Способы вычисления вероятности

При решении последней задачи мы использовали данную величину вероятности попадания в цель при одном выстреле. Как определяется эта вероятность, будет показано в главе «Вероятность попадания и пора­жения цели».

Сейчас же рассмотрим общие принципы вычисления вероятности появления какого-либо события. В элементарном изложении их можно сгруппировать в следующие четыре способа.

а) Способ определения вероятности по вычисленной в результате опытов частоте события. Этот способ наиболее тесно связан с практикой, так как теория вероятностей изучает закономерности массовых случай­ных событий, обладающих устойчивой частотой. Рассмотренные выше свойства вероятности и примеры выявили соотношение вероятности и частоты события.

Стрелковая практика дает огромное число таких случайных собы­тий, которые обладают устойчивой частотой. Так, например, у одного и того же стрелка при многократном повторении одного упражнения число попаданий в цель (мишень) обычно изменяется незначительно; группа стрелков при многократном повторении одного и того же упражнения Курса стрельб дает процент выполнения, обычно, тоже довольно устой­чивый.

Сущность способа определения вероятности по частоте можно пока­зать на следующем примере.

В ходе тренировочных стрельб из пистолета на дальность 25 м по спортивной мишени № 5 сериями по 10 выстрелов одним из стрелков показаны следующие результаты (см. табл. 1).

Таблица № 1.

Результаты попаданий.

№№ серий	Результат стрельбы	Число попаданий в черный круг	Частота попаданий в черный круг
	10x2	9x2	8x1	7x2	6x1	5x2	4x0		0,8
	10x0	9x3   9х2	8x3	7x1	6x1	5x1	4x1		0,8
	10х3 9х2	8x1	7x1	6x2 5x1	4x0		0,9
	10x1	9x3	8x3	7x1	6x0	5x2	4x0		0,8
	10x0	9x2	8x2	7x2	6x1	5x2	4x1		0,7
	10x1	9x2	8x1	7x4	6x1	5x1	4x0		0,9
	10x4	9x2	8x1	7x0	6x2	5x1	4x0		0,9
	10x2	9x3	8x3	7x1	6x0	5x1	4x0		0,9
	10x1	9x4	8x2	7x1	6x1	5х1	4x0		0,9
	10x3	9x1	8x2	7x2	6x0	5x2	4x0		0,8

Из таблицы видно, что частота попадания в пределах круга 6 (в черный круг мишени) колеблется от 0,7 до 0,9. За вероятность попаданий этим стрелком в черный круг может быть принято среднее число 0,8. Тогда за вероятность промаха надо считать 0,2.

Чем больше было бы число проведенных опытов (в разбираемом нами примере - число серий), тем точнее была бы определена вероят­ность попадания в черный круг.

Вычисленная таким способом вероятность попадания не является верной для любого стрелка. Для начинающего, например, стрелка она будет, очевидно, меньшей, чем для мастера спорта. Следовательно, вы­числять вероятность попадания этим способом можно лишь для одного стрелка или для группы стрелков, имеющих примерно одинаковую под­готовку.

Рассмотренным способом вычисления вероятности события по часто­те его появления выработаны, например, нормы для определения кучно­сти отметок при наводке со станка на сокращенное расстояние (если точки отметок будут вмещаться в круг диаметром 3 мм - оценка кучно­сти «отлично» и т. д.); также выработаны оценки выполнения Курса стрельб для различных категорий стреляющих.

б) Способ определения вероятности по «отношению мер». Сущность этого способа объясним на следующем примере. Требуется определить вероятность попадания в грудную мишень, площадь которой 0,18 м². Пусть известно, что сердцевинные полосы рассеивания равны: Св = 0,7 м; Сб=0,6 м; мишень находится внутри сердцевины (рис. 5).

Р (Ф)= 50%

Рис. 5. Вычисление вероятности по «отношению мер».

Чем больше площадь цели при данных условиях, тем больше пуль может попасть в мишень.

