Уравнения Лагранжа-Максвелла 2 рода

Уравнения Лагранжа - Максвелла – универсальны и справедливы для любой системы координат. Форма уравнения Лагранжа – Максвелла не зависит от физической природы параметров.

Представим систему уравнений 2-го рода применительно к электромеханической системе в полном объеме

Уравнение (10) справедливо для всех степеней свободы механической подсистемы от 1 до s _м , а уравнение (11) справедливо для всех степеней свободы электрической подсистемы от 1 до s _е.

Эти уравнения записаны на энергетическом уровне.

Для электромеханической системы функция Максвелла имеет вид

L =(T _м+ Т _е) - (П _м- П _е), (12)

где Т _м – кинетическая энергия механической подсистемы;

Т _е – кинетическая энергия электрической подсистемы;

П _м – потенциальная энергия механической подсистемы;

П _е– потенциальная энергия электрической подсистемы.

– кинетическая энергия для линейного характера поступательного движения, где m – масса объекта,υ – линейная скорость перемещения объекта;

– кинетическая энергия для вращательного движения, где J_{x к} – момент инерции к – ой точки относительно оси, проходящей через центр вращения;

Ω _{x к}– угловая скорость вращения к – ой точки.

сумма потенциальных энергий всех материальных точек.

Кинетическая энергия электрической подсистемы – это энергия магнитного поля подсистемы.

(13)

где Ψ_j – потокосцепление; i – ток, j – количество контуров; L_i,j – индуктивность, если i=j, то это собственная индуктивность; если i≠j, то это взаимная индуктивность; i _i, i _j – токи соответствующих контуров.

Потенциальная энергия электрической подсистемы – это энергия электрического поля.

(14)

где С_i,j – ёмкость I – го и j – го элементов; q_i, q_j – заряды i – го и j – го элементов.

В выше приведенной системе уравнений Лагранжа – Максвелла используются так называемые обобщенные координаты q, которые однозначно определяют положение или состояние системы.

Это координаты:

q _к – обобщенная координата механической подсистемы.

q _j – обобщенная координата электрической подсистемы.

Обычно в качестве обобщённой координаты выбирается та координата, которая уже не дробится на другие.

Введем также понятие число степеней свободы s:

s _м – число степеней свободы механической подсистемы;

s _e– число степеней свободы электрической подсистемы, определяет количество выделенных независимых контуров.

В уравнениях Лагранжа – Максвелла применяется также понятие «связи». Связи – это условия, определяющие свободу перемещений точек системы.

Связи могут быть кинематическими и аналитическими, представленными в форме

уравнений L = L (x), M = M (x), Ψ=Ψ(x), С = С (x),

где Ψ – потокосцепление, C – ёмкость, М – взаимоиндуктивность, L – индуктивность.

Введенное выше обозначение означает обобщённые силы, не связанные с потенциальной энергией, т.е. «не потенциальные силы». Размерность обобщённой не потенциальной силы может не совпадать с размерностью силы физической.

(15)

где А _к – элементарная работа, q _к – обобщенная координата механической подсистемы.

δ А _к – определяется как работа всех активных сил на возможном перемещении.

(16)

где δ r_i – возможные перемещения материальных точек. Возможные перемещения - это перемещения, вызываемые изменениями обобщённых координат.

нп – обобщённые силы, не связанные с потенциальной энергией.

е_j – это ЭДС в независимых координатах.

R_i,j – активные cопротивления в j – ых независимых контурах, по которым протекает соответствующий ток.

Дата добавления: 2015-07-15