Примеры решения задач

Задача 1

Амплитуда гармонических колебаний равна 50 мм, период 4 с и начальная фаза . а) Записать уравнение этого колебания; б) найти смещения колеблющейся точки от положения равновесия при t =0 и при t = 1,5 с; в) начертить график этого движения.

Решение

Уравнение колебания записывается в виде x = a cos(w t + j₀).

По условию известен период колебаний. Через него можно выразить круговую частоту w = . Остальные параметры известны:

а) x = 0,05 cos( t + ).

б) Смещение x при t = 0.

x ₁ = 0,05 cos = 0,05 = 0,0355 м.

При t = 1,5 c

x ₂ = 0,05 cos( 1,5 + )= 0,05 cos p= – 0,05 м.

x, м 0,05     1 2 3 4 5 6 7 8 t, с  

в) график функции x =0,05cos ( t + ) выглядит следующим образом:

Определим положение нескольких точек. Известны х ₁(0) и х ₂(1,5), а также период колебаний. Значит, через D t = 4 c значение х повторяется, а через D t = 2 c меняет знак. Между максимумом и минимумом посередине – 0.

Задача 2.

Точка совершает гармоническое колебание. Период колебаний 2 с, амплитуда 50 мм, начальная фаза равна нулю. Найти скорость точки в момент времени, когда ее смещение от положения равновесия равно 25 мм.

Решение

1 способ. Записываем уравнение колебания точки:

x = 0,05 cos p t,т. к. w = = p.

Находим скорость в момент времени t:

υ = = – 0,05pcos p t.

Находим момент времени, когда смещение равно 0,025 м:

0,025 = 0,05 cos p t ₁,

отсюда cos p t ₁ = , p t ₁ = . Подставляем это значение в выражение для скорости:

υ = – 0,05 p sin = – 0,05 p = 0,136 м/c.

2 способ. Полная энергия колебательного движения:

E = ,

где а – амплитуда, w – круговая частота, m –масса частицы.

В каждый момент времени она складывается из потенциальной и кинетической энергии точки

E _k = , E _п = , но k = m w², значит, E _п = .

Запишем закон сохранения энергии:

= + ,

отсюда получаем: a ²w² = υ ² + w² x ²,

υ = w = p = 0,136 м/c.

Задача 3.

Амплитуда гармонических колебаний материальной точки А = 2 см, полная энергия Е = 3∙10^-7 Дж. При каком смещении от положения равновесия на колеблющуюся точку действует сила F = 2,25∙10^-5 Н?

Решение.

Полная энергия точки, совершающей гармонические колебания, равна: E = . (1)

Модуль упругой силы выражается через смещение точек от положения равновесия x следующим образом:

F = k x. (2)

В формулу (1) входят масса m и круговая частота w, а в (2) – коэффициент жесткости k. Но круговая частота связана с m и k:

w² = ,

отсюда k = m w² и F = m w² x. Выразив m w² из соотношения (1) получим: m w² = , F = x.

Откуда и получаем выражение для смещения x: x = .

Подстановка числовых значений дает:

x = = 1,5∙10^-2 м = 1,5 см.

Задача 4.

Точка участвует в двух колебаниях с одинаковыми периодами и начальными фазами. Амплитуды колебаний А ₁ = 3 см и А₂ = 4 см. Найти амплитуду результирующего колебания, если: 1) колебания происходят в одном направлении; 2) колебания взаимно перпендикулярны.

Решение.

1) Если колебания происходят в одном направлении, то амплитуда результирующего колебания определится как:

A = ,

где А ₁ и А ₂ – амплитуды складываемых колебаний, j₁ и j₂–начальные фазы. По условию начальные фазы одинаковы, значит j₂ – j₁ = 0, а cos 0 = 1.

Следовательно:

A = = = А ₁+ А ­₂ = 7 см.

2) Если колебания взаимно перпендикулярны, то уравнение результирующего движения будет:

cos(j ₂ – j ₁) = sin²(j ₂ – j ₁).

Так как по условию j₂ – j₁ = 0, cos 0 = 1, sin 0 = 0, то уравнение запишется в виде: =0,

или =0,

или .

