Задача 11.

Читайте также:

1. Полотняне шатро об’єму має форму прямого кругового конуса. Яким повино бути відношення висоти конуса до діаметра, щоб на виготовлення шатра пішла найменша кількість полотна?

2. Із полоси жерсті шириною 11 см необхідно виготовити відкритий зверху жолоб, поперечний перетин якого має форму рівнобедреної трапеції. Дно жолоба повинно мати ширину 7 см. Якою повинна бути ширина жолоба зверху, щоб він вміщував найбільшу кількість води?

3. Із полоси жерсті шириною 20 см необхідно виготовити відкритий зверху жолоб, поперечний перетин якого має форму рівнобедреної трапеції. Дно жолоба повинно мати ширину 10 см. Яким повинен бути кут між стінками жолоба і дном, щоб він вміщував найбільшу кількість води?

4. Поперечний переріз відкритого канала має форму рівнобдренної трапеції. При якому нахилі боків “мокрий периметр” перетину буде найменшим, якщо площа “живого перетину” води в каналі дорівнює S, а рівень води дорівнює h?

5. Знайти відношення радіуса циліндра до його висоти, при якому циліндр заданого об’єму V має найменшу площу повної поверхні.

6. Відкрита посудина, що має форму циліндра, який закінчується знизу півсферою, вміщує 18 л води. Знайти розміри посудини при яких на її виготовлення піде найменша кількість матеріалу.

7. Добовий розхід при плаванні судна складається з двох частин: сталої, що дорівнює а грошових одиниць і змінної, що зростає пропорціонально кубові швидкості. При якій швидкості V плавання судна, буде найбільш економним?

8. Із листового заліза виготовлено відкритий бак циліндричної форми об’єму з найменшими затратами матеріалу. Які розміри бака?

9. Енергія, яка витрачається за одиницю часу на рух парохода, пропорціональна кубові його швидкості, яку розвиває двигун в стоячій воді. Знайти найбільш економну швидкість руху парохода, якщо необхідно пройти задану відстань S проти течії, швидкість якої дорівнює 6 ^км/_год.

10. В трикутнику одна сторона а, а протилежний їй кут a. Визначити два інші кути так, щоб площа його була найбільшою.

11. Одна із сторін трикутника дорівнює а, а його периметр 2р. Визначити дві інші сторони за умови, щоб площа його була найбільшою.

12. На сторінці книги друкований текст (разом з проміжками між рядками) повинен займати 216 см². Верхні і нижні поля повинні бути по 3 см, праве і ліве поля по 2 см. Якими повинні бути розміри сторінки для того, щоб її площа була найменшою?

13. Визначити максимальну площу рівнобедреного трикутника, бічна сторона якого дорівнює l.

14. Всі вершини правильної трикутної призми належать сфері радіуса R. Якою повинна бути висота призми, щоб її об’єм був найбільшим? Знайти цей об’єм.

15. Прямокутна площадка, яка стикується однією із сторін з довгою кам’яною стіною, з трьох сторін огорожена залізною решіткою. Якою повинна бути довжина сторін площадки, щоб вона мала найбільшу площу, якщо є 200 м решітки?

16. Консервна коробка об’єму V повинна мати циліндричну форму з дном і покришкою. Яким повинно бути відношення діаметра циліндра до висоти, щоб на виготовлення коробки пішла найменша кількість матеріалів.

17. Прямокутник вписано в прямокутний трикутник так, що один із кутів прямокутника співпадає з прямим кутом трикутника. Катети трикутника дорівнюють 4 і 8 см. Якими повинні бути розміри прямокутника, щоб площа його була найбільшою?

18. Знайти радіус основи і висоту конуса найменшого об’єму, описаного навколо кулі радіуса R.

19. Вікно має форму прямокутника, який завершується півкругом. Периметр вікна дорівнює а. При яких розмірах сторін прямокутника вікно буде пропускати найбільшу кількість світла?

20. Необхідно виготовити відкритий циліндричний бак заданого об’єму V. Вартість квадратного метра матеріалу, що йде на виготовлення дна бака, дорівнює р грошових одиниць, а стінок– q грошових одиниць. Якими повинні бути радіус дна і висота бака, щоб вартість затрат на матеріали для його виготовлення була найменшою?

21. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює . Якими повинні бути катети, щоб периметр трикутника був найбільшим?

22. Прямокутний трикутник, обертаючись навколо одного з його катетів, утворює прямий конус. Знайти об’єм найбільшого з них, якщо гіпотенуза дорівнює 9 см.

23. Вертикальна цистерна об’єма V має форму циліндра, який завершується півкулею. При яких лінійних розмірах на виготовлення такої цистерни піде найменша кількість матеріалу.

24. Знайти кут при вершині осьового перерізу конуса з найменшою бічною поверхнею, описаного навколо кулі радіуса R.

25. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 2р. Якими повинні бути його сторони, щоб об’єм тіла, утвореного обертанням цього трикутника навколо основи, був найбільшим?

26. Апофема правильної трикутної піраміди дорівнює m. При якій довжині сторони трикутника основи об’єм піраміди буде максимальним. Знайти цей об’єм.

