Теорема Ролля

Теорема. Якщо функція неперервна на відрізку , диференційовна в інтервалі і приймає рівні значення на його кінцях, тобто , то в інтервалі існує хоча б одна точка така, що .

Геометрично: знайдеться точка С така, що дотична з цією абсцисою до графіка паралельна осі ОХ (див. рис.39)

Y

f(a) f(b)

a с₁ с₂ b X

Рис.39

Доведення. Оскільки функція неперервна на , то вона досягає на цьому відрізку свого найменшого і найбільшого значень. Якщо б ці значення досягались на кінцях відрізка в точках і , то за умовою теореми неперервна і випливало б, що функція - стала і тоді в кожній точці відрізка . Тому припускаємо, що функція досягає свого, наприклад, найбільшого значення у деякій точці (див. рис. 39), .

Обчислимо ліву похідну

(1)

і праву похідну

(2)

Згідно диференційовності її ліва і права похідні збігаються, тому із співвідношень (1) і (2) випливає, що .

З рис. 39 видно, що можливі і інші точки, в яких похідна дорівнює нулю .

6.2. Теорема Коші

Теорема. Якщо функції f(x) i j(x) неперервні на [a, b] і мають похідні в інтервалі (a, b) і j¢(х)¹0 для х є (a, b), то існує точка , така, що має місце співвідношення:

(1)

Доведення. Розглянемо допоміжну функцію

,

де число підберемо таким, щоб функція задовольняла теорему Ролля.

Із неперервності на функцій і випливає, що теж неперервна. Крім того, із диференційовності і в інтервалі випливає диференційовність . Залишилось знайти число таким, щоб , тобто

. (2)

Отже, згідно з теоремою Ролля існує точка , така що , тобто

. (3)

Із рівностей (2) і (3) отримуємо формулу Коші (1).

Дата добавления: 2015-07-14