  A ₁ x N A ₂ M

Полученное соотношение между x и у можно изобразить на графике. Из графика видно, что результирующим будет колебание точки на прямой MN. Амплитуда этого колебания определится как: A = = 5 см.

Задача 5.

Период затухающих колебаний Т =4 с, логарифмический декремент затухания l = 1,6, начальная фаза равна нулю. Смещение точки при t = равно 4,5 см. 1) Написать уравнение этого колебания; 2) Построить график этого движения для двух периодов.

Решение.

1) Уравнение затухающих колебаний с нулевой начальной фазой имеет вид:

x = A ₀ e ^{-b t} cos2p .

Для подстановки числовых значений не хватает величин начальной амплитуды А ₀ и коэффициента затухания b.

Коэффициент затухания можно определить из соотношения для логарифмического декремента затухания:

l = b Т.

Таким образом b = = = 0,4 с^-1.

Начальную амплитуду можно определить, подставив второе условие:

4,5 см = A ₀ cos 2p = A ₀ cos = A ₀ .

Отсюда находим:

A ₀ = 4,5∙ (см) = 7,75 см.

Окончательно уравнение движения:

x = 0,0775 cos t.

2) Для построения графика сначала рисуем огибающую x = 0,0775 , а затем колебательную часть.

Задача 6.

Чему равен логарифмический декремент затухания математического маятника, если за t = 1 мин амплитуда колебаний уменьшилась в два раза? Длина маятника l = 1 м.

Решение.

Логарифмический декремент затухания можно найти из соотношения: l= b Т,

где b – коэффициент затухания, Т – период колебаний. Собственная круговая частота математического маятника:

w₀ = = 3,13 с^-1.

Коэффициент затухания колебаний можно определить из условия: A ₀ = A ₀ e ^{-b t},

b t = ln2 = 0,693,

b = = 0,0116 c^-1.

Поскольку b << w₀, то в формуле w = можно пренебречь b по сравнению с w₀ и период колебаний определить по формуле: T = = 2 c.

Подставляем b и Т в выражение для логарифмического декремента затухания и получаем:

l = b T = 0,0116 с^-1 ∙ 2 с = 0,0232.

Задача 7.

Уравнение незатухающих колебаний дано в виде x = 4 sin600 p t см.

Найти смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии l = 75 см от источника колебаний, через t = 0,01 с после начала колебаний. Скорость распространения колебаний υ = 300 м/с.

Решение.

Запишем уравнение волны, распространяющейся от данного источника: x = 0,04 sin 600 p(t – ).

Находим фазу волны в данный момент времени в данном месте:

t – = 0,01 – = 0,0075,

600p ∙ 0,0075 = 4,5p,

sin 4,5p = sin = 1.

Следовательно, смещение точки x = 0,04 м, т.е. на расстоянии l =75 см от источника в момент времени t = 0,01 c смещение точки максимально.

Варианты типового расчета

Вариант 3.1

3.1.1. Математический маятник, имеющий период колебаний 1,5 с, совершает колебания с амплитудой 1,2 см. Определить скорость и ускорение маятника в крайнем положении и в момент прохождения его через положение равновесия.

3.1.2. Написать уравнение движения, получающегося в результате сложения двух одинаково направленных гармонических колебательных движений с одинаковым периодом 8 с и одинаковой амплитудой 0,02 м. Разность фаз между этими колебаниями равна π/4. Начальная фаза одного из этих колебаний равна нулю.

3.1.3. Амплитуда колебаний маятника длиной 1 м за время 10 мин. уменьшилась в два раза. Определить логарифмический декремент затухания.

3.1.4. Определить разность фаз колебаний источника волн, находящихся в упругой среде, и точки этой среды, отстоящей на 2 м от источника. Частота колебаний 5 Гц, скорость распространения волн 40 м/с.

3.1.5. Плотность энергии в некоторой точке волнового поля спустя 0,01 с после прохождения максимума синусоидальной волны равна 0,2 максимальной. Какова частота колебаний?

