Оценка постоянного аннуитета постнумерандо.

Аннуитет называется постоянным, если все денежные поступления равны между собой. В этом случае:

.

Для оценки будущей и приведённой стоимости постоянного аннуитета можно пользоваться формулами (3.1), (3.2), (3.3), (3.5), которые в этом случае упрощаются. Формула (3.1) трансформируется следующим образом:

; (4.1)

Множитель называется коэффициентом наращения аннуитета (ренты) и представляет собой сумму n первых членов геометрической прогрессии с первым членом, равным 1 и знаменателем q = 1 + i:

. (4.2)

Экономический смысл множителя заключается в следующем: он показывает, чему будет равна суммарная величина срочного аннуитета в 1 денежную единицу к концу срока его действия. Из (4.1) следует, что показывает, во сколько раз наращенная сумма аннуитета больше величины денежного поступления С.

Задача. Вам предлагают сдать в аренду участок на 3 года, выбрав один из двух вариантов оплаты аренды: а) 10 000 руб. в конце каждого года; б) 35 000 руб. в конце трёхлетнего периода. Какой вариант более предпочтителен, если банк предлагает 20% годовых по вкладам?

Первый вариант оплаты представляет собой аннуитет постнумерандо с n = 3 и С = 10 000. В этом случае имеется возможность ежегодного получения арендной платы и инвестирования полученных сумм на условиях 20% годовых. К концу трёхлетнего периода накопленная сумма составит

(руб.).

Таким образом, вариант а) выгоднее.

Если i – процентная ставка за базовый период, а начисление процентов происходит m раз в течение этого периода, то наращенный денежный поток, начиная с последнего денежного поступления имеет вид:

…, .

Это геометрическая прогрессия с первым членом, равным С, и знаменателем q = . Сумма n первых членов этой геометрической прогрессии равна:

. (4.3)

Разберём ситуацию, когда в течение базового периода процентов денежные поступления происходят несколько раз, а проценты начисляются 1 раз в конце периода.

Пусть в течение базового периода денежные поступления происходят p раз и 1 раз в конце периода начисляются проценты по ставке i. Определим сумму, которая накопится к концу любого периода, если на отдельные взносы, поступающие в течение периода, начисляются сложные проценты.

На последнее p -тое поступление проценты не начисляются, оно равно С. На предпоследнее (p - 1) - ое поступление начисляются сложные проценты за 1/ p -тую часть периода, оно будет равно . На (p - 2) - ое поступление начисляются сложные проценты за 2/ p -тую часть периода, оно будет равно и т.д. до первого включительно, которое будет равно . Получили геометрическую прогрессию с первым членом С и знаменателем . Число членов этой прогрессии равно p, поэтому сумма p первых членов геометрической прогрессии равна

.

Можно считать, что мы имеем дело с аннуитетом, денежные поступления которого равны и происходят в конце каждого базового периода начисления процентов. Из (4.1) получим:

.

Учитывая (4.2), получим: . (4.4)

Рассмотрим аналогичным образом и более общую ситуацию, когда в течение базового периода денежные поступления происходят p раз и проценты начисляются m раз за период.

На последнее p -тое поступление проценты не начисляются, оно равно С. На предпоследнее (p - 1) - ое поступление начисляются сложные проценты за 1/ p -тую часть периода, оно будет равно . На (p - 2) - ое поступление начисляются сложные проценты за 2/ p -тую часть периода, оно будет равно и т.д. до первого включительно, которое будет равно . Находим сумму полученных величин:

.

Воспользуемся формулой (4.3):

. (4.5)

Задача. Пусть в условиях предыдущей задачи о сдаче участка в аренду предлагается оплата по 5 000 руб. в конце каждого полугодия. При этом возможно начисление сложных процентов: а) ежегодное; б) полугодовое; в) ежеквартальное. Оценить, что выгоднее.

а) n = 3, i = 20%, p = 2. (руб.);

б) n = 3, i = 20%, p = 2, m = 2. (руб.).

Можно воспользоваться формулой (4.1), считая базовым периодом полугодие:

n = 3 · 2 = 6, i = = 10%, p = 2. (руб.).

в) n = 3, i = 20%, p = 2, m = 4. (руб.).

