Електромагнітні хвилі в анізотропній плазмі

Як правило, магнітне поле (тієї чи іншої величини) наявне як в плазмі природного походження (іоносфера, сонячний вітер, сонячна корона), так і в лабораторній плазмі (особливо це стосується установок для магнітного утримання плазми). Наявність сталого магнітного поля в плазмі призводить до появи виділеного напрямку, в результаті чого така плазма стає анізотропною.

Набір власних хвиль анізотропної плазми незрівнянно більший, ніж в ізотропній. Ми обмежимося розглядом найбільш поширених і важливих хвиль і почнемо з розгляду високочастотних електромагнітних хвиль.

5.2.1. Тензор діелектричної проникності холодної анізотропної плазми

Як і в ізотропній плазмі, для опису поширення хвиль в анізотропній плазмі її властивості описують за допомогою діелектричної проникності, яка в анізотропному середовищі являє собою тензор. Цей тензор визначається з такого самого співвідношення, як в ізотропній плазмі:

. (5.7 а)

Розглянемо найпростішу модель анізотропної плазми. Цікавлячись поширенням високочастотних хвиль, вважатимемо іони, як і раніше, нерухомими. Знехтуємо також тепловим рухом електронів і їхніми зіткненнями з важкими частинками. Плазму вважатимемо однорідною та стаціонарною. Стале однорідне магнітне поле В спрямоване вздовж осі z.

Нехай на плазму накладене однорідне електричне поле, яке спрямоване довільним чином і змінюється з часом гармонічно, E (t)= E _mexp(iwt). Для знаходження тензора діелектричної проникності необхідно записати компоненти густини струму в плазмі через компоненти прикладеного електричного поля.

Рівняння руху для електронів у цьому наближенні має вигляд:

(5.35)

Врахуємо, що швидкість, як і електричне поле, змінюється гармонічно, і спроектуємо рівняння руху (5.35) на осі координат. Отримаємо:

(5.36)

Останнє з рівнянь (5.36) дозволяє відразу знайти z-компоненту швидкості:

. (5.37)

Два інші рівняння утворюють систему. Розв’язавши її, знаходимо дві інші компоненти швидкості електронів:

; , (5.38)

де використано позначення w_c=eB₀/mc – (електронна) циклотронна частота. Як бачимо, кожна з компонент швидкості v_x та v_y залежить від обох перпендикулярних до магнітного поля компонент електричного поля – Е_x та Е_y. Це наслідок циклотронного обертання електронів навколо силових ліній магнітного поля. Справді, компонента поля Е_x породжує рух електронів не тільки в напрямку осі х, а й у напрямку у – через наявність сили Лоренца. Аналогічно компонента Е_y породжує рух не тільки в напрямку у, а й у напрямку х.

Густина струму в плазмі пов’язана зі швидкістю електронів, а через неї – з прикладеним електричним полем:

, (5.39)

де s_ij –тензор провідності, який, спираючись на формули (5.38)-(5.39),можна записати у вигляді:

. (5.40)

Тепер знайдемо зв’язок між тензорами провідності та діелектричної проникності. Для цього підставимо (5.39) до (5.7 а) і врахуємо гармонічність зміни поля. Отримаємо:

, (5.7 б)

звідки

. (5.41)

Тоді тензор діелектричної проникності плазми з урахуванням явного вигляду тензора провідності (5.40) може бути поданий у формі

, (5.42)

де використано позначення

; ; , (5.43)

w_p²=4pn₀e²/m – (електронна) плазмова частота.

Відзначимо, що компонента e_// має такий самий вигляд, як діелектрична проникність холодної ізотропної плазми (5.13). Це пов’язано з тим, що при русі електронів уздовж магнітного поля сила Лоренца не виникає.

Як видно з (5.51), при В₀=0 і, відповідно, при w_c=0 отримаємо a=0, e_^=e_//=e, і тензор діелектричної проникності вироджується в скаляр: e_ij=ed_ij, як і має бути в холодній ізотропній плазмі (див. п 5.1.1).

Навпаки, при В₀®¥ і w_c®¥ виходить a=0, e_^=1, і тензор діелектричної проникності набуває вигляду:

. (5.44)

Справді, сильне магнітне поле придушує рух електронів у напрямку, перпендикулярному до його силових ліній, тому електродинамічні властивості плазми в цьому напрямку такі самі, як у вакуумі.