Вариант 3.2

3.2.1. Определить период колебаний маятника длиной 0,8 м, помещенного в лифте, опускающемся вниз с ускорением 1,2 м/с² .

3.2.2. Найти амплитуду и начальную фазу гармонического колебания, полученного от сложения одинаково направленных колебаний, данных уравнениями

x₁ = 0,02 sin (5πt+π/2), м и x₂ = 0,32 sin (5πt+π/4), м.

3.2.3. За время 8 мин. амплитуда затухающих колебаний маятника уменьшилась в три раза. Определить коэффициент затухания.

3.2.4. Волны распространяются в упругой среде со скоростью 100 м/с. Наименьшее расстояние между точками среды, фазы колебаний которых противоположны, равно 1 м. Определить частоту колебаний.

3.2.5. На нити образовались стоячие волны, причем расстояние между точками, в которых колебания происходят с амплитудой 3 мм, равны 3 и 7 см. найти длину волны и амплитуду в середине пучности.

Вариант 3.3

3.3.1. Амплитуда колебаний материальной точки равна 5 см, период ее колебаний 10 с. Найти значения скорости, ускорения, возвращающей силы и кинетической энергии точки для момента, когда фаза равна 60°; масса точки равна 20 г.

3.3.2. 1) Найти амплитуду и начальную фазу гармонического колебания, полученного от сложения одинаково направленных колебаний, данных уравнениями x₁ = 4sin πt, см и x₂ = 3 sin (πt + π/2), см. 2) Написать уравнение результирующего колебания. 3) Дать векторную диаграмму сложения амплитуд.

3.3.3. Начальная амплитуда колебаний механического маятника А = 20 см, амплитуда после 10 полных колебаний равна А₁₀ = 1 см. Определить логарифмический декремент затухания и коэффициент затухания, если период колебаний Т = 5 с. Записать уравнение колебания.

3.3.4. Определить скорость распространения волн в упругой среде, если разность фаз колебаний двух точек среды, отстоящих друг от друга 10 см, равна 60º. Частота колебаний 25 Гц.

3.3.5. Гармоническая волна распространяется вдоль прямой со скоростью 240 м/с. Две точки, находящиеся на этой прямой на расстоянии y₁ = 27 м и y₂ = 30 м от источника, колеблются с одинаковыми амплитудами A₁ = A₂ = 0,1 м и разностью фаз Δφ = 0,75π. Найти длину волны, написать уравнение волны.

Вариант 3.4

3.4.1. Точка совершает гармонические колебания. В некоторый момент времени смещение точки равняется 5 см, скорость ее 20 см/с и ускорение 80 см/с². Найти: циклическую частоту и период колебаний, фазу колебаний в рассматриваемый момент времени и амплитуду колебаний.

3.4.2. Написать уравнение результирующего колебания, получающегося в результате сложения двух взаимно-перпендикулярных колебаний с одинаковой частотой 𝜈₁ = 𝜈₂ = 5 Гц и с одинаковой начальной фазой φ₁ = φ₂ = 60°. Амплитуда одного из колебаний равна А₁ = 0,10 м, амплитуда другого А₂= 0,05 м.

3.4.3. Гиря массой 500 г подвешена к спиральной пружине жесткостью 0,2 Н/см и совершает упругие колебания в некоторой среде. Логарифмический декремент затухания равен 0,004. Сколько колебаний должна совершить гиря, чтобы амплитуда колебаний уменьшилась в два раза? За какой промежуток времени произойдет это уменьшение амплитуды?

3.4.4. От источника колебаний распространяются волны вдоль прямой линии. Амплитуда колебаний 10 см. Как велико смещение точки, удаленной от источника на 3/4 длины волны в момент, когда от начала колебаний источника прошло время, равное 0,9 периода колебаний?

3.4.5. Продольная упругая волна переходит из одной среды в другую, где плотность в 2 раза больше, а коэффициент упругости в 1,5 раза больше, чем в первой среде. Как при этом изменится скорость волны и ее длина?

