Постоянный непрерывный аннуитет.

Предположим, что в течение каждого периода денежные поступления происходят очень часто, так что промежутки между последовательными поступлениями представляют собой бесконечно малые величины. Примером могут служить страховые выплаты, выручка от продаж в крупном торговом предприятии и т.п.. В этом случае можно говорить о непрерывном поступлении доходов и определить непрерывный аннуитет.

Рассмотрим самую простую ситуацию, когда денежные поступления происходят непрерывно с постоянной интенсивностью: одно и то же количество денежных поступлений в единицу времени. Такой непрерывный аннуитет называется постоянным и характеризующие его соотношения можно вывести из формул для p -срочного аннуитета, переходя в них к пределу при и несколько модифицируя величину С члена аннуитета. Ясно, что непрерывно не может поступать величина С, т.к. через любой малый промежуток времени накопится бесконечно большая сумма денег и будущая стоимость аннуитета бесконечно возрастёт. Пусть в конце каждого базового периода p -срочного аннуитета суммарная величина денежных поступлений равна Ā, тогда каждое поступление будет равно и формула (4.4) примет вид:

.

Отсюда получим формулу для оценки будущей стоимости постоянного непрерывного аннуитета:

. (7.1)

Воспользовавшись соотношением для аннуитета пренумерандо, мы получили бы ту же самую формулу, т.к. в непрерывном случае исчезает различие между аннуитетами постнумерандо и пренумерандо.

Приведённая стоимость непрерывного аннуитета составит:

. (7.2)

Задача. В течение 6 лет на счёт в банке ежедневно будут поступать одинаковые платежи, каждый год составляя в сумме 40 000 руб.. Определить сумму, накопленную к концу шестого года при использовании процентной ставки 12% годовых.

Считаем, что платежи поступают непрерывно.

(руб.).

Сравним это значение с полученным по формуле (4.4), полагая, что в году 360 дней:

(руб.).

Полученные величины отличаются незначительно.

Задача. Некоторое месторождение полезных ископаемых будет разрабатываться в течение 8 лет, при этом ожидается, что доходы от эксплуатации месторождения составят в среднем 300 млн руб. в год. Оценить приведённую стоимость ожидаемого дохода при использовании сложной процентной ставки 20% годовых и в предположении, что отгрузка и реализация продукции будут непрерывны и равномерны.

В качестве первого приближения можно рассматривать получаемый денежный поток как постоянный аннуитет постнумерандо с С = 300 млн, сроком n = 8 и периодом, равным 1 году.

(млн руб.).

В соответствии с условием задачи более точный результат получим, считая, что в течение года каждый квартал доход составит (млн руб.). Полагая С = 75, р = 4, n = 8, i = 20%, получим:

(млн руб.).

Поскольку реализация предполагается равномерной, то лучше считать, что доход поступает ежедневно. Проще всего не разбивать год на равные временные периоды, а считать поток доходов постоянным непрерывным аннуитетом с интенсивностью Ā = 300 млн руб. в год:

(млн руб.).

Из приведённых расчётов наглядно видно, как увеличивается значение приведённой стоимости при сокращении периода между денежными поступлениями.

Если проценты начисляются m раз за период, то из (4.5) получаем формулы:

; (7.3)

. (7.4)

Переходя в правой части равенства (7.3) к пределу при ,находим будущую стоимость постоянного непрерывного аннуитета:

, (7.5)

где δ – сила роста при непрерывном начислении процентов.

Формулу (7.5) можно было бы получить из (4.5), определяя вначале предел при (т.е. переходя к непрерывному начислению процентов), а затем определяя предел при (т.е. переходя к непрерывным денежным поступлениям).

Умножая на , получим приведённую стоимость постоянного непрерывного аннуитета с непрерывным начислением процентов:

. (7.6)

Приведённая стоимость отсроченного на h периодов непрерывного аннуитета составит:

. (7.7)

Задача. Фирма ожидает получить при реализации своей продукции за год 100 000 руб.. Предполагается, что продукция в течение года будет продаваться более или менее равномерно. Оценить ожидаемые денежные поступления, если применяется непрерывная ставка 15% в год.

Поскольку в условии говорится о более или менее равномерном распределении продаж в течение года, то логично предполагать, что интенсивность потока выручки будет в какой-то мере постоянной величиной, равной 100 000 руб. за год. Считая, что денежные поступления происходят непрерывно, определим будущую и приведённую стоимости непрерывного аннуитета:

(руб.);

(руб.).

При определении можно было воспользоваться уже найденным значением :

= (руб.).

* Непрерывный денежный поток.

