеций (прямоугольников), и ее площадь Sл (равная сумме площадей этих трапеций) может быть вычислена с использованием известных формул планиметрии. Поскольку ломаная выбрана достаточно близко к кривой y =f(x), то справедливо приближенное равенство S = S_л. Это равенство оказывается тем более точным, чем ближе расположена ломаная к исходной кривой. Поэтому естественно за искомую площадь S взять предел площади S_л под ломаной в предположении неограниченного приближения ломаной к заданной кривой.

Приведенные рассуждения носят качественный характер. Для того чтобы их можно было использовать на практике, необходимо уточнить в них то, что описывалось нестрого: процедура выбора ломаной и последующий предельный переход. На этом пути мы получим, в частности, понятие определенного интеграла.

Понятие интегральной суммы.Пусть на [ а, b ]задана функция у = f (х). Разобьем отрезок [ а, Ь ]на п элементарных отрезков точками х₀, x₁..., х _n: а=х₀<х₁<х₂< ...<х_n=Ь. На каждом отрезке [x_i-1, x_i ]разбиения выберем некоторую точку ξ_i и положим Δx_i = x_i – x_i-1

Сумму вида

σ = f (ξ₁)Δx ₁ + f (ξ₂)Δ ₂ +…+ f (ξ_n)Δx n = (*)

будем называть интегральной суммой для функции у =f(x) на [ а, Ь ].Очевидно, что интегральная сумма зависит как от способа разбиения отрезка [ а, Ь ]точками х₀, x₁,..., x_n, так и от выбора точек ξ _I на каждом из отрезков разбиения [ x _i-1, x _i], i = 1,2,…,n.

Геометрический смысл интегральной суммы. Пусть функция y = f (x)неотрицательна на [ а, Ь ].Отдельное слагаемое f (ξ_i)Δ x _I интегральной суммы в этом случае равно площади S, прямоугольника со сторонами f (ξ_i) и Δ x_i где i =1, 2,..., п (см. рис. 1.3)

Другими словами, S_i— это площадь под прямой у =f(x_i) на отрезке [ х _I-1 , х_i ]. Поэтому вся интегральная сумма равна площади S _л = S ₁+ S ₂+…+ S _n под ломаной, образованной на каждом из отрезков [ x _i-1, х_i ] прямой y =

f (ξ_i), параллельной оси абсцисс (см. рис. 1.3).

Рис. 1.3

Понятие определенного интеграла. Для избранного разбиения отрезка [ а, Ь ]на части обозначим через max∆ x_i, максимальную из длин отрезков [ х_i-1, х_i ], где i =1, 2,..., п.

Определение: Пусть предел интегральной суммы (*) при стремлении max∆ x_i к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек х₁,х₂,... и точек ξ₁, ξ₂,…,ξ_n. Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции у =f (x) на [ а, Ь ], обозначается

а сама функция у =f(x) называет ся интегрируемой на отрезке [ а, Ь ],т.е.

При этом число а называется нижним пределом, число Ь — его верхним пределом; функция f (x) — подынтегральной функцией, вы­ражение flx)dx — подынтегральным выражением, а задача о нахождения ∫ f(x)dx — интегрированием функции f(x) на отрезке [ а, Ь ].

Следует заметить, что не имеет значения, какой буквой обозначена переменная интегрирования определенного интеграла:

поскольку смена обозначений такого рода никак не влияет на поведение интегральной суммы (*).

Несмотря на сходство в обозначениях и терминологии, опре­деленный и неопределенный интегралы существенно различные понятия: в то время как ∫ f(x)dx представляет семейство функций, есть определенное число.

Геометрический смысл определенного интеграла. Понятие определенного интеграла введено таким образом, что в случае, когда функция у = f (х) неотрицательна на отрезке [ а, Ь ], где а<Ь, численно равен площади S под кривой y=f(x) на [ а, Ь ](см. рис. 1.1).

Действительно, при стремлении max ∆ х_i, к нулю ло­маная (см. рис. 1.3) неограниченно приближается к исходной кривой и площадь под ломаной переходит в площадь под кривой. Учитывая сказанное, мы можем указать значения некоторых интегралов, используя известные планиметрические формулы для площадей плоских фигур. Например,

(Первый из интегралов — площадь квадрата со стороной единичной длины; второй — площадь прямоугольного треугольника, оба катета которого единичной длины; третий — площадь четверти круга единичного радиуса).

Дата добавления: 2015-07-15