Нормальный закон ошибок

В законе ошибок, который мы сейчас рассмотрим, проявляется все­общая связь и взаимообусловленность явлений в природе, проявляется
объективно существующая закономерность, связь между величиной
ошибки и частотой ее появления при систематическом повторении опы­тов.

Нам известно, что случайные события при большом числе их повто­рения обнаруживают определенную закономерность. Так происходит и со случайными ошибками.

При большом числе измерений появление случайных ошибок подчи­няется определенному закону, который выражает зависимость между величиной ошибки и частотой ее появления. Из теории вероятностей также известно, что при достаточно большом числе опытов частота со­бытия очень мало отличается от вероятности события. На основании это­го можно сказать, что между величиной случайной ошибки и вероятно­стью ее получения также существует определенная зависимость.

Зависимость между величиной случайной ошибки и вероятностью ее получения называется законом случайных ошибок.

Ошибки могут подчиняться различным законам. Наибольший инте­рес для нас представляет так называемый нормальный закон ошибок, так как этому закону подчиняются ошибки большинства измерений (измерение дальности разными способами, измерение углов, измерение ско­рости движения и т. п.). Этому же закону подчиняется и рассеивание траекторий.

В огневой практике встречается другой закон ошибок - закон равной вероятности. Ошибки, которые подчиняются это­му закону, получаются при округлении от счетов, считываемых со шкал приборов.

Закономерности случайных ошибок можно выявить опытным путем. Для этого надо произвести измерения какой-либо величины, учесть вели­чины полученных ошибок и установить частоту их появления. Чем больше число полученных ошибок, тем меньше будет различий между часто­той и вероятностью, тем точнее можно выявить закон ошибок.

Положим, что произведено 100 измерений одного и того же рас­стояния глазомерно. Пусть истинное расстояние равно 1000 м (получено путем измерения более точным способом). Определим ошибки всех ре­зультатов измерения и данные сведем в таблицу, где ошибки сгруппированы через каждые 100 м в большую и в меньшую сторону.

Таблица № 2.

Зависимости величин ошибок и их частоты

Величина ошибок в метрах	Отрицательные ошибки	Положительные ошибки
от 301 до 400 м	от 201 до 300 м	от 101 до 200 м	от0 до 100 м	от0 до 100 м	от 101 до 200 м	от 201 до 300 м	от 301 до 400 м	более 400 м
Кол-во ошибок
Частота получения ошибок	3%.	8%	14%	26%	23%	15%	8%	2%	1%

Численное распределение ошибок в пределах 100 м

На основании данных этой таблицы построим график зависимости между величиной ошибки и частотой ее появления. Для этого на гори­зонтальной оси (рис. 8) от точки 0 в обе стороны отложим в условном масштабе ошибки величиной 100 м.

По вертикальной оси 0У отложим то же в условном масштабе частоты появления этих ошибок, выраженных в процентах. Получаем ряд прямоугольников, площади которых наглядно характеризуют частоты появления ошибок в заданных по величине и знаку пределах.

Рис. 8. График распределения ошибок 100 измерений.

Для примера мы взяли только 100 ошибок. Это число не является
достаточно большим, чтобы можно было полностью установить законо­мерности появления случайных ошибок. Однако и в этом случае некоторые выводы можно сделать. Так, например, из рис. 8 видно, что ошибки меньшие по величине появляются чаще, а ошибки большие по величине появляются реже. Кроме того, имеется основание сказать, что число ошибок в большую и меньшую стороны примерно одинаково.

Рассмотрим опытные данные еще одного ряда многократных изме­рений расстояний глазомером. В предыдущем примере мы взяли сто ошибок, полученных при измерении одного и того же расстояния, и все полученные ошибки выразили в метрах. Теперь возьмем опытные данные измерения разных расстояний. Практикой установлено, что ошибки оп­ределения расстояний глазомером по своей величине прямо пропорцио­нальны измеряемым расстояниям. На основании этого величину ошибок всех измерений можно выражать не в метрах, а в процентах по отношению к истинным значениям измеряемых расстояний.

Для обработки и группирования получаемых ошибок подготовим график. Часть этого графика показана на рис. 9. В правой части графика будем группировать ошибки положительные, а в левой - отрица­тельные. По горизонтальной оси в обе стороны от точки 0 в условном масштабе отложим ошибки, выраженные в процентах.

б а

Х(%)

• •

-9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10 +11 +12 +13 +14 +15 +16

Рис. 9. Построение графика распределения ошибок после опытов.

Порядок группирования ошибок поясним на примере. Истинное расстояние до цели Х ₀ = 747 м (измерено наиболее точным способом - мерной лентой). Результат отдельного измерения Х ₁=850 м; тогда σ ₁=850-747=+103 м, что составляет . Эту ошибку отмечаем в графике в точке «а».

До второй цели истинное расстояние Х ₀ = 685 м. Ошибка результата отдельного измерения Х ₂ = 640 м; σ ₂=640-685=-45 м, что составляет . Эту ошибку отмечаем в графике в точке «б».

Положим, что нам удалось собрать достаточно большое число ошибок и сгруппировать их на графике указанным выше способом. По дан­ным числа полученных ошибок, приходящихся на каждую группу, в произвольном масштабе восстановим ординаты, и вершины ординат соединим плавной кривой АБВ, которая показывает зависимость между величиной ошибки (в процентах), ее знаком и частотой появления (рис. 10).

Так как мы взяли большое число опытов, при котором частота мало отличается от вероятности, то кривая АБВ характеризует зависимость между величиной ошибки, ее знаком и вероятностью ее появления. Иначе говоря, кривая АБВ характеризует закон ошибок. Из рис. 10 вид­но, что ошибки измерения расстояний не выходят за пределы АВ, следо­вательно, вероятность получения ошибки в этих пределах является до­стоверным событием и равна 1 (единице) или 100%. Поэтому площадь, ограниченную кривой АБВ, принимаем равной 1 или 100%.

У

Б б в

Л е

К ж

А и м з В Х(%)

-40 –30 –20 20 30 40 50

-25% -20% 0 +5% 20% 25%

Рис. 10. График закона ошибок из опыта.

Вероятность получения ошибки в каких-либо меньших пределах
будет меньше 1 или 100% во столько раз, во сколько площадь, ограниченная соответствующими ординатами и частью кривой, меньше всей
площади, ограниченной кривой АБВ. На основании этого мы можем
сравнивать вероятности получения ошибок в каких-либо заданных пределах, для чего нужно сравнить площади, соответствующие этим преде­лам.

Рассматривая рис. 10 можно установить следующие положения, характеризующие нормальный закон ошибок.

I. С увеличением ошибки вероятность ее появления уменьшается и, наоборот, чем меньше ошибка, тем больше вероятность ее появления.

Так, вероятность получения ошибки в пределах от 0 до +5% боль­ше вероятности получения ошибки в пределах от +20% до +25% во столько раз, во сколько площадь абвг больше площади дежз (рис. 10).

II. Равные по абсолютной величине, но разные по знаку ошибки равновероятны.

Например, вероятность получения ошибки в пределах от -20% до -25% равна вероятности получения ошибки в пределах от +20% до +25%, так как площадь иклм равна площади дежз (рис. 10).

III. Для каждого способа измерения существует свой предел ошибок. Вероятность получения ошибки вне этого предела столь мала, что ее считают равной нулю.

Ошибки, превышающие по своей величине этот предел, настолько маловероятны, что ими обычно пренебрегают. В зависимости от требуе­мой точности в нашем примере пределом ошибок можно считать или 50%, или 40% истинной величины

Дата добавления: 2015-07-18