Читайте также:
|
|
Р(В)=0,3
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)
Рис. 1. Вероятность суммы несовместных событий.
Решение: Р (С)=Р (А)+Р (В); Р (С) = 0,4+0,3=0, 7.
Примером широкого применения этого свойства в практике решения стрелковых задач является подсчет вероятности попадания в цель по шкале рассеивания.
Если цель - поясная фигура - покрывается тремя срединными полосами
рассеивания по высоте (рис. 2), то вероятность попадания в нее по высоте равна 48%. Эта вероятность подсчитана как сумма вероятностей трех несовместимых событий.
Подобным образом на основании правил сложения решается целый ряд задач по определению вероятности попадания в различные цели.
Из рассмотренного вытекает ряд важных следствий.
Первое из них заключается в том, что сумма вероятностей событий, составляющих полную систему, равна 1.
Рис. 2. Вероятность суммы событий.
Например, если при одном выстреле вероятность попадания у стрелка в круг «10» равна Р 1 = 0,5; в круг «9» - Р 2 = 0, 3; в круг «8» - Р 3 = 0,1; в круг «7» - Р 4 = 0,1 и в данных условиях других результатов не может быть, то сумма вероятностей событий, составляющих полную систему, равна единице.
Р (А1) + Р (А2) + Р (А3) +Р (А4) = 1.
Смысл этого следствия легко уясняется простыми рассуждениями: если рассматривать все возможные в каких-то конкретных условиях события, то, очевидно, сумма вероятностей всех этих событий равна единице, т. е. какое-то из этих событий должно обязательно произойти.
Если в результате испытания возможно лишь два исхода, т. е. если система состоит из двух противоположных событий, то сумма вероятностей противоположных событий равна 1.
Пример. Вероятность попадания в цель Р = 0,8. Вероятность промаха q =0,2; Р+ q =1.
Значит, для определения вероятности одного из противоположных событий надо из единицы вычесть известную вероятность другого события:
Р=1-q.
Как видим, все рассмотренные следствия вполне очевидны и только строго математически фиксируют определенные свойства вероятностей различных событий. Эти математические выражения свойств вероятностей понадобятся для изучения последующих вопросов.
Третье свойство вероятностей - правило умножения - так же как и предыдущие, является обобщением наблюдения над частотами событий и отражает закономерность вероятности появления сложных событий.
Как и при объяснении правила сложения, рассмотрим сначала произведение частот. Пусть произведено 100 выстрелов из пистолета по мишени № 4 (грудная с кругами), в результате которых событие А - попадание в грудную фигуру - имело место 80 раз. Среди этих 80 попаданий в фигуру было 11 попаданий в семерку - событие В (рис. 3).
Частота появления события А (попадание в фигуру) – есть .
Частота появления события В при условии осуществления события А (частота попадания в семерку из числа попаданий в фигуру) – есть
.
Частота осуществления события, состоящего в том, что будет получено и попадание в фигуру, и попадание в семерку из общего числа выстрелов, равна: .
Но , где и ,
т.е. W(AB) = W(A)·WA(B).
Это свойство частоты появления сложных событий, как установлено теорией вероятностей, распространяется и на вероятности их появления и составляет правило умножения.
Вероятность произведения двух событий, т. е. вероятность получения сложного события, состоящего из двух простых, есть произведение вероятности одного из них на вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие произошло:
Р(АВ) = Р(А)·РА(В) или P=P1 ·P2.
Совершенно очевидно, что безразлично какое событие считать первым, а какое вторым:
Р (АВ) = Р(А) · РА (В) = РА (В) · Р(А) или Р = Р2 · Р1.
Если события А и В взаимонезависимы, т. е. появление события В не зависит от того, имело ли место событие А, то вероятность произведения независимых событий определяется по правилу умножения и формулируется проще.
Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей.
Так, если события А, В, С независимы, то Р(АВС)= Р(А)·Р(В)·Р(С) или Р = Р1·Р2·Р 3.
Пример. Два стрелка ведут огонь по цели. Вероятность попадания в цель первого стрелка Р(А) =0,8; второго - Р(В) =0,6. Какова вероятность, что оба стрелка, произведя по одному выстрелу, попадут в цель?
Попадание в цель обоими стрелками - событие сложное и состоит из произведения событий А и В. События А и В взаимонезависимы, так как по условиям примера попадание в цель одним из стрелков не изменяет вероятности попадания в цель другим стрелком.
Следовательно, на основании правила умножения:
Р=Р1·Р2; Р=0,8·0,6=0,48.
Так же, как правило сложения, свойство вероятностей сложных событий находит широкое применение в практике решения стрелковых задач при определении вероятности попадания в цель.
Например, зная, что вероятность попадания в сердцевинную полосу рассеивания равна 70%, на основании аксиомы умножения находится вероятность попадания в сердцевину рассеивания (рис. 4):
Р(С)=Р(АВ)=Р(А)·Р(В)
Р(С)=Р(АВ)= 0,7·0,7=0,49 или 49%
Рис. 4. Вероятность произведения событий.
Р(С)=Р(АВ)=Р(А)·Р(В).
.
Точно так же, найдя вероятность попадания в цель по высоте и по боковому направлению, для определения общего процента попадания в цель согласно правилу умножения надо перемножить найденные вероятности. (Подробное рассмотрение подобных задач будет показано в главе «Вероятность попадания и поражения целей»).
Приведем примеры задач, на которых можно закрепить понятия о свойствах вероятности появления события.
Пример 1. В группе 15 слушателей, из них отлично успевающих - 6, хорошо - 5, удовлетворительно - 3, неуспевающих - 1. Какова вероятность того, что вызванный слушатель будет или отлично, или хорошо успевающим?
Решение. Обозначим буквой А событие, заключающееся в том, что вызванный наугад слушатель будет отлично успевающим; вероятность этого события .
Событие, заключающееся в том, что вызванный слушатель окажется хорошо успевающим, обозначим через В, тогда вероятность этого события
.
Вероятность того, что вызванный слушатель окажется либо отлично, либо хорошо успевающим согласно правилу сложения равна:
Р (А+В)=Р (А)+Р (В);
или 74%.
Полученное число показывает, что при большом количестве опытов вызванный для ответа слушатель данной группы окажется или отлично, или хорошо успевающим примерно в 74 случаях из 100. Причем, очень важно понимать, что в каком-то отдельном случае вызванный слушатель может, конечно, оказаться и удовлетворительно, и плохо успевающим, но при большом числе опытов около 74% вызовов дадут или отличные, или хорошие ответы.
Пример 2. Положим, что вероятность попадания в танк при одном выстреле из 73-мм орудия БМП-1 равна 0,3. Какова вероятность того, что при трех выстрелах попадания получено не будет? (Считаем, что вероятность попадания от выстрела к выстрелу не изменяется).
Решение. Три промаха подряд есть событие сложное, являющееся произведением трех событий: промаха при первом выстреле А, промаха при втором выстреле В и промаха при третьем выстреле С.
Вероятность промаха, как события противоположного попаданию, равна q=1-0,3 = 0,7.
Вероятность трех промахов подряд, согласно аксиоме умножения, равна: Р(А, В, С) =0,7·0,7·0,7 = 0,344 или 34,4%.
Это означает, что в данных условиях при большом количестве стрельб по три выстрела примерно в 34 случаях из ста не будет получено ни одного попадания. В остальных 66 случаях цель будет поражена или одним, или двумя, или тремя попаданиями.
Дата добавления: 2015-07-18; просмотров: 90 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Вероятность появления события. Свойства вероятности | | | Способы вычисления вероятности |