Читайте также:
|
Наявність магнітного поля в плазмі приводить до появи ряду нових типів низькочастотних хвиль, які відсутні в ізотропній плазмі. Зупинимося на них більш детально. Для цього отримаємо спершу рівняння для лінійних низькочастотних коливань замагніченої плазми.
5.3.1 Рівняння для низькочастотних хвиль малої амплітуди в плазмі з магнітним полем
Для опису низькочастотних хвиль у плазмі будемо користуватися однорідинною ідеальною магнітною гідродинамікою (див. пп. 2.4.2-2.4.5). Справді, для низькочастотних коливань (на відміну від високочастотних) квазінейтральність плазми зберігається. Початкові рівняння запишемо у формі:
(5.62)
(рівняння руху з урахуванням сил газокінетичного тиску та Ампера, пор. з формулою (2.83)),
(2.86)
(рівняння неперервності),
(2.92)
(основне рівняння ідеальної магнітної гідродинаміки).
Спрощено вважатимемо, що тиск плазми визначається її густиною, тобто p/ng=const (ізотермі відповідає значення g=1, адіабаті – g=5/3).
Нехай рівноважний стан плазми (за відсутності хвиль) визначається значеннями параметрів n=n0, p=p0, B =B0 e z, v =0. Накладемо на нього мале збурення, що характеризується величинами n~, p~, B ~ та v ~ і лінеаризуємо рівняння (5.62), (2.86), (2.92) та рівняння стану по цьому збуренню. Отримаємо:
; 
;
; 
(5.63)
Цю систему можна спростити, ввівши замість швидкості v ~ зміщення x плазми з положення рівноваги, так що ¶ x /¶tº v ~. Тоді друге і третє рівняння системи (5.63) можна проінтегрувати за часом і отримати:
; 
. (5.64)
Перетворимо друге рівняння (5.64) за формулою
.
Оскільки B 0=const, отримаємо:
(5.65)
(враховано, що в рівняння для B ~ – друге рівняння (5.64) – входить фактично лише компонента x, перпендикулярна до B 0), або
, 
. (5.65 а)
Другий доданок у (5.65) показує, що при розширенні речовини в площині (x, y) силові лінії магнітного поля також розсуваються, і поле ослаблюється, при стисненні – навпаки (рис. 5.9 а). Перший доданок показує, що у випадку, якщо x ^ залежить від z, силові лінії магнітного поля вигинаються (рис. 5.9 б). В результаті з’являється компонента поля, поперечна щодо B 0 (вона пропорційна до ¶ x ^/¶z).
Спростимо ще праву частину першого з лінеаризованих рівнянь (5.63):
. (5.66)
 а
|  б
|
| Рис. 5.9. Зміна форми магнітної трубки при стисненні та розширенні в поперечному напрямку (а) і при вигині (б). |
Тепер підставимо до першого з лінеаризованих рівнянь (5.63) вираз для p~ з останнього рівняння (5.63) та співвідношення (5.66):
. (5.67)
Виключимо B ~ з (5.75) за допомогою рівнянь (5.73 а), а n~ – за допомогою першого з рівнянь (5.72):
. (5.68)
Введемо позначення
(5.69)
– квадрат швидкості звуку (пор. з п. 5.1.5, формула (5.33)),
(5.70)
– квадрат так званої альвенівської швидкості. Тоді рівняння (5.68) можна переписати в остаточному вигляді:
. (5.68 а)
Це рівняння описує малі гідродинамічні коливання однорідної ідеальної провідної плазми, вміщеної в магнітне поле.
Спроектуємо рівняння (5.68 а) на напрямки В 0 і x ^. З урахуванням того, що
,
отримаємо таку систему:
; (5.71)
. (5.72)
Як видно з рівнянь (5.71)-(5.72), у загальному випадку зміщення x// і x ^ пов’язані між собою.
5.3.2. Альвенівські хвилі
Розглянемо поширення хвиль строго вздовж магнітного поля, так що всі величини залежать лише від координати z. Тоді рівняння (5.56)-(5.57) набувають вигляду:
; (5.71 а)
. (5.72 а)
Як бачимо, рівняння для поздовжніх та поперечних зміщень у цьому випадку розділяються.
