Читайте также:
|
|
При необходимости получить данные о закономерности появления того или иного события в результате произведенных испытаний, мы определяем, как часто появлялось интересующее нас событие по отношению ко всему числу производившихся испытаний в одних и тех же условиях.
Отношение числа появлений интересующего нас события к числу всех произведенных испытаний называется частотой появления данного события.
Если обозначить число всех испытаний N, число появлений данного события через М, а частоту появления события А - через W (A), то получим выражение для частоты:
.
Пример. Произведено 10 выстрелов в цель в определенных одинаковых условиях и получено 6 попаданий.
Если обозначим событие - получение попадания - через А, частоту его через W (A), число всех испытаний N= 10 и число появления событий М = 6, то .
Установим основные свойства частоты:
I. Частота события может выражаться в пределах от нуля до единицы.
Максимальная величина частоты W (А) = 1 может быть тогда, когда при каждом испытании имело место событие А, т. е. М = N.
Минимальная величина частоты W (А) =0 может быть тогда, когда событие А не имело места ни при одном испытании, т. е. М =0.
II. Частота появления события изменяется с изменением числа испытаний. Если в условиях предыдущего примера мы произвели еще один выстрел и получили попадание, то , если получили промах, то
W(A) = .
От этого примера перейдем теперь к объяснению третьего свойства - устойчивости частоты.
III. На первый взгляд приведенное изменение частоты может показаться произвольным, не связанным ни с какой закономерностью. В действительности же оказывается, что при достаточно большом числе испытаний частота колеблется около какого-то определенного числа и тем более узки границы колебания, чем больше число испытаний.
Французский естествоиспытатель Бюффон подбрасывал монету 4040 раз, при этом герб выпадал 2048 раз, т. е. частота появлений герба составила 0,5069; английский биолог Пирсон из 12000 бросаний монеты получил частоту появлений герба 0,5016, а затем из 24000 бросаний - 0,5005.
Таким образом, мы видим, что в данных испытаниях частота колеблется около числа 0,5. Опыты показывают, что случайные события массового характера обладают такой устойчивой частотой. Причем, эта устойчивость не исходит из определения частоты, а является объективным свойством данных определенных событий.
Итак, третье свойство частоты: при достаточно большом числе испытаний (опытов) частота становится устойчивой, т.е. колеблется с увеличением опытов около какого-то числа и пределы колебаний тем более узки, чем больше будет производиться испытаний.
Свойство частоты оставаться устойчивой при большом количестве испытаний имеет исключительно важное значение для построения всех выводов теории вероятностей. Это свойство является важнейшей характеристикой частоты и поэтому будет нами очень часто использоваться в последующих рассуждениях и доказательствах.
Приведем несколько задач, решением которых закрепим понятие о частоте появления событий.
Пример 1. Стрелку выдано пять патронов. Он сделал три выстрела и получил два попадания. Найти частоту попадания.
Решение. Обозначим число выстрелов, произведенных стрелком, через N, число попаданий - М, частоту попадания через W (A).
Тогда , или около 66%.
В нашем решении частота попадания выражается числом 2/3 или примерно 66%. Это значит, что из всех произведенных опытов интересующий нас результат (попадание) получен в 2/3 всех испытаний.
Пример 2. Найти частоту попадания в десятку, девятку, восьмерку и т. д., если все пули попали в мишень и получено: десяток - 3; девяток - 4; восьмерок - 2. Как изменится каждая частота, если, сделав еще один выстрел, получим шестерку?
Решение: Обозначим событие - попадание - буквой А, попадание в круг «10» - А 10, в круг «9» - А 9 и т. д.
Тогда ; ; .
Если после произведенного десятого выстрела получено попадание в шестерку, то, очевидно, все частоты изменятся следующим образом:
; ; , а частота попадания в шестерку будет равна при десяти выстрелах .
Эта задача поясняет второе свойство частоты - частота события (попадания) изменяется с изменением числа испытаний. Однако очень важно, чтобы это свойство частоты рассматривалось неразрывно с третьим: при большом числе опытов частота от опыта к опыту изменяется настолько незначительно, что ее можно практически считать неизменной, устойчивой.
Подтвердим это следующей задачей, составленной по результатам тренировочных стрельб из пистолета Макарова.
Пример 3. После 12-ти тренировочных стрельб по спортивной мишени № 4 стрелок имел средний результат на десять выстрелов 89 очков. (Общая сумма очков по 12-ти стрельбам равнялась 1068). На следующей тренировке стрелок дает низкий для себя результат - 85 очков. Как изменилась частота попаданий - средний результат после 13-ти стрельб?
Решение: По 12-ти стрельбам частота попаданий, выраженная в очках, равнялась 89 из 100 возможных, т. е. 89%. После 13-ти стрельб общее количество выбитых очков стало 1068+85=1153 из 1300 возможных. Следовательно, частота попаданий стала:
или 88,7%, т.е. 88,7 очка из 100 возможных.
Как видим, частота попадания изменилась очень незначительно и можно считать, что для данного стрелка частота попаданий 89 очков является устойчивой.
Дата добавления: 2015-07-18; просмотров: 235 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Классификация | | | Вероятность появления события. Свойства вероятности |