Пределы классических понятий

Начнем с классической механики. Как мы уже упо­минали, если основным первичным элементом считать траекторию, то мир был бы таким же обратимым, как и те траектории, из которых он состоит. В «тра-екторном» описании нет места ни энтропии, ни стреле времени. Но в результате непредвиденного развития событий применимость понятия траек­тории оказалась более ограниченной, чем мож-

но было бы ожидать. Вернемся к теории ансамб­лей Гиббса и Эйнштейна, о которой мы говорили в гл. 8. Как известно, Гиббс и Эйнштейн ввели в физику фазовое пространство для того, чтобы учесть наше «не­знание» начального состояния системы большого числа частиц. Для Гиббса и Эйнштейна функция распределе­ния в фазовом пространстве была лишь вспомогатель­ным средством, выражающим незнание de facto ситуации, которая однозначно определена de jure. Но вся проблема предстает в новом свете, если можно по­казать, что для некоторых типов систем бесконечно точное определение начальных условий приводит к внутренне противоречивой процедуре. Но коль скоро это так, тот факт, что нам всегда известна не отдельная траектория, а группа (или ансамбль) траекторий, выражает уже не только ограниченность нашего зна­ния — он становится исходным пунктом нового подхода к исследованию динамики.

В простейших случаях никакой проблемы не возни­кает. Рассмотрим в качестве примера маятник. В зави­симости от начальных условий маятник может либо ко­лебаться, либо вращаться вокруг точки подвеса. Для того чтобы маятник вращался, его кинетическая энер­гия должна быть достаточно велика, иначе он «упа­дет назад», так и не достигнув вертикального положе­ния. Двум типам движения — колебаниям и вращени­ям — соответствуют две различные области фазового пространства. Причина, по которой эти области не пе­ресекаются, весьма проста: для вращения необходим больший запас кинетической энергии, чем для колеба­ния (см. рис. 30).

Если измерения позволяют установить, что система первоначально находится в заданной области, мы мо­жем с полной уверенностью предсказать, будет ли ма­ятник совершать колебания или вращаться вокруг точ­ки подвеса. Повысив точность измерений, мы можем локализовать начальное состояние маятника в более узкой области, целиком лежащей внутри предыдущей. И в том, и в другом случае поведение системы извест­но при любых t: ничего нового или неожиданного слу­читься не может.

Одно из наиболее удивительных открытий XX в. со­стоит в том, что такого рода описание не соответству­ет поведению динамических систем в общем случае, по-

Рис. 30. Представление движения маятника в пространстве координат V и q, где V — скорость, q — угловое отклонение, а) Ти­пичные траектории в пространстве (V, q); b) заштрихованные области соответствуют колебаниям, а области вне их — вращению маятника.

скольку «большинство» траекторий динамических си­стем неустойчиво⁶. Обозначим траектории одного типа (например, соответствующие «колебательным режи­мам») знаком +, а траектории другого типа (соответ­ствующие «вращательным режимам») знаком Ú. Вме­сто картины, изображенной на рис. 30, где области ко­лебательных и вращательных режимов разделены, мы получим в общем случае причудливую смесь состояний, что делает переход к отдельной точке весьма неодно­значным (см. рис. 31). Даже если известно, что началь­ное состояние нашей системы принадлежит области А, мы не можем заключить, что проходящая через него

Рис. 31. Схематическое изображение любой произвольно малой области фазового пространства V динамически неустойчивой системы. Как и в случае маятника, существуют траектории двух типов (обозначенные + и Ú), но, в отличие от маятника, траектории обоих типов встречаются в сколь угодно малой области.

траектория принадлежит типу +: траектория вполне может оказаться типа Ú. Увеличение точности измере­ний и связанный с ним переход от области А к более узкой области В также ничего не дает, так как неопре­деленность в типе траектории сохраняется. Во всех сколь угодно малых областях всегда существуют со­стояния, принадлежащие каждому из двух типов траек­торий⁷.

Для таких систем траектории становятся ненаблю­даемыми. Неустойчивость свидетельствует о достиже­нии пределов ньютоновской идеализации. Нарушается независимость двух основных элементов ньютоновской динамики: закона движения и начальных условий. За­кон движения вступает в конфликт с детерминирован­ностью начальных условий. В этой связи невольно вспоминается мысль Анаксагора о неисчерпаемости творческих возможностей частиц (семян), составляю­щих природу. По Анаксагору, любой предмет содержит в каждой своей части бесконечное множество качест­венно различных семян. В нашем случае любая об-

ласть фазового пространства содержит огромное мно­жество качественно различных режимов поведения.

С этой точки зрения детерминистическая траектория применима лишь в ограниченных пределах. А посколь­ку не только на практике, но и в теории мы не можем описывать систему на языке траекторий и вынуждены, использовать функцию распределения, соответствую­щую конечной (сколь угодно малой) области фазового пространства, нам остается лишь предсказывать стати­стическое будущее системы,

Наш друг Леон Розенфельд имел обыкновение го­ворить, что понятия могут быть поняты лишь через их пределы. В этом смысле можно утверждать, что мы достигли ныне лучшего понимания классической меха-пики, создание которой проложило путь к современно­му естествознанию.

Как возникла новая точка зрения? Для того чтобы ответить на этот вопрос, нам придется описать те глу­бокие изменения, которые претерпела динамика в XX в. Хотя по традиции динамику принято считать архети­пом полной, замкнутой отрасли знания, в действитель­ности она подверглась коренным преобразованиям.

Дата добавления: 2015-07-15