Сравнивая полученные результаты, видим, что будущие стоимости увеличиваются при увеличении числа начисления процентов внутри базового периода.

Преобразуем формулу (4.5), предполагая, что длительность базового периода начисления равна 1 году и используя понятие эффективной годовой процентной ставки f.

Т.к. (см. (2.6)), то .

Аналогично: .

Получим:

. (4.6)

Преобразованная формула является способом нахождения будущей стоимости аннуитета с помощью эффективной ставки.

Задача. Предприниматель в результате инвестирования в некоторый проект будет в течение 5 лет получать в конце каждого года 30 000 руб.. Определить сумму, которой может через 5 лет обладать предприниматель, если можно поместить деньги в банк под сложную процентную ставку 28% годовых с ежеквартальным начислением процентов.

Найдём эффективную ставку для i = 28%: .

Применим формулу (4.1) при n = 5, i = 31,08%, С = 20 000: (руб.).

Если же воспользоваться формулой (4.6) для m = 4, i = 28%, n = 5, получим:

(руб.).

Рассмотрим общую постановку обратной задачи постоянного срочного аннуитета постнумерандо. В этом случае производится оценка будущих денежных поступлений с позиции текущего момента. Общая формула для оценки текущей стоимости срочного аннуитета постнумерандо выводится из основной формулы (3.2):

. (4.7)

Множитель называется коэффициентом дисконтирования ренты (аннуитета) и как сумма членов геометрической прогрессии равен:

= . (4.8)

Экономический смысл дисконтного множителя заключается в следующем: он показывает, чему равна с позиции текущего момента стоимость аннуитета с регулярными денежными поступлениями в размере одной денежной единицы, продолжающегося n равных периодов с заданной процентной ставкой i.

Задача. В условиях задачи о сдаче в аренду участка на три года с вариантами оплаты а) 10 000 руб. в конце каждого года или б) 35 000 руб. в конце трёхлетнего периода (i = 20% годовых) оценить оба варианта с позиции текущего момента.

а) (руб.);

б) (руб.).

Первый вариант предпочтительнее; результат тот же, что и при оценке с позиции будущего.

Дисконтный множитель полезно интерпретировать и как величину капитала, поместив который в банк под сложную процентную ставку i, можно обеспечить регулярные выплаты в размере одной денежной единицы в течение n периодов (выплаты производятся в конце каждого периода). Например, т.к. , то, поместив 4 руб. 16 коп. под сложную процентную ставку 16%, можно обеспечить выплаты по 1 руб. в течение 7 лет.

В случае рассмотрения сложных процентов выводы формул для нахождения приведённых стоимостей аннуитетов аналогичны выводам формул для нахождения наращенных сумм. Получающиеся денежные потоки будут представлять собой геометрические прогрессии со знаменателями, равными дисконтным множителям.

Для постоянного аннуитета постнумерандо с начислением сложных процентов m раз за базовый период приведённый денежный поток имеет вид:

. (4.9)

Для p- срочных аннуитетов с начислением сложных процентов соответственно 1 раз за базовый период и m раз имеем:

; (4.10)

. (4.11)

Применяя эффективную годовую ставку, получим:

,

откуда

. (4.12)

Задача. Страховая компания, заключив на 4 года договор с некоторой фирмой, получает от неё страховые взносы по 20 000 руб. в конце каждого полугодия. Эти взносы компания помещает в банк под 12% годовых. Найти приведённую стоимость суммы, которую получит страховая компания по данному контракту, если проценты начисляются: а) раз в полгода; б) ежемесячно.

а) n = 4, i = 12%, m = 2, p = 2.

(руб.).

б) n = 4, i = 12%, m = 12, p = 2.

(руб.).

Найдём зависимость между будущей и приведённой стоимостью аннуитета постнумерандо с начислением сложных процентов m раз за период.

;

Из этой формулы следует, что, положив в банк сумму под i процентов годовых с начислением процентов m раз за год, через n лет мы получим величину , равную наращенной сумме соответствующего аннуитета. Например, в условиях последней задачи 123 453 руб., положенные в банк под 12% годовых с ежемесячным начислением процентов, дадут страховой компании через 4 года ту же сумму, какую она получит по контракту.

Дата добавления: 2015-07-14