Мы рассмотрели случай, когда денежные поступления происходят с постоянной интенсивностью. Обсудим более общую ситуацию. Рассмотрим интервал времени и обозначим через денежное поступление, происходящее в момент времени t. Тогда за время прирост денежных поступлений составит величину - , а средняя скорость изменения величины денежных поступлений за время будет равна . Эту величину назовём средней интенсивностью денежных поступлений (денежного потока) на промежутке . Мгновенную интенсивность потока в момент времени t можно определить как предел средней интенсивности при :

.

Величина называется интенсивностью денежного потока в момент времени t.

Пусть интенсивность денежного потока известна. Разобьём точками весь период на большое число N интервалов. Обозначим .Пренебрегая разновременностью денежных поступлений в течение короткого промежутка времени , можно считать, что сумма денежных поступлений на этом интервале приблизительно равна . Если используется сложная процентная ставка i, то приближённое значение приведённой стоимости денежного потока на момент времени t = 0 равно:

.

Это выражение есть интегральная сумма, поэтому, переходя в нём к пределу при , получим:

. (8.1)

Если вместо процентной ставки i применяется сила роста δ, то, полагая , получим:

. (8.2)

Будущая стоимость непрерывного денежного потока при применении ставок i и δ соответственно равна:

; (8.3)

. (8.4)

На практике при оценке фактически непрерывно (очень часто) происходящих денежных поступлений их аппроксимируют некоторыми, как правило, непрерывными функциями. Нередко удаётся использовать линейные и показательные функции.

Если доходы с течением времени имеют одинаковое абсолютное изменение (прирост или уменьшение), то представляют линейной функцией

= ,

где .

Если же доходы имеют постоянное относительное изменение, то рекомендуется записывать в виде

= .

Задача. Расчёты показывают, что в результате инвестиционных затрат будет обеспечен в течение 6 лет непрерывный поток доходов, линейно возрастающий по времени и ежегодно увеличивающийся на 60 млн руб.. Оценить возможную величину инвестиций в условиях применения сложной процентной ставки 20% годовых.

Чтобы определиться в размере инвестиционных затрат, можно найти приведённую стоимость потока доходов. Поскольку интенсивность потока выражается линейной функцией, то млн руб. в год, .

= (млн руб.).

Если инвестиционные затраты составляют меньше 539,236 млн руб., то участие в проекте возможно.

Определим будущую стоимость потока доходов:

(млн руб.).

В общем случае поток на временном отрезке может иметь смешанный вид: некоторые рентные платежи поступают дискретно, а на некоторых интервалах времени поступление платежей можно считать непрерывным. Приведённая стоимость такого смешанного денежного потока определяется комбинацией соответствующих формул.

٭Рассмотрим пример непрерывной ренты из практики. Но предварительно запишем стоимость конечной непрерывной ренты в предположении, что деньги вносятся неравномерно. Пусть рассматривается промежуток времени в n лет и в интервале времени вносится сумма , где - некоторая действительная функция. Тогда приведённую и будущую стоимости такой ренты на интервале можно записать в виде:

.

Допустим, что магистральный участок большой 8-рядной автодороги находится «на хозрасчёте». Причём все поступающие от участников дорожного движения средства в тот же день переводятся на некоторый долгосрочный счёт с постоянной ставкой. В этой ситуации без особой натяжки можно считать, что деньги поступают непрерывно. Пунктов сбора оплаты проезда на 200-километровом отрезке автодороги около 100, и в каждом свой интервал времени, в который этот пункт и должен перечислить собранные средства. Таким образом, поступающие на рассматриваемый счёт в каждый конкретный момент деньги составляют малую долю от всей собранной за день суммы, а сами моменты перевода достаточно плотно распределены в течение суток.

Попробуем грубо определить доход от эксплуатации этой дороги в предстоящее 10-летие, т.е. стоимость соответствующей ренты. Предположим для этого, что в течение предстоящих 10 лет:

1) ежегодная банковская ставка будет оставаться постоянной на уровне i = 0,04;

2) стоимость 1 т · км также будет одинаковой и равной 0,1;

3) рост грузооборота в зависимости от времени можно определить функцией ;

4) пусть, кроме того, известна оценка суммарного грузооборота за последний год: 1 млн т · км.

Поскольку выбранной ставке соответствует δ = 0,0392, найдём приведённую и будущую стоимости ренты за 10 лет:

(руб.); (руб.).

Замечание. Возможно, более естественной является ситуация, когда предположение о росте грузооборота остаётся прежним, но данные по нему за прошлый год отсутствуют. В этом случае их можно заменить, например, оценкой по грузообороту за первый предстоящий год, скажем величиной b. Тогда практически ничего не меняется. Только предварительно придётся найти отсутствующую величину a грузооборота за прошлый год по b из уравнения

,

используя, например, известное соотношение ~ при .

Дата добавления: 2015-07-14