Примеры решения задач. Зависимость пройденного телом пути S от времени t даётся уравнением S=A+Bt+Ct2+Dt3

Задача 1.

Зависимость пройденного телом пути S от времени t даётся уравнением S=A+Bt+Ct ² +Dt ³, где С =0,14 , D =0,01 . Через какое время после начала движения ускорение тела будет равно 1 ? Чему равно среднее ускорение тела за время от t = 0 до t = 1 c?

Решение.

Мгновенное ускорение тела в момент времени t можно найти как вторую производную от пути:

a = = (B+ 2 Ct+ 3 Dt ² ) = 2 C+ 6 Dt.

Надо определить значение t, при котором a = 1 .

Получим: t = .

Подставив численные значения, получим:

t = = 12 с.

Чтобы найти среднее ускорение за промежуток времени от t ₁ до t ₂, надо определить величины скорости в момент времени t ₁ и t ₂ и их разность разделить на t ₂– t ₁:

a _ср= .

Скорость находим как производную пути по времени:

υ = B+ 2 Ct+ 3 Dt ²,

υ ₁ = B+ 2 Ct ₁ + 3 Dt ₁²,

υ ₂ = B+ 2 Ct ₂ + 3 Dt ₂².

Разность скоростей:

υ ₂– υ ₁ = 2 С (t ₂– t ₁)+ 3 D (t ₂² – t ₁²) = (t ₂ – t ₁)[2 С +3 D (t ₂+ t ₁)],

подставляем в формулу для среднего ускорения:

a _ср = = 2 С+ 3 D (t ₂+ t ₁).

Подставив численные значения, получим:

a _ср= 0,28 + 3^.0,01 ^.1с = 0,31 .

Задача 2.

Тело брошено со скоростью υ ₀ = 14,7 м/с, под углом α = 30^о к горизонту. Найти нормальное и тангенциальное ускорения тела через t = 1,25 с после начала движения, а также радиус кривизны траектории в данный момент времени. Сопротивление воздуха не учитывать. Задачу решить вначале в общем виде, а затем подставить числовые данные.

υ_x α а_τ a_n υ_y ῡ ḡ

x

y

Решение.

Полным ускорением является ускорение свободного падения . Оно раскладывается на тангенциальную и нормальную составляющие. Если горизонтальную ось обозначить x, а вертикальную y, то g направленно по оси y, a _τ– по касательной к траектории, а a_n – по нормали к ней.

Полная скорость тела направлена по касательной к траектории, её можно разложить на горизонтальную составляющую– υ_x и вертикальную составляющую – υ_y. Треугольники скоростей и ускорений прямоугольные и угол между υ_у и υ такой же, как и между a _τ и g (так как a _τ и υ направлены по касательной к траектории, а υ_y и g – по оси y). Таким образом, чтобы найти a_n и a _τ, нужно определить в данный момент времени υ_x, υ_у, υ.

υ_x = υ ₀ cos α = const,

υ _у = -υ ₀ sin α + gt

(так как мы выбрали направление оси y вниз),

υ = .

Из подобия треугольников имеем:

= , = ,

отсюда a _τ = g , a_n = g .

Радиус кривизны траектории определяется из условия:

a_n = ,

значит R = = .

Подставив численные значения, получим:

a_τ = = 3,55 ,

a_n = = 9,15 ,

R = = 10 м.

Задача 3.

Колесо, вращаясь равнозамедленно, при торможении уменьшило свою скорость за 1 мин с 300 об/мин до 180 об/мин. Найти угловое ускорение колеса и число оборотов, сделанных им за это время.

Решение.

Запишем кинематические соотношения для вращательного движения: ω = ω₀ – ε t, φ = ω₀ t – ε .

В условии задана не угловая скорость ω, а частота вращения ν, ω = 2πν, φ = 2π Ν.

Подставляем эти соотношения в уравнения:

2πν = 2πν₀ – ε t.

Отсюда ε = ,

2π Ν = 2π ν₀ t – ε = 2πν₀ t – 2π (ν₀–ν) = 2π (ν₀+ν) ,

или N = (ν₀+ν) .