Рівняння (5.71 а) описує вже знайомі нам (див. п. 5.1.5) іонно-звукові хвилі (для випадку krD<<1, оскільки ми скористалися рівняннями однорідинної гідродинаміки, а за порушення цієї умови слід враховувати відмінність руху електронної та іонної рідин, див. вище п. 5.1.6). Коли такі хвилі поширюються вздовж магнітного поля, останнє не впливає на їхні властивості.
Рівняння (5.72 а), що збігається за формою з рівнянням малих поперечних коливань струни, описує так звані альвенівські хвилі. Справді, права частина хвильового рівняння пов’язана з натягом магнітної силової лінії (нагадаємо, що в моделі ідеальної магнітної гідродинаміки магнітні силові лінії поводять себе як пружні нитки). В ролі сили натягу на одиниці площі в напрямку, перпендикулярному до магнітного поля, виступає величина В2/4p (пор. з п. 3.1.1). Роль маси відіграють приморожені до поля частинки плазми. Оскільки ми використали умову ¶/¶х=¶/¶у=0, то для альвенівських хвиль div x ^=0, тобто віддаль між сусідніми магнітними силовими лініями не змінюється.
Картина збурення магнітних силових ліній для альвенівської хвилі, що поширюється вздовж осі z, а вектор x ^ спрямований вздовж осі х, подана на рис. 5.10 а.
а
| 
б
|
| Рис. 5.10. Збурення магнітних силових ліній, обумовлене поширенням альвенівської хвилі в напрямку z (а) та магнітозвукової хвилі в площині xz (б). В обох випадках вектор x^ спрямований вздовж осі х. |
5.3.3 Низькочастотні хвилі в розрідженій замагніченій плазмі
Розглянемо спочатку розріджену плазму в сильному магнітному полі (b<<1), так що
. (5.73)
Тоді, нехтуючи доданками, пропорційними cs2, отримуємо із системи (5.71)-(5.72): x//=0 (поздовжні зсуви плазми в цьому наближенні не виникають, оскільки в силу умови (5.73) ми нехтуємо газокінетичним тиском плазми) та
. (5.72 б)
Тепер візьмемо дивергенцію від обох частин рівняння (5.72 б) у площині, перпендикулярній до магнітного поля. Позначивши div x ^=y, отримаємо:
. (5.74)
Це рівняння описує так звані магнітозвукові хвилі. Оскільки в цих хвилях div x ^¹0, то при їхньому збудженні плазма зсувається в поперечному щодо В 0 напрямку, причому джерела й стоки поперечних зсувів чергуються. Іншими словами, зміщення x ^ спричиняє стиснення та розрідження силових ліній магнітного поля. Це означає, що поширення магнітозвукової хвилі супроводжується появою вихрової компоненти електричного поля. Пружність середовища при поширенні магнітного звуку в плазмі з b<<1 створюється лише тиском магнітного поля.
Картина збурення магнітних силових ліній для магнітозвукової хвилі, що поширюється в площині хz, а вектор x ^ спрямований вздовж осі х, подана на рис. 5.10 б. Порівняння рис. 5.10 а-б показує, що при k ^=0, коли коливання сусідніх магнітних силових ліній відбуваються в однаковій фазі, магнітний звук у плазмі з b<<1 вироджується в альвенівську хвилю.
Альвенівську швидкість сА (5.70) можна розглядати як звукову cs, де роль газокінетичного тиску р0 відіграє магнітний тиск В2/8p, а g=2. Умова g=2 пов’язана з вмороженістю магнітного поля в плазму. Справді, якщо x//=0, то магнітне поле пропорційне до густини плазми, а його тиск В2/8p – до квадрату густини, тобто p/n2=const.
Таким чином, трьом розглянутим типам низькочастотних хвиль у замагніченій плазмі – іонно-звуковим, альвенівським та магнітозвуковим – відповідають три різні типи зміщень плазми зі вмерзлим магнітним полем, показані на рис. 5.11 а-в.
