Свободные колебания в RLC контуре

Электрическая цепь представляет ряд соединенных в той или иной последовательности проводниками между собой источников тока и потребителей электроэнергии, в т.ч. резисторов, конденсаторов и катушек индуктивности. Для включения и отключения электрических цепей применяют выключатели, кнопки и рубильники, также входящих в электрическую цепь.

В цепях постоянного тока распределение электрических зарядов на проводниках и токов на участках цепи стационарно, то есть неизменно во времени. Электромагнитное поле в таких цепях состоит из электростатического поля неподвижных зарядов и магнитного поля постоянных токов. Эти поля существуют независимо друг от друга.

Если на каком-то участке цепи происходят изменения силы тока или напряжения, то другие участки цепи могут «почувствовать» эти изменения только через некоторое время, которое по порядку величины равно времени τ распространения электромагнитного возмущения от одной точки цепи к другой. Так как электромагнитные возмущения распространяются с конечной скоростью, равной скорости света c, то где l – расстояние между наиболее удаленными точками цепи. Если это время τ много меньше длительности процессов, происходящих в цепи, то можно считать, что в каждый момент времени сила тока одинакова во всех последовательно соединенных участках цепи. Процессы такого рода в электрических цепях, а также сами цепи, называются квазистационарными.

Квазистационарные процессы можно исследовать с помощью законов постоянного тока, если применять эти законы к мгновенным значениям сил токов и напряжений на участках цепи.

Из-за огромного значения скорости света время установления в цепи электрического равновесия оказывается весьма малым. Поэтому к квазистационарным можно отнести многие достаточно быстрые в обычном смысле процессы. Например, быстрые колебания в радиотехнических цепях с частотами порядка миллиона колебаний в секунду и даже выше очень часто еще можно рассматривать как квазистационарные.

Простыми примерами квазистационарных процессов могут служить процессы, происходящие в RC - и RL -цепях при подключении и отключении источника постоянного тока.

Процессы, которые происходят в электрической цепи после того, как она была выведена из состояния равновесия и затем представлена самой себе, называются свободными (или переходными).

В замкнутой электрической цепи, состоящей из конденсатора (C), индуктивности (L) и резистора (R), эти процессы могут иметь колебательный характер. Начальным возмущением может служить заряд конденсатора q₀, переданный ему до замыкания цепи.

Электрический колебательный контур - это цепь, состоящая из последовательно соединенных, катушки индуктивности L, конденсатора С и резистора R (рисунок 12).

Рисунок 12 Схема простейшего электрического колебательного контура

В идеальном электрическом контуре без потерь (R=0) последующий процесс представляет собой свободные незатухающие колебания на собственной частоте контура

(19)

Этот процесс длится бесконечно долго. Два раза за период происходит процесс перекачки электрической энергии, запасенной в конденсаторе, в магнитную энергию катушки.

При наличии энергетических потерь (R≠0) в контуре происходят затухающие колебания. Амплитуда колебаний уменьшается во времени по экспоненциальному закону. Время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в e=2.7 раза, называется временем затухания. Время затухания изменяется обратно пропорционально величине активного сопротивления R контура.

При достаточно большом значении R время затухания становится сравнимым с периодом T. В этом случае собственный процесс в контуре уже не является колебательным.

В реальной электрической цепи всегда имеются потери на джоулево тепло. Вся электрическая энергия, первоначально запасенная в конденсаторе, в конечном итоге превращается в тепло, выделяемое на резисторе.

Сначала рассмотрим электрические процессы в идеализированном колебательном контуре "без потерь" (сопротивление резистора R = 0). Если в таком контуре конденсатору С предварительно сообщить заряд q₀, а затем замкнуть его на катушку индуктивности L, то в цепи появится разрядный ток (определяется убылью заряда конденсатора) и в катушке возникнет ЭДС самоиндукции .

В этом случае для электрической цепи можно записать:

U=-E_L (20)

Так как,

то после подстановки и деления на L уравнение (20) можно представить в виде

(21)

Как известно, решение этого уравнения имеет вид:

q=q₀cos(w₀t+ ) (22)

где , - собственная частота контура, а q₀ и j - постоянные, зависящие от начальных условий.

Мгновенные значения напряжения на конденсаторе U и тока в цепи соответственно будут

(23)

Отсюда видно, что ток сдвинут по фазе относительно напряжения на p/2 рад. Отношение амплитуды напряжения к амплитуде тока;

(24)

Величина ρ имеет размерность " сопротивления" и называется "характеристическим" (или "волновым") сопротивлением колебательного контура. Умножив уравнение (21) на и выполнив простые преобразования, придем к выражению

(25)

После интегрирования по времени t получим

(26)

т.е. сумма магнитной и электрической энергии в идеальном колебательном контуре остается постоянной. Итак, в идеальном колебательном контуре, описываемом уравнением (21) происходят незатухающие гармонические колебания тока и напряжения с амплитудой, определяемой начальными условиями.