Вариант 3.5

3.5.1. Материальная точка совершает гармонические колебания, уравнение которых имеет вид: x = 0,1sin5t. Масса точки равна 0,05 кг. Найти силу, действующую на точку: 1) в тот момент, когда фаза колебаний равна 30°; 2) в положении наибольшего отклонения точки.

3.5.2. Точка участвует в двух колебаниях одинакового периода с одинаковыми начальными фазами. Амплитуда колебаний А₁ = 3 см и А₂ = 4 см. Найти амплитуду результирующего колебания, если:

1) колебания совершаются в одном направлении; 2) колебания взаимно перпендикулярны.

3.5.3. Математический маятник длиной 1,2 м колеблется в среде с малым сопротивлением. Считая, что сопротивление среды не влияет не период колебания маятника, найти коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания, если за 8 мин. амплитуда колебаний маятника уменьшилась в три раза.

3.5.4. Волны с периодом 1,2 с и с амплитудой колебаний 2 см распространяются со скоростью 15 м/с. Чему равно смещение у точки, находящейся на расстоянии x = 25 см от источника волн в тот момент, когда от начала колебаний источника прошло время 4 с?

3.5.5. На резиновом шнуре наблюдаются стоячие волны, причем расстояние между точками с амплитудой 3 мм равно 3 и 7 см. Найти длину волны и амплитуду в середине пучности.

Вариант 3.6

3.6.1. Найти зависимость ускорения гармонического колебания x = x₀ sin(ώt + φ) от скорости.

3.6.2. Точка участвует одновременно в двух взаимно-перпендикулярных колебаниях x = cos πt и y = cos πt/2. Найти траекторию результирующего движения точки.

3.6.3. Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за 1 мин. уменьшилась вдвое. Во сколько раз она уменьшится за 3 мин.?

3.6.4. Две точки находятся на прямой, вдоль которой распространяются волны со скоростью 50 м/с. Период колебаний 0,05 с, расстояние между точками 50 см. Найти разность фаз колебаний в этих точках.

3.6.5. Определить длину волны колебаний, если расстояние между первой и четвертой пучностями стоячей волны равно 15 см.

Вариант 3.7

3.7.1. Тело массой m движется под действием силы F = F₀ cosώt. Найти выражение для кинетической энергии тела. Определить максимум кинетической энергии.

3.7.2. Точка участвует одновременно в двух взаимно-перпендикулярных колебаниях x = sin πt и y = 2 sin (πt + π/2). Найти траекторию движения точки и вычертить ее с нанесением масштаба.

3.7.3. Математический маятник совершает затухающие колебания с логарифмическим декрементом затухания, равным 0,2. Во сколько раз уменьшится полное ускорение маятника в его крайнем положении за одно колебание?

3.7.4. Скорость распространения продольных упругих колебаний в металлическом стержне 5500 м/с. Модуль Юнга материала стержня 7,95ˑ10¹⁰ Н/м². Определить плотность материала.

3.7.5. Смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии 4 см от источника колебаний, в момент t = T/6 равно половине амплитуды. Найти длину бегущей волны.

Вариант 3.8

3.8.1. Точка совершает гармонические колебания с периодом 0,5 с. В момент прохождения равновесия скорость точки равна 10 м/с. Написать уравнение колебаний точки.

3.8.2. Точка участвует одновременно в двух взаимно-перпендикулярных колебаниях x = cos πt и y = 5 sin (πt + π/2). Найти траекторию движения точки и вычертить ее с нанесением масштаба.

3.8.3. Математический маятник длиной в 24,7 см совершает затухающие колебания. Через сколько времени энергия колебаний маятника уменьшится в 9,4 раза? Задачу решить при значении логарифмического декремента затухания: 1) 0,01 и 2) 1.

3.8.4. Звуковые колебания, имеющие частоту 500 Гц и амплитуду 0,25 мм, распространяются в воздухе. Длина волны 70 см. Найти: 1) скорость распространения колебаний; 2) максимальную скорость частиц воздуха.