27. Дані точки А(0,3) і В(4,5). На вісі ОХ знайти таку точку М, щоб відстань S=AM+MB була найбільшою.

28. В кулю радіуса R виписати циліндр, який має найбільшу бічну поверхню.

29. Знайти висоту циліндра максимального об’єму, вписаного в даний прямий круговий конус.

30. Апофема правильної трикутної піраміди дорівнює m. При якій довжині сторони трикутника основи об’єм піраміди максимальний? Знайти цей об’єм.

Вказівки до розв’язування задач

типового варіанту

До задачі 1

Варіант 0.

Число x = -1 - корінь чисельника і знаменника. Щоб усунути невизначеність необхідно чисельник і знаменник розкласти на множники. Для квадратного тричлена відомо, що

Многочлен ділиться на різницю

Тому маємо

Визначити старші члени в чисельнику та знаменнику. Відп.:

Маємо невизначеність

Перетворивши за допомогою тотожності Далі необхідно користати- ся еквівалентними Відп.:

До задачі 2

Розв’язання. Функція не існує в точці x ₀ = - 1. Легко з’ясувати, що (x - 2)/(x + 1) — додатня н. в. при а при — від’ємна н. в. Тому

Оскільки f (x) неперервна (при x < -1 і при x > -1) і ,то Ескіз графіка див. на рис.

До задачі 3.

Варіант 0.

Розв’язання. Похідною алгебраїчної суми функцій є алгебраїчна сума похідних, тобто:

Використовуючи правило диференціювання добутку двох функцій та формули знаходимо:

Після скорочення і розкриття дужок остаточно отримуємо:

Розв’язання. За правилом диференціювання маємо:

Розв’язання. Для знаходження похідної скористуємось правилом логарифмічного диференціювання.

Спочатку прологарифмуємо функцію за натуральним логарифмом:

Тому що ln y - складна функція, то

До задачі 4.

Варіант 0:

Розв’язання. Використовуючи формулу диференціала функції:

За формулою диференціала

Тоді

До задачі 5.

Варіант 0: Обчислити наближено.

Розв’язання. Покладемо

Тоді за формулою

запишемо

До задачі 6.

Варіант 0: Знайти

Розв’язання. Спочатку знаходимо першу похідну

а тоді другу похідну

До задачі 7.

Варіант 0: Скласти рівняння дотичної та нормалі до кривої в точці, яка відповідає значенню параметра .

Розв’язання. Рівняння дотичної має вигляд:

Похідну функції, заданої параметрично знаходимо за формулою

Тепер рівняння дотичної матиме вигляд:

До задачі 8.

Варіант 0. Знайти похідну другого порядку функції, заданої параметрично.

Розв’язання. За правилом диференціювання функції, заданої параметрично маємо:

До задачі 9.

Варіант 0. 1. Дослідити функцію і побудовати графік

Розв’язання. Знайдемо проміжки зростання та спадання функції.

Дана функція має похідну

Тепер знайдемо точки, в яких похідна дорівнює нулю,

Ці точки розбивають числову вісь на три інтервали

Досліджуємо знак похідної на кожному з інтервалів:

Таким чином, на інтервалах функція зростає, а на інтервалі (-1,-2) функція спадає. Це означає, що точка - точка мінімума, ; - точка максимума, . Зау Знаходимо важимо, що

Знаходимо

Точка є точкою перегину.

2,5 -2 -1 0 х

Побудуємо схематично графік функції.

2. Побудувати графік функції

Розв’язання.

1. Функція визначена та неперервна в інтервалах

Функція невизначена в точці х = 1.

Знайдемо границі:

Точки перетину графіка з віссю Х:

2. Знайдемо асимптоти графіка функції:

а) х=1 - вертикальна асимптота

б)

Горизонтальних асимптот немає.

в)

3. Перевіримо функцію на парність:

Умови не виконуються.

Функція є ні парною, ні непарною.

4. Знайдемо першу похідну.

Знаходимо точки, в яких похідна дорівнює нулю,

. Ці точки розбивають вісь Х на інтервали . Дослідимо знак похідної на кажному з них:

Таким чином, на інтервалах функція зростає, а на інтервалі (0,2) функція спадає; точка - точка мінімума, ; - точка максимума, .

5. Знайдемо другу похідну

Похідна

Таким чином графік функції опуклий для при і угнутий для .

Будуємо на площині X0Y отримані характерні точки: точки перетину з осями , вертикальну асимптоту х=0, похилу асимптоту , точки екстремума . Будуємо графік функції.

-1,5

-1 0 1 2 X

До задачі 10

Варіант 0.

Знайти найбільше і найменше значення функції

на проміжку [2,6].

Розв’язання.

1. Знайдемо похідну функції і прирівняємо її до нуля, отримаємо абсциси стаціонарних точок

Значення х=1 не входить в даний проміжок, а значення функції в

точці х=3 буде

2. Знаходимо значення функції на кінцях проміжка:

3. Серед отриманих значень функції

Найменшим буде а найбільшим

До задачі 11

Варіант 0.

З бляшаного круга радіуса R вирізають сектор з центральним кутом і з нього скручують конічну лійку. При якому значені кута об’єм лійки буде найбільшим? Знайти його.