Портфель Тобина минимального риска.

Через несколько лет после исследования Марковица другой крупнейший американский экономист Д. Тобин (также впоследствии лауреат Нобелевской премии) заметил, что если на рынке есть безрисковые бумаги (к таким можно с некоторой натяжкой отнести государственные ценные бумаги), то решение задачи об оптимальном портфеле сильно упрощается и приобретает замечательное новое качество.

Пусть – эффективность безрисковых ценных бумаг, а – доля капитала, в них вложенного, тогда в рисковую часть портфеля вложена (1 – ) часть всего капитала. Пусть – эффективность и – дисперсия рисковой части портфеля и – риск этой части. Тогда эффективность всего портфеля равна , дисперсия всего портфеля равна и риск портфеля равен (считается, что безрисковые ценные бумаги некоррелированы с остальными). Исключая , получим , т.е. эффективность портфеля линейно зависит от его риска.

Задача Марковица об оптимальном портфеле ценных бумаг в этом случае формулируется следующим образом:

,

.

Изложим теперь окончательное решение этой задачи, полученное Тобиным. Пусть V – матрица ковариаций рисковых видов ценных бумаг, – вектор-столбцы долей х капитала, вкладываемых в i -тый вид рисковых ценных бумаг и ожидаемых эффективностей этого вида, i = 1,…, n. Пусть также I – n -мерный вектор-столбец, компоненты которого равны 1. Тогда оптимальное значение долей есть:

.

В числителе дроби стоит число, в знаменателе – тоже число, причём константа, определяемая рынком и не зависящая от инвестора, – вектор-столбец размерности n, не зависящий от эффективности портфеля . Таким образом, вектор долей рисковых видов ценных бумаг также не зависит от . Однако сумма компонент вектора зависит от , а именно, компоненты вектора пропорционально увеличиваются с ростом , поэтому доля безрисковых вложений будет при этом сокращаться.

Выразим риск оптимального портфеля в зависимости от его доходности. Для этого в формулу вариации портфеля подставим оптимальный вектор , обозначив знаменатель дроби через . Получим

Окончательно: или . Можно также написать выражение эффективности оптимального портфеля от его риска: или . Видно, что эти зависимости линейные. Полученный оптимальный портфель называется портфелем Тобина минимального риска, т.е. портфель Тобина – это портфель Марковица при наличии на рынке безрисковых ценных бумаг.

Дата добавления: 2015-07-14