Считают приближенно, что внутри сердцевины рассеивание равномерно. Тогда в цель попадает во столько раз меньше пуль, чем в сердцевину, во сколько раз площадь цели меньше площади сердцевины.

Обозначим попадание в сердцеви­ну как событие А, попадание в цель - событие В. При условии, что вероят­ность попадания в сердцевину равна 0,5, вероятность попадания в цель равна

;

или 21,5%.

Определение вероятности попадания по способу «отношения мер» обосновывает применение так называемого коэффициента фигурности (Кф).

Кф - есть отношение площади мишени к площади описанного пря­моугольника. Понятно, что этот коэффициент можно применять лишь в том случае, когда рассеивание на площади прямоугольника можно счи­тать равномерным.

В общем случае для рассмотренного способа можно сказать, что если есть какая-то площадь, где частота события распределена равно­мерно и внутри этой площади находится вторая, где частота появления события пропорциональна её размерам, то вероятность события будет равна отношению размеров этих площадей.

Определение вероятности по «отношению мер» в стрелковой практи­ке применяется очень часто при решении задач на вероятность попада­ния и поражения цели.

в) Способ определения вероятности на основании подсчета равно­вероятных случаев. Этот способ основан на том, что вероятность появле­ния события равна отношению числа исходов испытания, благоприят­ствующих появлению интересующего нас события, к числу всех возмож­ных несовместных и равновероятных исходов события.

Как видно из определения, для применения этого способа необхо­димо убедиться в несовместности и равновероятности всех исхо­дов испытания. Это оказывается довольно сложно (особенно определе­ние равновероятности). Поэтому способ мало применим к решению за­дач в стрелковой практике, хотя в пособиях по стрельбе артиллерии и стрелковому делу он наиболее распространен для определения вероят­ности в примерах на шарах, кубиках, картах.

Пояснить определение вероятности по этому способу можно на сле­дующем примере. Предположим, в ящике находится пять одинаковых шаров, из которых два окрашены в красный цвет. Какова вероятность того, что вынутый на ощупь шар окажется красным?

В этом примере дано, что число исходов испытания, благоприят­ствующих появлению красного шара, равно двум. Число же всех возмож­ных несовместных событий при испытании равно пяти (равно числу всех шаров в ящике).

Вероятность того, что вынутый наугад шар окажется красного цве­та, равна отношению числа шансов, благоприятствующих появлению данного события, к числу всех равновероятных несовместных шансов, .

В этом примере легко можно убедиться в несовместности и равновероятности всех исходов испытания, т. к. в задаче было дано и общее число шаров, и число красных шаров. В большинстве же задач на опре­деление вероятности события из стрелковой практики это сделать очень трудно, а иногда и не представляется возможным. Как, например, под­считать, сколько шансов благоприятствует попаданию в цель при выст­реле? Понятно, что такие подсчеты неосуществимы и по этому способу вероятность попадания в цель определена быть не может.

Применяется этот способ в стрелковом деле при решении задач там, где приходится встречаться с равновероятными гипотезами (например, при обосновании правил стрельбы из орудий, минометов, пулеметов и т. д.).

г) Способ определения вероятности на основе известных вероятно­стей других событий. Этот способ можно объяснить на примере опреде­ления вероятности попадания хотя бы один раз при нескольких выстре­лах.

Пусть необходимо найти вероятность хотя бы одного попадания (P ₁) при трех выстрелах, если известно, что вероятность попадания в цель при одном выстреле р=0,8.

При трех выстрелах из всех возможных исходов испытания нас не удовлетворяет сложное событие А, состоящее из трех промахов. Вероят­ность этого события Р(А) = (1-р)³ - по правилу умножения. Но сумма вероятностей событий, составляющих полную систему, равна 1. В нашем примере полную систему событий можно рассматривать как систему, состоящую из двух событий хотя бы одного попадания и двух про­махов.

Следовательно, вероятность хотя бы одного попадания P ₁ =1-Р(А),
где Р(А) - вероятность трех промахов.