5.2.2. Дисперсійне рівняння для електромагнітних хвиль

Перейдемо тепер безпосередньо до розгляду задачі про поширення електромагнітних хвиль у плазмі з m=1 та тензором діелектричної проникності (5.50). Знову, як і при розгляді електромагнітних хвиль в ізотропній плазмі (див. п. 5.1.2), скористаємося рівняннями Максвелла

; . (5.45)

Підставимо до системи (5.45) розв’язок для полів у формі плоскої гармонічної хвилі, E, B ~exp(iwt-i kr). Отримаємо пару алгебраїчних рівнянь вигляду

; , (5.45 а)

де k₀=w/c. Скориставшись позначенням n = k /k₀, перепишемо ці рівняння у вигляді

; . (5.45 б)

Помножимо векторно друге з рівнянь (5.45 б) на n та виключимо B за допомогою першого з рівнянь (5.45 б). Отримаємо:

(5.46)

Перепишемо (5.38), перетворивши подвійний векторний добуток:

(5.46 а)

Напрямок осі z пов’язаний з магнітним полем. Виберемо вісь у так, щоб вектор n мав нульову х-компоненту. Електричне поле в загальному випадку має всі три компоненти. Проектуючи рівняння (5.46 а) на осі координат, можна записати:

(5.47)

де n²=n_y²+n_z².

Прирівнюючи до нуля визначник цієї системи, можна отримати дисперсійне рівняння для електромагнітних хвиль в анізотропній плазмі у формі

(5.48)

де введено кут q між хвильовим вектором k та сталим магнітним полем B ₀, так що n_y=n sin q, n_z=n cos q.

Дисперсійне рівняння є біквадратним щодо n. Воно описує дві пари зустрічних (що відрізняються знаком n) хвиль – звичайні та незвичайні. Фазова швидкість цих хвиль визначається звичайним співвідношенням

, (5.49)

а групова швидкість в силу анізотропії середовища визначається зі співвідношення

, (5.50)

де орти е_// та е _^ спрямовані відповідно вздовж зовнішнього магнітного поля та вектора k _^. Таким чином, фазова і групова швидкості електромагнітних хвиль в анізотропній плазмі, взагалі кажучи, спрямовані неоднаково.

За відсутності сталого магнітного поля, тобто при w_с=0 і, відповідно, при a=0, e_^=e_//=e дисперсійне рівняння (5.48) набуває вигляду

(5.48 а)

тобто зводиться до розглянутого раніше (п. 5.1.2) рівняння для хвиль у холодній ізотропній плазмі.

5.2.3. Поширення електромагнітних хвиль уздовж магнітного поля

В загальному випадку розв’язок рівняння (5.48) дуже громіздкий. Тому ми обмежимося лише розглядом хвиль, що поширюються в плазмі вздовж магнітного поля (q=0) та перпендикулярно до нього (q=p/2).

У першому випадку замість рівняння (5.48) отримаємо:

, (5.48 б)

звідки для випадку e_//¹0 (він, як і раніше, відповідає поздовжнім хвилям)

. (5.51)

Для того, щоб визначити поляризацію поперечних хвиль, підставимо (5.59) до першого та останнього рівнянь системи (5.55). Врахувавши, що n_y=0, n_z=n, отримаємо:

, . (5.52)

Таким чином, електромагнітні хвилі, що поширюються вздовж магнітного поля, є чисто поперечними та циркулярно поляризованими. Звичайна та незвичайна хвилі в цьому випадку відрізняються напрямком обертання площини поляризації.

Щоб знайти явний вигляд закону дисперсії, підставимо вирази для e_^ і a до формули (5.59):

. (5.53)

Графік залежності n_1,2²(w) поданий на рис. 5.7. Зрозуміло, що хвилі можуть поширюватися тільки на тих частотах, де n²>0: звичайна (1) – на частотах w>w₁, незвичайна (2) – за межами інтервалу непрозорості [w_c, w₂]. Значення w_1,2 знаходяться з умови n_1,2²=0:

Рис. 5.7. Графік залежності n1,2^2(w) для випадку поширення електромагнітних хвиль уздовж магнітного поля. Індекс 1 на дисперсійних кривих відповідає звичайній хвилі, індекс 2 – незвичайній.

. (5.54)

Відмінність дисперсії звичайної і незвичайної хвиль призводить до ефекту обертання площини поляризації у плоскої хвилі, що поширюється в плазмі вздовж магнітного поля (ефект Фарадея). Ефект Фарадея має місце в тій області частот, де плазма прозора одночасно для звичайної та незвичайної хвиль.

Як видно з формули (5.51), вираз для n₂² має особливість при w=w_с, а вираз для n₁² такої особливості не має.

