Полная вероятность события. Теорема гипотез

При обосновании правил стрельбы нередко приходится учитывать события, относительно появления которых можно лишь строить различ­ные предположения (гипотезы). Правильность тех или иных гипотез до опыта возможно выяснить, только определив вероятность их появления. Так, получив после первого выстрела недолет, можно предположить, что была допущена ошибка в определении прицела, например, на 100 или 200 метров и т. д. Если бы было известно, например, что вероятность ошибки до 100 м равна 50%, а вероятность ошибки до 200 м равна 30%, было бы очевидно, на сколько метров выгоднее увеличить дальность стрельбы для следующего выстрела.

Подобные задачи, возникающие при обосновании правил стрельбы, решаются на основании формул полной вероятности события и теоре­мы гипотез.

Допустим, что стрельба ведется по цели расположенной на прямо­линейном участке, который мы условно разделим на две части (рис. 6).

I участок II участок

Р(А)= Р₁·р₁+ Р₂·р₂

Р(А)=0,7·0,5+0,3·0,1=0,38

Рис. 6. Понятие о полной вероятности.

Вследствие ошибок при подготовке исходных данных мы не знаем, где

пройдет средняя траектория, через I или через II участок, а знаем только вероятность возможных ее положений. Именно, вероятность прохож­дения средней траектории через I участок P₁ = 0,7, а через второй участок Р₂ = 0,3. Известно также, что, при падении снаряда на I участке вероятность поражения цели p₁ = 0,5; а при падении снаряда на II уча­стке - р₂=0, 1.

Требуется найти полную вероятность поражения цели, т. е. вероят­ность ее поражения, вычисленную независимо от места прохождения траектории снаряда в пределах I и II участков.

Для решения задачи рассуждают так. Обозначим через Е двойное
(сложное) событие, состоящее в том, что: 1) траектория снаряда прой­дет через I участок и 2) цель будет поражена; а через F - такое же событие для II участка.

Так как нам важно поражение цели вообще, безразлично на каком бы участке ни упал снаряд, то событие А (поражение цели) равносиль­но событию либо Е, либо F.

По правилу сложения:

Р(А)=Р(Е)+Р(F), т. е. вероятность поражения цели, не указы­вая места падения снаряда - либо на I участке, либо на II, равна сумме вероятностей событий Е и F.

Но событие Е есть сложное (двойное) событие, заключающееся в том, что: 1) средняя траектория находится на I участке и 2) цель при этом будет поражена. По правилу умножения оно равно: Р(Е)=Р₁·р₁.

Таким же точно рассуждением найдем, что Р(F) = Р₂·р₂. Подста­вив эти выражения в формулу Р(А)=Р(Е)+Р(F), получим:

Р (A)= Р₁·р₁ + Р₂·р₂.

Эта формула и решает нашу задачу. Подставим числа:

Р (А) =0,7·0,5+0,3·0,1 =0,35+0,03=0,38.

Рассмотренный нами пример дал формулу для определения полной вероятности при наличии двух гипотез (предположений) о нахождении цели. Без труда можно распространить наш вывод и на любое число гипотез.

Пусть число гипотез (участков прохождения средней траектории) равно n и вероятности их соответственно равны Р₁, Р₂, Р₃, … Рn; из­вестны вероятности появления событий по данным гипотезам (пораже­ния цели при условии прохождения траектории снаряда на определен­ном участке) р₁,р₂, р₃,..., р_n.

Тогда полная вероятность появления события А, безразлично по ка­кой из гипотез, равна Р(A)= Р₁,· р₁+Р₂· р₂ +Р₃· р₃+ … +Рn·р_n.

Это правило обычно называют «формулой полной вероятности».

Вероятность появления события в результате осуществления любой из нескольких гипотез равна сумме парных произведений вероятности каждой гипотезы и вероятности появления данного события по этой гипотезе.

Пример. Известно, что вероятность события А - попадания в десят­ку равна для I стрелка 0,9; для II - 0,6; для III - 0,8. Какова вероятность того, что при выстреле будет выбита десятка, если стрелять могут дать любому из стрелков?

Решение. Так как по условию каждый стрелок имеет одинаковые шансы стрелять, то вероятность гипотез о том, что будет стрелять первый стрелок P ₁ = ; второй стрелок – Р ₂ = и третий стрелок также Р ₃ = .

Далее по выведенному нами правилу: Р(А)=Р₁· р₁+Р₂·р₂ +Р₃·р₃.

Подставив числа, получим:

.

Рассмотренные примеры и вывод формулы полной вероятности по­зволяют легче уяснить теорему гипотез, широко применяемую в теории стрельбы при обосновании правил ведения пристрелки и стрельбы на поражение.

Укажем, что к определению вероятности по теореме гипотез прибе­гают во всех случаях, когда осуществление события может произойти по нескольким гипотезам и вероятности их выясняются путем производства испытаний, т. е. когда нужно определить вероятность гипотезы после испытания.

Так, пусть в примере по рис. 6 после разрыва гранаты ВОГ-17 получили поражение цели. Какова теперь вероятность того, что средняя траектория прошла именно через I участок или именно через II участок, т. е. какова стала вероятность наших гипотез после испытания?

Мы имеем две гипотезы о месте падения гранаты: гипотезу P ₁ (о том, что граната упала на I участке) и гипотезу Р ₂ (о том, что разрыв был на II участке). Событие А - поражение цели - могло наступить по любой из двух возможных гипотез.

Обозначим вероятности гипотез после испытания через Q ₁ и Q ₂. Вероятность поражения цели в предположении, что имела место какая-то любая гипотеза (обозначим вероятность ее через Q _i), будет равна:

Pi ·pi = Qi · Р(А),

где Pi - вероятность гипотезы до испытания;

pi - вероятность события по этой гипотезе;

Qi - вероятность гипотезы после испытания;

Р(А) - полная вероятность события.

