Основные теоретические сведения по теме

Мерой инертности твердого тела при вращательном движении является момент инерции:

I = Σ m_i ∙ r_i ²,

где m_i – элементарная масса i – го кусочка тела, r_i – расстояние этого кусочка от оси вращения.

Моменты инерции некоторых твердых тел относительно оси, проходящей через их центры масс:

Полый цилиндр I = m (R ₁² + R ₂²).

Тонкий обруч I = mR ².

Сплошной цилиндр I = mR ².

Шар I = mR ².

Тонкий стержень I = ml ².

Если ось вращения не проходит через центр масс, для расчета момента инерции используют теорему Штейнера:

I = I ₀ + ma ²,

где I – момент инерции тела относительно данной оси, I ₀ – момент инерции этого тела относительно оси, параллельной данной, и проходящей через центр масс, m – масса тела, а – расстояние между осями.

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела: I e = M,

где I – момент инерции твердого тела, относительно оси вращения, e – его угловое ускорение, М – суммарный момент сил, действующий на тело относительно данной оси.

Момент силы F равен: M = F l,

где l – расстояние от линии, вдоль которой действует сила, до оси вращения.

Момент импульса твердого тела относительно неподвижной оси: L = I ω,

где I – момент инерции твердого тела относительно данной оси, ω – угловая скорость его вращения.

Момент импульса материальной точки относительно неподвижной оси: L = m υ r,

где m – масса частицы, υ – ее скорость, r – расстояние от линии, вдоль которой движется частица, до данной оси.

В замкнутой системе частиц полный момент импульса не меняется: Σ L_i = const.

Кинетическая энергия вращающегося тела:

E _k = ,

где I – момент инерции тела, ω – его угловая скорость.

Кинетическая энергия катящегося тела:

E _k = + ,

где m – масса тела, υ ₀ – скорость поступательного движения центра масс, I ₀ – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, ω – угловая скорость вращения тела.

Работой силы F на перемещении ds называется произведение проекции силы на направление перемещения на это перемещение:

dA = F_s ds = Fds cosα,

где α – угол между направлениями силы и перемещения.

Работа переменной силы вычисляется как:

A = .

Мощностью называют работу, произведенную за единицу времени: N = .

Мгновенная мощность равна скалярному произведению силы, действующей на тело, на его скорость:

N = .

Кинетическая энергия тела при поступательном движении:

,

где m – масса тела, υ – его скорость.

Потенциальная энергия тела

– в однородном поле тяжести:

E _п= mgh

(m – масса тела, g – ускорение свободного падения, h – высота тела над точкой, в которой потенциальная энергия принимается равной нулю);

– в поле упругих сил:

E _п =

(k – коэффициент жесткости упругого тела, x – смещение от положения равновесия).

В замкнутой системе частиц полный импульс системы не меняется в процессе ее движения:

Σ = const.

В замкнутой консервативной системе частиц сохраняется полная механическая энергия:

E = E _k + E _п = const.

Работа сил сопротивления равна убыли полной энергии системы частиц или тела:

A _conp = E ₁ – E ₂.

Вопросы для обсуждения на занятии

1. Дайте определение импульса тела, импульса силы. Какова связь третьего закона Ньютона с законом сохранения импульса?

2. Каким образом в механике вводятся понятия работы, мощности, кинетической и потенциальной энергии? Представьте закон сохранения энергии в механике и приведите примеры его выполнения.

3. Дайте определение момента силы и момента импульса материальной точки относительно неподвижной оси и объясните, зачем они нужны? Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения для материальной точки.

4. Объясните, как вводится закон сохранения момента импульса для материальной точки при вращательном движении и приведите примеры его выполнения.

5. Как вводится основной закон динамики вращательного движения для абсолютно твердого тела? Приведите примеры для моментов инерции различных тел. Приведите пример применения теоремы Штейнера.

6. Сравните выражения для работы и кинетической энергии при поступательном и вращательном движении. Сформулируйте условия равновесия твердого тела.

Дата добавления: 2015-07-14