Особливість виникає для незвичайної хвилі, у якої напрямок обертання електричного поля збігається з напрямком циклотронного обертання електронів. В режимі циклотронного резонансу, w=w_с, дана хвиля буде ефективно віддавати свою енергію електронам плазми (так зване циклотронне поглинання). Цей ефект обумовлений тим, що в системі відліку, пов’язаній з електроном, що обертається, електричне поле буде сталим, і електрон під його впливом весь час збільшуватиме свою кінетичну енергію. При зіткненнях із важкими частинками напрям швидкості електрона змінюватиметься випадковим чином, тобто енергія, відібрана електроном від поля, переходитиме в енергію теплового руху. Справді, якщо формально врахувати зіткнення електронів із важкими частинками у виразі для компонент тензора e, можна побачити, що величина n₂²(w) (а, отже, й n₂(w)) в околі точки циклотронного резонансу матиме суттєву уявну частину, яка й описує згасання хвилі в просторі. З іншого боку, при n²(w)®¥ фазова швидкість хвилі v_ph=c/n дуже зменшується, і модель холодної плазми, в рамках якої виконаний наведений вище розрахунок, стає незастосовною (див. вище п. 5.1.1).

Відзначимо, що при , тобто на дуже високих частотах плазма, як і за відсутності магнітного поля, перестає впливати на поширення електромагнітних хвиль.

5.2.4. Поширення електромагнітних хвиль перпендикулярно до магнітного поля

Розглянемо тепер поширення електромагнітних хвиль у плазмі перпендикулярно до магнітного поля. При q=p/2 з дисперсійного співвідношення (5.48) отримуємо:

, (5.55)

або

. (5.55 а)

Таким чином, закон дисперсії для звичайної та незвичайної хвиль у цьому випадку набуває вигляду

; . (5.56)

Підставивши перший корінь (5.56) до системи (5.47) і врахувавши, що n_y=n, n_z=0, дістанемо:

, , (5.57)

тобто електричне поле хвилі паралельне до В ₀. На рух електронів у цьому напрямку стале магнітне поле В ₀ не впливає, тому й дисперсія цієї хвилі буде така сама, як в ізотропній плазмі.

Для другого кореня (5.56) отримаємо:

, (5.58)

В загальному випадку ця хвиля є еліптично поляризованою в площині, перпендикулярній до магнітного поля, яка вміщує напрямок поширення хвилі. Підстановка явного вигляду e_^ та a (5.54) до виразу для n₂² дає:

. (5.59)

Нормоване хвильове число n₂² перетворюється в нуль на частотах

(5.60)

і має особливість на так званій частоті верхньогібридного резонансу

. (5.61)

Оскільки дана хвиля має поздовжню компоненту електричного поля, вона, очевидно, збурюватиме густину електронів плазми в напрямку свого поширення. Такий рух електронів буде породжувати силу Лоренца. Отже, резонанс для цієї хвилі являє собою зв’язані ленгмюрівські коливання та циклотронне обертання електронів, що й відбиває структура формули (5.65) для частоти верхньогібридного резонансу.

На частотах w<w₁ та w_UH<w<w₂ плазма для даної хвилі є непрозорою.

Залежність n₂²(w) подана на рис. 5.8.

Рис. 5.8. Графік залежності n1,2^2(w) для випадку поширення електромагнітних хвиль перпендикулярно до магнітного поля.

Контрольні питання до підрозділу 5.2

1. Як стале магнітне поле впливає на діелектричну проникність плазми?

2. Чому в плазмі, вміщеній у магнітне поле, циркулярно поляризовані хвилі з різним напрямком обертання мають різну дисперсію?

3. Які ефекти супроводжують поширення електромагнітних хвиль уздовж магнітного поля в плазмі?

4. В чому полягає механізм циклотронного згасання електромагнітних хвиль? Коли він реалізується?

5. Які ефекти супроводжують поширення електромагнітних хвиль перпендикулярно до магнітного поля в плазмі?

Задачі до підрозділу 5.2

1. Отримайте вираз для тензора діелектричної проникності плазми, вміщеної в магнітне поле, з урахуванням зіткнень електронів з важкими частинками.

2. Отримайте вираз для тензора діелектричної проникності плазми, вміщеної в магнітне поле, з урахуванням теплового руху електронів.

3. Побудуйте дисперсійні криві w(k) для електромагнітних хвиль у плазмі з магнітним полем у випадках поздовжнього та поперечного поширення.

4. Користуючись розв’язком задачі 1, отримайте формулу для часового декременту незвичайної хвилі у випадку поздовжнього поширення на частоті циклотронного резонансу.

5. Знайдіть поляризацію електромагнітної хвилі, що поширюється в плазмі перпендикулярно до магнітного поля, на частотах w=w_с та w=w_UH.

6. Покажіть, що на дуже високих частотах плазма, вміщена в довільне однорідне магнітне поле, перестає впливати на поширення електромагнітних хвиль, скориставшись загальним дисперсійним рівнянням для цього випадку.

Дата добавления: 2015-12-08