Подставив числовые значения, найдём:

ε = 750 мин ^-2 = 0,208 с ^-2,

N = 240 оборотов.

Задача 4.

Найти угловое ускорение колеса, если известно, что через 2 с после начала равноускоренного движения вектор полного ускорения точки, лежащей на ободе, составляет угол 60^о с направлением линейной скорости этой точки.

Решение.

a_n    

a _τ α

Скорость точки направлена по касательной к траектории, т. е. к окружности. По касательной направлено и тангенциальное ускорение. Значит, угол между полным ускорением и тангенциальным

ускорением равен углу между ускорением и скоростью.

_­ На чертеже видно, что a_n = a _τ tg α. (1)

Выражаем a_n и a_τ через угловые параметры движения:

a_n = ω² R, a _τ = ε R,

и подставляем в (1)

ω² R = ε R tg α. (2)

При нулевой начальной скорости

ω = ε t.

Подставляем в (2):

ε² t ² = ε tg α,

ε = = 0,43 с^-2.

Задача 5.

Канат лежит на столе так, что часть его свешивается со стола, и начинает скользить тогда, когда длина свешивающейся части составляет 25% всей его длины. Чему равен коэффициент трения каната о стол?

Решение.

Разрежем мысленно канат в месте сгиба и соединим обе части невесомой нерастяжимой нитью. Когда канат только начнёт скользить, все силы уравновесятся (так как он движется ещё без ускорения), а сила трения достигает величины силы трения скольжения, F _тр = μ Ν.

Условия равновесия сил:

mg = N

m

F _тр = T

mg = T m

Отсюда: μ mg = mg,

или μ = .

Задача 6.

Невесомый блок укреплён на вершине наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α =30^о. Тела А и В равной массы m ₁ =m ₂=1кг соединены нитью. Найти: 1) ускорение, с которым движутся тела, 2) натяжение нити. Трением в блоке и трением тела В о наклонную плоскость пренебречь.  

a  

A

B

Решение.

m a  

m

x y Запишем уравнения движения обоих тел

А: m = m +

x x x В: m = m + +

В проекциях для тела А:

– ma=T – mg (3)

Для тела В по оси х:

– ma = – T + mg sina (4)

0 = N – mg cos a (5)

Если сложить уравнения (3) и (4), то получим:

–2 ma = – mg + mg sin a,или

a = g .

Подставив это значение, например, в уравнение (3) (можно в (4)), получаем: T = mg – ma = mg .

Подставляем числовые значения:

a = 9,8 = = 2,45 ,

T = 1 ∙ 9,8 = 7,35 H.

Варианты типового расчета 1

Вариант 1.1

1.1.1. Одновременно из одного и того же пункта выезжают две автомашины, которые движутся в одном направлении прямолинейно. Зависимость пройденного автомобилями пути от времени задается уравнениями:

S₁ = 2t +5t², м,

S₂ = 4t+8t²+9t³, м.

Найдите относительную скорость автомобилей.

1.1.2. Определите, под каким углом к горизонту нужно бросить тело, чтобы горизонтальная дальность полета была равна максимальной высоте подъема? Сопротивлением воздуха можно пренебречь.

1.1.3. Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиусом 4 м, изменяется по закону a_n = a +bt + ct². Найдите тангенциальное ускорение точки, путь, пройденный точкой за время 6 cпосле начала движения и полное ускорение в момент времени 2/3 с, если a= 1 м/с², b = 3 м/с³, c = 2,25м/с⁴.

1.1.4. Какую силу надо приложить к вагону, стоящему на рельсах, чтобы вагон стал двигаться равноускоренно и за 30 с прошел путь 11 м? Вес вагона 157ˑ10³ Н. Во время движения на вагон действует сила трения, равная 0,05 веса вагона.

1.1.5. При скорости вагона трамвая 10 км/ч выключается мотор и вагон движется вниз по наклонной плоскости. Несмотря на это, вагон движется равномерно. Определите угол наклона плоскости, если коэффициент трения 0,01.

