Энтропийный барьер

Время течет в одном направлении: из прошлого в бу­дущее. Мы не можем манипулировать со временем, за­ставить его идти вспять, в прошлое. Путешествие во времени занимало воображения многих писателей: от безымянных создателей «Тысячи и одной ночи» до Гер­берта Уэллса с его «Машиной времени». В небольшом

произведении В. Набокова «Посмотри на арлекинов!»¹⁶ описываются муки рассказчика, которому не удается переключиться с одного направления времени на другое, чтобы «повернуть время вспять». В пятом томе своего капитального труда «Наука и цивилизация в Китае» Джозеф Нидэм описывает мечту китайским алхимиков: «свою высшую цель те видели не в превращении метал­лов в золото, а в манипулировании временем, достиже­нии бессмертия путем резкого замедления всех процес­сов распада в природе¹⁷. Теперь мы лучше понимаем, почему время невозможно «повернуть назад».

Бесконечно высокий энтропийный барьер отделяет разрешенные начальные состояния от запрещенных. Барьер этот никогда не будет преодолен техническим прогрессом: он бесконечно высок. Нам не остается ни­чего другого, как расстаться с мечтой о машине време­ни, которая перенесет нас в прошлое. Энтропийный барьер несколько напоминает другой барьер: существо­вание предельной скорости распространения сигналов скорости света. Технический прогресс может приблизить нас к скорости света, но, согласно современным физи­ческим представлениям, мы никогда не сможем превзой­ти ее.

Для того чтобы понять происхождение энтропийного барьера, нам потребуется вернуться к выражению для H-функции, возникающему в теории цепей Маркова (см. гл. 8). Сопоставим с каждым распределением чис­ла соответствующее значениеH-функции. Можно ут­верждать, что каждое распределение обладает вполне определенным информационным содержанием. Чем вы­ше информационное содержание, тем труднее реализо­вать его носитель. Покажем, что начальное распреде­ление, запрещенное вторым началом, обладало бы бес­конечно большим информационным содержанием. Имен­но поэтому такие запрещенные распределения невоз­можно ни реализовать, ни встретить в природе.

Напомним сначала, какой смысл имеет введенная в гл. 8 H-функция. Разделим фазовое пространство на клетки, или ячейки. С каждой ячейкой k сопоставим ве­роятность Р _равн(k) попасть в нее в равновесном состоя­нии и вероятность Р(k,t) оказаться в ней в неравновес­ном состоянии.

H -функция есть мера различия между P(k,t) и Р _равн(k). В состоянии равновесия, когда различие

Рис. 41. Растягивающиеся (последовательность А) и сжимаю­щиеся (последовательность С) слои пересекают различное число кле­ток («ящиков»), на которые разделено фазовое пространство «преоб­разования пекаря». Все «квадраты», принадлежащие данной последо­вательности, относятся к одному моменту времени t =2, но число кле­ток, на которые разделен каждый квадрат, зависит от начала отсчета времени системы t_i.

между вероятностями исчезает, H -функция обращается в нуль. Чтобы сравнить его с «преобразованием пекаря» и двумя порождаемыми им цепями Маркова, необходи­мо уточнить, как выбираются соответствующие ячейки. Предположим, что мы рассматриваем систему в момент времени 2 (см. рис. 39) и что в исходном состоянии система находилась в момент времени t_i. Согласно на­шей динамической теории, клетки соответствуют всем возможным пересечениям разбиений от t=t_i до t=2. На рис. 39 мы видим, что, когда t_i отходит в прошлое,

ячейки становятся все более тонкими, поскольку нам приходится вводить все больше и больше вертикальных подразделений. Это отчетливо видно на рис. 41, где-в последовательности В мы получаем при движении сверху вниз t_i-= 1, 0, —1 и, наконец, t_i=— 2. Нетрудно видеть, что число ячеек возрастает при этом с 4 до 32.

Коль скоро мы располагаем ячейками, естественно сравнить неравновесное распределение с равновесным в каждой ячейке. В рассматриваемом нами примере неравновесное распределение есть либо растягивающийся слой (последовательность А), либо сжимающий­ся слой (последовательность С). Обратим внимание на то, что по мере сдвига t_i в прошлое растягивающийся слой занимает все большее число ячеек: при t_i =—1 он занимает 4 ячейки, при t_i =—2 — уже 8 ячеек и т. д. В результате, воспользовавшись формулой из гл. 8, мы получаем конечный «ответ», даже если число ячеек неограниченно возрастает при t_i®¥.

Сжимающийся слой в отличие от растягивающегося при любых t_i всегда локализован в 4 ячейках. Это при­водит к тому, что H-функция для сжимающегося слоя обращается в бесконечность, когда t_i уходит в прош­лое. Таким образом, различие между динамической си­стемой и цепью Маркова состоит в том, что в случае динамической системы необходимо рассматривать бес­конечно много ячеек. Приготовить или наблюдать мож­но лишь такие меры или вероятности, которые в преде­ле при бесконечно большом числе ячеек дают конечную информацию или конечную H-функцию. Это исключает сжимающиеся слои¹⁸. По той же причине необходимо исключить и распределения, сосредоточенные в одной точке. Начальные условия, соответствующие одной точ­ке в неустойчивой системе, соответствовали бы беско­нечной информации. Следовательно, ни реализовать, ни наблюдать их невозможно. И в этом случае второе нача­ло выступает в роли принципа отбора.

В классической схеме начальные условия были про­извольными. Для неустойчивых систем произвол исклю­чается. Каждое начальное условие обладает в случае неустойчивых систем определенным информационным содержанием, которое зависит от динамики системы (подобно тому как в «преобразовании пекаря» для вы­числения информационного содержания мы прибегли к последовательному делению ячеек). Начальные усло-

вия и динамика перестают быть независимыми. Второе начало как принцип отбора представляется нам настоль­ко важным, что мы хотели бы привести еще один при­мер, на этот раз связанный с динамикой корреляций.

Дата добавления: 2015-07-15