Теперь рассмотрим процессы в колебательном контуре (рисунок 12) с потерями (R 0). Положим, что в начальный момент (при t = 0) конденсатор контура С заряжен зарядом q₀, а затем замкнут на катушку L и резистор R. Используя второе правило Кирхгофа к процессу разрядки, получим выражение для напряжения на конденсаторе

(27)

где мгновенный ток

После подстановки в уравнение (27) выражения для тока найдем дифференциальное уравнение, описывающее процесс изменения заряда на конденсаторе

(28)

Это уравнение легко представить в виде:

(29)

где введены стандартные обозначения

Не имея возможности дать здесь решения уравнения (29), ограничимся кратким анализом результатов в зависимости от соотношения между величинами α и ω₀. Можно выделить два основных режима. При значительном R, когда или рассеяние энергии велико и процесс, разрядки конденсатора имеет апериодический характер (колебания отсутствуют). Сопротивление R, соответствующее условию a=w₀

(30)

называется критическим сопротивлением.

Выполнение условия (30) соответствует переходу от апериодического к колебательному процессу.

Если сопротивление R невелико, так что

(31)

то разрядка конденсатора приобретает колебательный характер в убывающей амплитудой и решение уравнения (10) имеет вид:

(32)

где частота собственных колебаний.

Величины q₀ и φ определяются из начальных условий (например, если известны значения заряда q и тока i в начальный момент времени при t =0). Частота затухающих колебаний определяется соотношением

(33)

Это можно представить в виде:

(34)

или приближенно (так как обычно R«ρ):

(35)

Следовательно, при малом R по сравнению с характеристическим сопротивлением контура можно для расчета частоты реально контура пользоваться формулой идеального контура

(36)

При этом относительная погрешность равна:

(37)

Рисунок 13 Временной ход затухающего процесса разрядки

На рисунке 13 изображен временной ход затухающего процесса разрядки, соответствующий уравнению (32).

Из уравнения (32) видно, что закон уменьшения амплитуды колебаний определяется множителем типичным для переходных процессов. Роль постоянной времени этого переходного процесса играет величина

(38)

Где q_m(t) и q_m(t+1) значения амплитуд следующих одна за другой через 1 сек. Величину a называют коэффициентом затухания.

Более удобной характеристикой затухающих колебаний является логарифмический декремент затухания λ, который определяется отношением двух любых последовательных амплитуд, разделенных во времени периодом Т.

Используя уравнение (32), получим:

(39)

Декремент затухания связан с параметрами колебательного контура соотношением:

= (40)

Энергетические потери в колебательных системах характеризуются величиной Q, называемой добротностью.

Добротность определяет относительную убыль энергии в процессе колебаний

(41)

где W - полный запас энергии в контуре, ΔW - потери энергии за один период.

При малом затухании для добротности колебательного контура можно вывести соотношения:

(41а)

Весьма наглядный анализ колебательных процессов дает также использование метода фазовой плоскости. Суть этого метода состоит в том, что на плоскости выбирают прямоугольную систему координат, по оси абсцисс откладывают значения заряда на конденсаторе, по оси ординат - ток в контуре (при колебаниях обычно откладывают "приведенный ток" ). Состояние колебаний в контуре в каждый момент времени изображается точкой с координатами (q, ), соответствующими данному моменту, а с течением времени, изображающая точка описывает на плоскости кривую f (q, )=0, называемую фазовой траекторией. Для незатухающих колебаний, описываемых уравнением (22) и (23), исключая время найдем:

(42)

Это уравнение окружности радиуса q с центром в начале координат (рисунок 9а). Если затухание в контуре достаточно мало ():

то выражение для заряда и тока можно представить в виде:

(43)

Исключив тригонометрические функции, получим:

(44)

Это уравнение спирали, постоянно скручивающееся к началу координат (рисунок 9б).

Рисунок 14 а, б, в Фазовые траектории

При этом изображающая точка пересекает положительную полуось абсцисс через интервалы времени, кратные периоду колебаний Т0.

Если контур имеет столь большое затухание (α>ω₀), что процесс становится апериодическим, то вместо спирали фазовая траектория приобретает вид изображенный на рисунок 9в, которая отображает апериодическое движение системы (без колебаний) к состоянию равновесия.

Дата добавления: 2015-07-15