Вариант 1.2

1.2.1. Кинетические уравнения движения двух материальных точек имеют вид:

x₁ = A₁t + B₁t² +C₁t³,

x₂ = A₂t + B₂t² +C₂t³,

где B₁ = 4 м/с², С₁ = -3 м/с³, B₂ = -2 м/с², С₂ = 1 м/с³.

Определите момент времени, для которого ускорения этих точек будут равны.

1.2.2. Определите радиус кривизны траектории тела, брошенного горизонтально с начальной скоростью 15 м/счерез 2 спосле начала движения. Сопротивлением воздуха можно пренебречь.

1.2.3. На тело массой m действует сила, пропорциональная времени F=kt. Запишите уравнение движения тела при условии, что при t=0 начальная скорость тела равна V₀.

1.2.4. Поезд весом 49ˑ10⁵ Н после прекращения тяги паровоза под действием силы трения 9,8 ˑ 10⁴ Н останавливается через 1 мин. С какой скоростью шел поезд?

1.2.5. Деревянный брусок находится на наклонной плоскости с углом наклона к горизонту 45°. С какой наименьшей силой, направленной параллельно основанию наклонной плоскости, нужно прижать брусок, чтобы он оставался в покое? Масса бруска 1 кг, коэффициент трения покоя между бруском и наклонной плоскостью 0,2.

Вариант 1.3

1.3.1. Радиус-вектор материальной точки изменяется со временем по закону , где - орты осей хиу. Определите для момента времени 1с модуль скорости и модуль ускорения.

1.3.2. Тело свободно падает без начальной скорости с высоты 20 м. Рассчитайте, на какой высоте оно достигнет скорости, равной половине скорости в момент падения на Землю?

1.3.3. К потолку вагона подвесили на нити шарик массой 0,1 кг. При движении вагона по окружности со скоростью 108 км/ч нить отклонилась от вертикали на угол 30°. Найдите радиус окружности и силу натяжения нити.

1.3.4. Трамвай, трогаясь с места, движется с постоянным ускорением 0,5 м/с² . Через 12 с после начала движения мотор трамвая выключается и трамвай движется до остановки, равнозамедленно. На всем пути движения трамвая коэффициент трения равен 0,01. Найдите: 1) наибольшую скорость движения трамвая; 2) общую продолжительность движения; 3) отрицательное ускорение трамвая при равнозамедленном движении; 4) общее расстояние, пройденное трамваем.

1.3.5. В вагоне, движущемся горизонтально с ускорением 2 м/с² , висит на шнуре груз массой 200 г. Найдите силу натяжения шнура и угол отклонения шнура от вертикали.

Вариант 1.4

1.4.1. Движение материальной точки в плоскости x0y описывается законом x = At, y = At(1 + Bt),где A иB- постоянные величины. Определите: 1) уравнение траектории материальной точки; 2) радиус-вектор точки в зависимости от времени; 3) скорость точки в зависимости от времени; 4) ускорение точки.

1.4.2. Вертолет поднимается вверх со скоростью 10 м/с. На высоте 50 м из него выпадает тяжелый предмет. С какой скоростью предмет упадет на землю?

1.4.3. Груз массой 0,2 кг, привязанный к нити длиной 0,4 м, вращают в горизонтальной плоскости с постоянной скоростью так, что нить описывает коническую поверхность. При этом угол отклонения нити от вертикали составляет 30°. Найдите угловую скорость вращения груза и силу натяжения нити.

1.4.4. Найдите силу тяги, развиваемую мотором автомобиля, движущегося в гору с ускорением 1 м/с² . Уклон горы равен 1 м на каждые 25 м пути. Вес автомобиля 9,8 ˑ 10³ Н. Коэффициент трения равен 0,1.

1.4.5.Тело массой 0,5 кг движется равномерно вверх по наклонной плоскости под действием силы 2,2 Н. Найдите коэффициент трения, если угол наклонной плоскости с горизонтом составляет 15°.