3.8.5. Волны с периодом 1,2 с и с амплитудой колебаний 2 см распространяются со скоростью 15 м/с. Чему равно смещение у точки, находящейся на расстоянии x = 25 см от источника волн в тот момент, когда от начала колебаний источника прошло время 4 с?

Вариант 3.9

3.9.1. Точка совершает гармонические колебания вдоль некоторой прямой с периодом Т = 0,60 с и амплитудой А = 10,0 см. Найти среднюю скорость точки за время, в течение которого она проходит путь А/2: 1) из крайнего положения; 2) из положения равновесия.

3.9.2. Материальная точка участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях: x = sin t, y = cos t. Найти уравнение траектории и начертить ее с соблюдением масштаба.

3.9.3. Чему равен логарифмический декремент затухания математического маятника, если за 1 мин. амплитуда колебаний уменьшилась в два раза? Длина маятника 1 м.

3.9.4. Уравнение незатухающих колебаний дано в виде x = 4 sin 600πt, см. Найти смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии 75 см от источника колебаний через 0,01 с после начала колебаний. Скорость распространения колебаний 300 м/с.

3.9.5. Найти разность фаз колебаний двух точек, лежащих на луче и отстоящих на расстоянии 2 м друг от друга, если длина волны равна 1 м.

Вариант 3.10

3.10.1. За какую часть периода тело, совершающее гармонические колебания, проходит весь путь от среднего положения до крайнего? Первую половину пути? Вторую его половину?

3.10.2. Два гармонических колебания, одинаково направленных и одинакового периода, складываются в одно колебание с амплитудой 4 см. Разность фаз складываемых колебаний равна 60°, амплитуда первого колебания 2 см. Определить амплитуду второго колебания; дать векторную диаграмму сложения амплитуд.

3.10.3. Логарифмический декремент затухания математического маятника равен 0,2. Найти, во сколько раз уменьшится амплитуда колебаний за одно полное колебание маятника.

3.10.4. Уравнение незатухающих колебаний дано в виде x = sin 2,5πt, см. Найти смещение от положения равновесия, скорость и ускорение точки, находящейся на расстоянии 20 см от источника колебаний, для момента 1 с после начала колебаний, cкорость распространения колебаний равна 100 м/с.

3.10.5. Какую разность фаз будут иметь колебания двух точек, находящихся на расстоянии соответственно 10 м и 16 м от источника колебаний? Период колебаний 0,04 с и скорость распространения колебаний 300 м/с.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гладской В.М. Сборник задач по физике с решениями: пособие для вузов / В.М.Гладской, П.И.Самойленко. – М.: Дрофа, 2002.- 288 с.

2. Калашников Н.П. Основы физики. Упражнения и задачи: учеб. пособие для вузов. / Н.П.Калашников, М.А.Смондырев. - М.: Дрофа, 2004. - 464 с.

3. Методика решения задач по физике / под ред. П.Г. Филина. - Череповец: ЧВИИРЭ, 2008. - Ч. 1 -291 с.

4. Методика решения задач по физике / под ред. П.Г.Филина. - Череповец: ЧВИИРЭ, 2009. - Ч.11 -156 с.

5. Савельев И.В. Сборник вопросов и задач по общей физике: - М.:ООО «Издательство Астрель», 2001. – 318 с.

6. Савельев И.В. Курс общей физики: пособие для вузов.- М.: Высшая школа, 2001 -2005. Т. 1-5.

7. Трофимова Т.И. Сборник задач по курсу физики с решениями: пособие для студентов вузов / Т.И.Трофимова, З.Г.Павлова. - М.: Высш. шк., 2003. - 591 с.

8. Физика. Теория и технология решения задач: учеб. пособие / В.А.Бондарь, Д.И.Кульбицкий, А.А.Луцевич и др., под общ. Ред. В.А.Яковенко.-Мн. ТетраСистемс, 2003. - 560 с.

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие 3

1. Типовой расчет по теме: «Кинематика и динамика материальной точки» 4

2. Типовой расчет по теме: «Механика твердого тела и законы сохранения» 18

3. Типовой расчет по теме: «Механические колебания и волны» 38

Литература 52

Дата добавления: 2015-07-14