Итак, P₁ = 1-(1-р)³; Р₁= 1-(1-0,8)³ = 1-0,2³ = 0,992.

Очевидно, что при четырех выстрелах P₁ = 1 - (1-р)⁴, а при n выстре­лах

P₁=1-(1-р)ⁿ.

Эта формула показывает вероятность появления события хотя бы один раз при n испытаниях. Она же показывает вероятность поражения цели при n выстрелах, если для поражения достаточно одного попадания.

Так, вероятность поражения цели определена на основе известной вероятности другого события - вероятности попадания в цель при одном выстреле.

Все рассмотренные четыре способа определения вероятности приме­нимы к решению огневых задач. Как и когда применять каждый из них, надо решать, исходя из конкретных условий задачи.

Рассматривая способы определения вероятности, следует указать, что бывают случаи, когда вычисленная теоретически вероятность не оп­равдывается на практике. Например, расчетами может быть найдено, что вероятность попадания в мишень равна 0,9. Между тем, многочислен­ные стрельбы показывают, что в мишень попадает только 0,8 всех вы­пущенных пуль. Значит, вероятность высчитана неправильно, не учтены все причины, влияющие на ее величину. Так, очень часто, рассчитывая вероятность попадания, не учитывают ошибки в прицеливании, вид огня (одиночный, короткими или длинными очередями и т. д.), положение стрелка при стрельбе и т. п. и получают, поэтому неверный результат.

Влияние указанных причин на вероятность попадания теоретически еще изучено не полностью. Поэтому нельзя обосновывать условия упраж­нений Курса стрельб только знанием величин табличного рассеивания. Условия этих упражнений выработаны многолетней практикой и много­численными опытными стрельбами.

Практика (опыт) всегда показывает правильность или неправиль­ность теоретических расчетов, подсказывает новые пути решения, ста­вит новые вопросы. Так, в последние годы практика поставила перед теорией задачу исследования вопросов влияния на вероятность попада­ния длины очереди при стрельбе автоматическим огнем, ошибок в прице­ливании, положении для стрельбы и ряд других вопросов рассеивания при стрельбе автоматическим огнем.

В заключение рассмотрения способов расчета вероятности приведем примеры задач на определение вероятности появления событий.

Пример 1. Вероятность попадания в окоп гранатой АГС-17 при одном
выстреле р=0,1. Какова вероятность хотя бы одного попадания в цель
при четырех выстрелах?

Решение. Р₁=1-(1-р)ⁿ; Р₁ =1-(1-0,1)⁴; Р₁ = 0,3439 или примерно 34%.

Пример 2. Две БМП-2 ведут одновременно огонь по БЗО против­ника. Вероятность попадания в цель из первого БМП-2 p₁=0,2; из второ­го - р₂=0,4. Какова вероятность поражения цели, если БМП-2 произведут по одному выстрелу? (Для поражения цели достаточно одного попа­дания).

Решение, Р₁ =1-q₁ ·q₂, где q₁ - вероятность промаха 1-го БМП-2, равная 0,8; q₂ - вероятность промаха 2-гo БМП-2 равная 0,6.

Р₁ =1-0,8·0,6 =1-0,48 =0,52 или 52%.

Пример 3. При стрельбе из пистолета по мишени № 5 (спортивной) для данного стрелка попадание в черный круг достоверно. Какова веро­ятность того, что при одном выстреле он выбьет не менее 8 очков, если вероятности выбить 10, 9, 7, 6 очков соответственно равны: Р (10)=0,15; Р (9) =0,25; Р (7) =0,2; Р (6) =0,2.

Решение. 1) Вероятность попадания в восьмерку равна

Р(8)=1-[Р(10)+Р(9)+Р(7)+Р(6)];

Р(8) =1-(0,15+0,25+0,20+0,20)=1-0,8=0,2.

2) Вероятность выбить не менее 8 очков равна сумме вероятностей

Р(10)+Р(9)+Р(8), т. е. 0,15+0,25+0,20=0,6 или 60%.

Дата добавления: 2015-07-18