Вариант 1.5

1.5.1. Скорость течения реки по ее ширине меняется по закону V = -4x²+4x+0,5, где x = a/b(a - расстояние от берега, b - ширина реки). На какое расстояние снесет лодку течением при переправе, если скорость ее относительно воды равна 2 м/си направлена прямо к противоположному берегу. Ширина реки 420 м.

1.5.2. Вертолет взлетает с аэродрома по вертикали с ускорением 3 м/с²и начальной скоростью, равной нулю. Через некоторое время пилот выключает двигатель. Звук на земле в месте взлета перестал быть слышен спустя 30 с. Определите скорость вертолета в момент прекращения работы двигателя. Скорость звука считайте равной 320 м/с.

1.5.3. Кабина лифта при подъеме движется сначала ускоренно, затем равномерно, а перед остановкой замедленно. Какова сила натяжения троса во время движения?

1.5.4. В момент остановки тела тормозящая сила достигла значения F = 40 Н. Определите тормозящую силу через 3 с после начала торможения, если тормозной путь в зависимости от времени изменяется по закону S = at+bt², где a = 196 м/с, b = 1 м/с².

1.5.5. Брусок толкнули резко вверх вдоль крыши, образующей угол 30° с горизонтом. Время подъема бруска до высшей точки оказалось в два раза меньше, чем время спуска до исходной точки. Определить коэффициент трения между бруском и крышей.

Вариант1.6

1.6.1. Два автомобиля движутся к перекрестку по двум прямолинейным взаимно перпендикулярным направлениям с постоянными скоростями V₁ = 50 км/ч и V₂ = 100 км/ч. Перед началом движения они находились от перекрестка на расстояниях соответственно S₁ = 100 кмиS₂ = 50 км. Через сколько времени после начала движения расстояние между автомобилями будет минимальным? Найдите относительную скорость автомобилей.

1.6.2. Первое тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 5 м/с. В тот же момент времени вертикально вниз с той же начальной скоростью из точки, соответствующей максимальной верхней точке полета h_max первого тела, брошено второе тело. Определите: 1) в какой момент времени тела встретятся; 2) на какой высоте от поверхности Земли произойдет эта встреча; 3) скорость первого тела в момент встречи; 4) скорость второго тела в момент встречи.

1.6.3. К нити подвешен груз весом 9,8 H. Найдите натяжение нити, если нить с грузом: 1) поднимать с ускорением 5 м/с²;2) опускать с тем же ускорением 5 м/с².

1.6.4. Конькобежец, разогнавшись до скорости 27 км/ч, хочет въехать на ледяную гору. На какую высоту от начального уровня въедет конькобежец с разгона, если подъем горы составляет 0,5 м на каждые 10 м по горизонтали и коэффициент трения коньков о лед 0,02?

1.6.5. На наклонной плоскости укреплен блок, через который перекинута нить. К одному концу нити привязан груз массой 1кг, лежащий на наклонной плоскости. На другом конце нити висит груз массой 3 кг. Наклонная плоскость образует с горизонтом угол 30°. Коэффициент трения между грузом и наклонной плоскостью равен 0,1. Определите ускорение грузов.

Вариант 1.7

1.7.1. Частица совершает пилообразное движение вдоль оси Ox, которое описывается графиком, изображенным на рис.1.1. Начертите график зависимости от времени скорости частицы.

х

Рис.1.1

t

1.7.2. Два тела свободно падают с разных высот и достигают Земли одновременно. Время падения первого тела 2 c, второго 1 c. Определите, на какой высоте h было первое тело, когда второе начало падать?

1.7.3. Стальная проволока некоторого диаметра выдерживает груз до 4400 Н. С каким наибольшим ускорением можно поднимать груз в 3900 H, подвешенный на этой проволоке, чтобы она при этом не разорвалась?

1.7.4. На гладком столе лежит брусок массой 4 кг. К бруску привязан шнур, ко второму концу которого приложена сила 9,8 H, направленная параллельно поверхности стола. С каким ускорением будет двигаться брусок?

1.7.5. Две гири весом 19,6 Н и 9,8 Н соединены нитью и перекинуты через невесомый блок. Найдите ускорение, с которым движутся гири и натяжение нити. Трением в блоке можно пренебречь.