Отсюда искомая вероятность гипотезы после испытания равна:

.

Формулировка теоремы гипотез может быть дана следующая.

Вероятность гипотезы после испытания равна произведению веро­ятности этой гипотезы до испытания на вероятность события по данной гипотезе, деленному на полную вероятность события.

Найдем в нашем примере к рис. 6 вероятность второй гипотезы после испытания.

Составим формулу: . Подставим числа:

.

Найдем вероятность первой гипотезы после испытания:

.

Рассмотрим подробнее смысл полученных ответов.

Так как цель оказалась поражена, то очевидно, что граната скорее всего упала на I участке, где вероятность поражения цели была 0,5. Ве­роятность первой гипотезы возросла с 0,5 до 0,92, т. е. почти в два раза.

Вероятность же прохождения средней траектории на II участке после испытания уменьшилась с 0,3 до 0,08, т. е. почти в четыре раза. Это также можно было предположить, раз цель оказалась поражена. Легко догадаться, что если бы в результате разрыва гранаты цель оказа­лась непораженной, то вероятность падения гранаты на II участке была бы большей, чем 0,3; а на I участке - меньшей, чем 0,7.

Это можно подсчитать, решая следующую задачу.

При сохранении всех условий предыдущего примера цель оказалась не поражена (обозначим это событие В). Найти вероятность гипотез после испытания.

Зная, что p ₁ = 0,5, найдем вероятность противоположного события (не поражения цели):

Аналогично, q₁ =1 – p₁; q₁ = 1- 0,5 = 0,5.

q₂ = 1- p₂; q₂ = 1 –0,1 = 0,9.

Вероятность I гипотезы после испытания:

; .

Вероятность II гипотезы после испытания:

; .

Таким образом, наши предположения подтвердились.

При решении задач легко подметить, что сумма вероятностей всех гипотез до испытания равна единице и сумма вероятностей гипотез после испытания также равна единице. Этот вывод может являться контроль­ным при решении задач по теореме гипотез.

В заключение рассмотрения теоремы гипотез решим пример, подво­дящий к методу обоснования правил стрельбы захватом цели в вилку.

Для открытия огня из автоматического гранатомета стреляющий рассчитывает даль­ность стрельбы и определяет исходную установку прицела. Но при определении расстояния неизбежно допускаются ошибки.

Какую именно ошибку допустил стреляющий указать нельзя, но зато известен характер распределения возможных ошибок. Так, в преде­лах участков I - VIII вероятность получения ошибок показана на рис. 7.

0 0 0 0 0,50 0,32 0,14 0,04

«+»

I II III IV V VI VII VIII

М 0,02 А 0,07 К 0,16 Е 0,25 а 0,25 В 0,16 С 0,07 Д 0,02

Вероятность получения ошибок в пределах участка I – VIII до выстрела.

Вероятность получения ошибок в пределах участка V – VIII после испытания (после перелета).

Рис. 7. Распределение ошибок после получения перелета в точке А.

Когда был произведен выстрел, граната разорвалась за целью в точке а, т. е. был получен перелет.

Как теперь мы можем оценить вероятности допущения возможных ошибок в определении дальности, т. е., какова стала вероятность на­ших предположений (гипотез) после выстрела?

Обозначим вероятности гипотез о возможности допущения ошибок в пределах участков I - VIII соответственно через Р₁, Р₂, Р₃, Р₄, Р₅, Р₆, Р₇, Р₈. Вероятности их до выстрела P₁ = 0,02; Р₂= 0,07 и т. д. указаны на рис. 39.

После получения перелета - обозначим это событие буквой А - стало очевидным, что вероятности гипотез I, II, III и IV равны нулю. (Эти предположения были о возможности ошибок в меньшую сторону. Но раз получен перелет, значит ошибки, в определении дальности в меньшую сторону допущено не было).

Итак, вероятности гипотез Р₁, Р₂, Р₃, Р ₄ после испытания, давшего перелет (событие А), равны нулю: Р₁,= Р₂,= Р₃,=Р₄ = 0.

Найдем теперь по формуле теоремы гипотез вероятности гипотез V-VIII после получения перелета.

Вероятность пятой гипотезы после испытания равна:

,

где Р ₅ = 0,25 - вероятность пятой гипотезы до испытания;

Р ₅ = 1 - вероят­ность события (перелета) по данной гипотезе, т. е. вероятность получе­ния перелета при условии, что ошибка допущена в пределах V участка;

Р(А) - полная вероятность события (перелета), равная сумме парных произведений:

Р(А)= 0,02.0 + 0,07.0 + 0,16.0 + 0,25.0 + 0,25.1 + 0,16.1 + 0,07.1+ 0,02.1= 0,5.

Тогда .

Таким же образом находим, что Q₆ =0,32; Q₇ =0,14; Q₈ =0,04.

Итак, после получения перелета вероятности ошибок в пределах участков V - VIII возросли вдвое. На рис. 7 кривыми показан характер распределения ошибок до и после выстрела.

Вторая кривая показывает, что наиболее вероятна ошибка в даль­ности в пределах V участка. Отсюда делается вывод о наиболее целе­сообразном изменении прицела для производства следующего выстрела.

Решенная нами задача объясняет один из методов обоснования правил стрельбы захватом цели в вилку. Как видим, применение теории вероятностей позволяет делать важные практические выводы. Разумеется, приведенные расчеты делаются не в ходе стрельбы, а заранее, при составлении и разработке правил стрельбы.

Далее мы рассмотрим наиболее прикладную часть сведений из теории вероятностей, изучающую закономерности появления случайных ошибок.

Дата добавления: 2015-07-18