 а
|  б
|  в
|
| Рис. 5.11. Деформація магнітних трубок та примерзлої до них плазми для різних типів низькочастотних хвиль у плазмі: а – іонно-звукові хвилі, б – альвенівські хвилі, в – магнітозвукові хвилі. |
5.3.4. Швидкі та повільні магнітозвукові хвилі
В загальному випадку, коли тиск плазми не можна вважати малим порівняно з магнітним тиском, магнітозвукові хвилі не можна відділити від іонно-звукових. У цьому випадку рівняння (5.71)-(5.72) треба розв’язувати сумісно. Підставивши до цих рівнянь розв’язок у формі плоскої хвилі вигляду exp(iwt–i kr), отримаємо:
;
. (5.75)
Помножимо обидві частини другого рівняння (5.75) скалярно на k ^. Отримаємо:
. (5.76)
Перемноживши ліві та праві частини першого з рівнянь (5.75) та рівняння (5.76), отримаємо дисперсійне рівняння у формі:
. (5.77)
Корені дисперсійного рівняння (5.77)
, 
, (5.78)
(q – кут між хвильовим вектором та магнітним полем) відповідають парі магнітозвукових хвиль, які називаються відповідно швидкою (w+) та повільною (w-). Відзначимо, що в даному наближенні дисперсія магнітозвукових хвиль відсутня – їхня фазова швидкість не залежить від частоти:
. (5.79)
Як і у випадку поширення електромагнітних хвиль у плазмі з магнітним полем (див. вище п.5.2.2), в силу анізотропії середовища групова швидкість магнітозвукових хвиль визначається зі співвідношення (5.50):
.
Рівняння істотно спрощується для випадків повздовжнього чи поперечного (щодо магнітного поля) поширення хвиль. Так, при поздовжньому поширенні (q=0) отримуємо:
, 
(5.78 а)
(для випадку 
), тобто дисперсійні рівняння в цьому випадку є наслідком проаналізованих вище хвильових рівнянь (5.71 а)-(5.72 а) і відповідають альвенівським та іонно-звуковим хвилям.
При поперечному поширенні (k ^= k) з (5.78) випливає, що
, 
. (5.78 б)
В цьому випадку газокінетичний та магнітний тиски додаються, що й приводить до відповідного виразу для швидкості хвилі.
Для загального випадку залежність фазової швидкості від кута q для повільної та швидкої магнітозвукових хвиль наведені на рис. 5.12.
На закінчення нагадаємо, що магнітна гідродинаміка правильно описує лише великомасштабні (низькочастотні) рухи в плазмі. Тому отримані нами дисперсійні співвідношення справедливі, взагалі кажучи, лише при малих значеннях хвильових чисел, або при великих довжинах хвиль, як ми це бачили на прикладі іонного звуку.
| Рис. 5.12. Залежність фазової швидкості від кута q між хвильовим вектором та магнітним полем |
Контрольні питання до підрозділу 5.3
1. В якому найпростішому наближенні можна описати низькочастотні хвилі в магнітоактивній плазмі? Коли це наближення порушується?
2. Які сили виникають при деформації магнітних трубок, вморожених у плазму? Чим вони обумовлені?
3. Що являють собою альвенівські хвилі? Від чого залежить їхня фазова швидкість?
4. Опишіть особливості магнітозвукових хвиль у плазмі з малим b порівняно з іншими типами низькочастотних хвиль анізотропної плазми.
5. Що являють собою швидка та повільна магнітозвукові хвилі?
6. Намалюйте картину магнітних силових ліній у швидкій магнітозвуковій хвилі, що поширюється перпендикулярно до магнітного поля.
Задачі до підрозділу 5.3.
1. Користуючись табл.2.1, розрахуйте швидкість альвенівських хвиль в іоносферній плазмі, в плазмі сонячної корони та в токамаку. В яких випадках альвенівська швидкість значно перевищує альвенівську?
2. Отримайте умову для хвильових чисел низькочастотних хвиль у плазмі з магнітним полем, за виконання якої ці хвилі можна описувати в наближенні ідеальної магнітної гідродинаміки.
Дата добавления: 2015-12-08; просмотров: 156 | Нарушение авторских прав