Вариант 1.8

1.8.1. За пятую секунду равнозамедленного движения точка проходит 5 см, останавливается. Рассчитайте, какой путь проходит точка за третью секунду этого движения?

1.8.2. В последнюю секунду свободного падения тело прошло половину своего пути. Определите, с какой высоты h и какое время t падало тело?

1.8.3. Вес лифта с пассажирами равен 7840 H. Найдите, с каким ускорением и в каком направлении движется лифт, если известно, что натяжение троса, поддерживающего лифт, равно: 1) 11760 H и 2) 5880 H.

1.8.4. Тело скользит сначала по наклонной плоскости, составляющей угол 8° с горизонтом, а затем по горизонтальной поверхности. Найдите, чему равен коэффициент трения, если известно, что тело проходит по горизонтали такое же расстояние, как и по наклонной плоскости.

1.8.5. Две гири массой по 450 г каждая уравновешены на неподвижном блоке на высоте 4,4 м от поверхности земли. Через сколько времени опустится одна из гирь на землю, если на нее положить без толчка грузик массой 100 г (блок вращается без трения).

Вариант 1.9

1.9.1. Два тела начали двигаться одновременно. Первое тело движется с начальной скоростью 3 м/с и ускорением 1 м/с². Второе тело движется с начальной скоростью 15 м/си ускорением 2м/с². Рассчитайте, через сколько времени после начала движения оба тела будут иметь одинаковую скорость? Определите эту скорость. Движение тел равнопеременное.

1.9.2. Определите угловое ускорение якоря электродвигателя, имеющего частоту вращения 𝜈= 50 c^-1, если после выключения тока он остановился, сделав 628 оборотов.

1.9.3. Человек весом в 750 H стоит на пружинных весах в кабине лифта, движущегося с ускорением 5 м/с².Что покажут весы, когда лифт движется: 1) вверх; 2) вниз? При каком условии показание весов будет равно нулю?

1.9.4. С горы высотой 2 м и основанием 5 м съезжают санки, которые останавливаются, пройдя горизонтально путь 35 м от основания горы. Найдите коэффициент трения.

1.9.5. Прямоугольный треугольник с катетами а = 12 см и b = 5 см имеет своим основанием катет b. В вершине треугольника укреплен неподвижный блок, через который переброшена нить с грузами: вдоль гипотенузы свисает груз 0,382 Н, а вдоль катета 0,245 Н. Определите натяжение нити и ускорение перемещения системы. Трением можно пренебречь.

Вариант 1.10

1.10.1. Электрон движется в тормозящем электрическом поле равнозамедленно вдоль оси Ox, имея в момент времени t = 0 скорость V₀ = 10⁵ м/с. Ускорение электрона составляет 2ˑ10⁵ м/с².Найдите: 1) момент времени, когда его скорость обращается в нуль; 2) какую скорость будет иметь электрон в момент времени 2 с?

1.10.2. Тело брошено со скорость 20 м/с под углом 30° к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите для момента времени 1,5 c после начала движения нормальное и тангенциальное ускорение.

1.10.3. Под действием силы тяжести тело падает с высоты 1500 м, испытывая сопротивление воздуха. Полагая силу сопротивления постоянной и равной половине силы тяжести, найдите время падения, ускорение и скорость тела через 5 с после начала движения, если начальная скорость равна нулю.

1.10.4. Наклонная плоскость, образующая угол 25° с плоскостью горизонта, имеет длину 2 м. Тело, двигаясь равноускоренно, соскользнуло с этой плоскости за время 2 с. Определите коэффициент трения тела о плоскость.

1.10.5. На концах нити, перекинутой через блок, висят две гири разного веса на одной высоте. Спустя 2 с после начала движения гирь, под влиянием силы тяжести, расстояние между ними по высоте оказалось равным 0,8 м. Определить вес более тяжелой гири, если другая гиря весит 3,92 Н.

2.ТИПОВОЙ РАСЧЕТ ПО ТЕМЕ «МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ»

Дата добавления: 2015-07-14