Модель называется абстрактной (концептуальной) либо материальной (физической) в зависимости от того, какой системой она является, т.е. от выбора средств моделирования.

Абстрактной моделью может быть, в частности, система математических выражений, описывающих характеристики объекта моделирования и взаимосвязи между ними (математическая модель). Модели с конкретными числовыми значениями характеристик называются числовыми моделям и, записанные с помощью логических выражений – логическими моделями, модели в графических образах – графическими моделями (графики, диаграммы, рисунки). К логическим моделям обычно относят блок-схемы алгоритмов и программы для ЭВМ. В зависимости от типа применяемых вычислительных машин различают аналоговые и дискретные (цифровые) модели. Вместе с тем аналоговые модели могут рассматриваться и как материальные, поскольку они основаны на получении физического (электрического, механического и т.п.) образа исследуемого процесса. Большое распространение имеют и такие материальные модели, как уменьшенные макеты, искусственные биосистемы (аквариумы), действующие модели различных приборов и устройств или просто словесное описание и т.п.

Семейства моделей в системном анализе:

1) словесные модели,

2) динамические модели,

3) детерминистские и стохастические модели,

4) матричные модели,

5) многомерные модели,

6) оптимизационные модели и некоторые другие.

Список далеко не полный, а его категории к тому же не взаимоисключающие.

Преимущества математических моделей состоят в том, что эти модели точны и абстракты, что они передают информацию логически однозначным образом. Модели точны, поскольку они позволяют делать предсказания, которые можно сравнить с реальными данными, поставив эксперимент или проведя необходимые наблюдения. Модели абстрактны, т.к. символьная логика математики извлекает те элементы, которые важны для дедуктивной логики рассуждения, исключая все посторонние значения, которые могут быть приданы словам. Математические модели позволяют использовать всю совокупность накопленных знаний о поведении взаимосвязей, так что логически связанные суждения об изучаемой системе можно вывести, не повторяя все предыдущие исследования. Математические модели дают нам важное средство коммуникации благодаря однозначности символьной логики, используемой в математике, – средство, которое в значительной степени лишено недостатков, свойственных обычному языку.

Недостатки математических моделей заключаются во внешней сложности символьной логики. Эта сложность отчасти неизбежна, если изучаемая проблема сложна, вполне возможно, что сложным окажется и математический аппарат, необходимый для ее описания. Моделирование в прикладном системном анализе – это лишь один из этапов широкой стратегии исследования. Мы должны внимательно следить за тем, чтобы моделирование не превратилось в самоцель!

xex34 Словесные и математические модели

Построение «словесной» модели важный этап, на котором объединяется все, что связано с решаемой проблемой, с целью выделения той части системы, которую необходимо исследовать. Такое описание может во многом помочь на стадиях постановки задачи и ограничения ее степени сложности и установления иерархии целей и задач исследования.

Сила математики заключается в ее способности выражать идеи и особенно сложные связи с помощью символьной логики, сохраняя в то же время простоту и рациональность выражения.

В общем случае математические модели классифицируют на детерминистские и стохастические, хотя в последнее время в связи с бурным развитием вычислительной техники и различных приложений практически все модели являются смешанными и еще с элементами имитации.

Если предыдущее состояние системы однозначно определяет последующее состояние, то система или модель называется детерминистской. предсказываемые значения могут быть точно вычислены;

Одной из простейших моделей роста популяции организмов является модель, заданная дифференциальным уравнением:

, (3.1)

где y – плотность популяции в момент t, r – константа. Один из примеров биологического процесса, который может быть представлен подобной моделью, – это рост бактериальной культуры до того, как начнет истощаться среда. Здесь скорость роста в любой момент времени равна постоянной доле от плотности популяции в этот момент.

xex36 Если, зная состояние системы в данный момент времени, можно лишь указать вероятности наступления того или иного состояния в следующий момент времени, то система называется вероятностной или стохастической. предсказываемые значения зависят от распределения вероятностей.

Мы можем строить наши модели, положив в их основу изменчивость живых организмов, тогда это будут вероятностные или стохастические модели. В подобных моделях используется совсем иная область математики, развившаяся позже, чем дифференциальное исчисление и дифференциальные уравнения. Один простой пример такой модели, соответствующий детерминистской модели экспоненциального роста, задается уравнением:

, (3.5)

где y – плотность популяции в момент времени t, a – константа, b(t) –случайная переменная с нулевым средним. Это значит, что величина b(t) меняется, принимая значения из некоторого случайного распределения так, что между флуктуациями в последовательные моменты нет никакой корреляции. Легко видеть, что если основой для имитации служит стохастическая модель, то результаты имитации будут различаться, даже если константы и начальные условия одинаковы. Эту вариабельность обеспечивают вероятностные элементы модели; назначение таких моделей именно в том и состоит, чтобы отразить изменчивость, характерную для живых организмов и экологических систем. Что же касается постановки реального эксперимента, то обычно бывает необходимо провести целую серию имитаций, с тем, чтобы определить, как система реагирует на различные воздействия.

Кроме того, наши модели подразделяются еще на две категории, а именно аналитические и имитационные.

Аналитические модели – это те, в которых для определения значений предсказываемых величин получаются выражения в явном виде, сюда относятся регрессионные и многомерные модели, модели планирования эксперимента и стандартные теоретические статистические распределения.

Имитационные модели – это те, которые могут быть описаны с помощью набора определенных математических операций, таких как решение дифференциальных уравнений, повторное применение переходной матрицы или использование случайных чисел, различные регрессии. Преимущество имитационных моделей состоит в том, что их легче построить не математику, но подогнать их под данные наблюдений обычно труднее, чем аналитические модели.

xex37 Динамические модели

Дата добавления: 2015-07-15