Лінійна трансформація хвиль у неоднорідній плазмі

7.4.1. Лінійна трансформація хвиль у неоднорідній плазмі: якісний опис ефекту та отримання базових рівнянь

В неоднорідній плазмі з’являється зв’язок між хвилями, які в однорідній плазмі є нормальними. Він приводить до лінійної трансформації одних типів хвиль в інші. Найпростіший приклад такої трансформації – це відбиття хвилі, тобто перетворення прямої хвилі в зворотну на неоднорідності середовища.

Розглянемо явище лінійної трансформації хвиль у неоднорідній плазмі на прикладі взаємної трансформації електромагнітних та ленгмюрівських хвиль.

Запишемо лінеаризовані рівняння для електронів теплої ізотермічної (T=const) плазми в гідродинамічному наближенні (іони вважаємо нерухомими), поклавши, як і раніше, що незбурена концентрація плазми n₀ змінюється вздовж осі z, n₀=n₀(z):

(5.129)

(рівняння руху електронів під дією електричного поля та градієнту тиску),

(5.130)

(теорема Гаусса). З рівняння (5.129) виключимо швидкість електронів, ввівши замість неї густину струму j =-en v. Вважаючи, що всі величини змінюються з часом як exp(iwt), отримаємо:

, (5.131)

або

. (5.131 а)

Взявши градієнт від обох частин рівняння (5.130), можна отримати, що

. (5.132)

Підставивши це співвідношення до (5.131 а), можемо записати:

. (5.131 б)

Отриманий вираз для густину струму (5.131 б) підставимо до рівняння Максвелла

.

Тоді можна записати:

. (5.133)

Увівши в рівнянні (5.133) позначення b_T=v_Te/c, e(z)=1-4pn₀(z)e²/mw² і доповнивши його законом електромагнітної індукції, можна записати таку систему рівнянь:

(5.134)

Виключивши за допомогою другого рівняння системи (5.134) магнітне поле, отримаємо векторне хвильове рівняння вигляду

. (5.135)

Запишемо проекції рівняння (5.135) на осі декартової системи координат, прийнявши, що E (r)= E (z)exp(-ik_yy), тобто що хвильовий вектор лежить у площині :

(5.136)

Видно, що система (5.136) розпадається на дві частини – рівняння для Е_х, яке в даному разі описує дві s-поляризовані електромагнітні хвилі (пряму й зворотну – пор. з пп. 7.2.1, 7.2.4), та систему двох зв’язаних рівнянь для Е_у та Е_z, яка описує дві пари р-поляризованих хвиль – електромагнітні та ленгмюрівські (див. пп. 7.2.5, 5.1.3).

Перейшовши до безрозмірної змінної x=k₀z та ввівши позначення n_y=k_y/k₀, перепишемо два останні рівняння системи (5.136) у формі

(5.137)

Нарешті, виключивши Е_у за допомогою другого рівняння системи (5.137), отримуємо одне рівняння четвертого порядку щодо Е_z:

(5.138)

В однорідному середовищі, де , рівняння (5.138) зводиться до вигляду

, (5.138 а)

тобто розпадається на два незалежні рівняння для електромагнітної (перша дужка) та ленгмюрівської (друга дужка) хвиль.

7.4.2. Лінійна трансформація електромагнітних та ленгмюрівських хвиль

Вважаючи плазму слабконеоднорідною, можна отримати розв’язок рівняння (5.138) у наближенні геометричної оптики (див. пп. 7.2.2-7.2.3):

,

(5.139)

де

, , . (5.140)

Розв’язок (5.139) описує пряму й відбиту р-поляризовану електромагнітну хвилі (амплітуди А_1,2, ейконал y₁) та пряму й відбиту ленгмюрівські хвилі (амплітуди В_1,2, ейконал y₂).

Необхідну умову застосовності наближення геометричної оптики в розмірних координатах можна записати у вигляді

, (5.141)

де L – характерний розмір неоднорідності плазми. Умова повільності зміни амплітуди, як видно з формул (5.139)-(5.140), порушується в околі точок відбиття електромагнітної та ленгмюрівської хвиль, де відповідно e=n_y та e=b_Тn_y, а також в околі точки локального плазмового резонансу, де e=0 і компонента поля Е_z має особливість (див. п. 5.4.5)[3]. Формально в цій області передекспоненціальні множники в (5.139) перестають бути повільними (в масштабі n_z1,2^–1) функціями (пор. з першою з умов (5.92 а)). Слід підкреслити, що в останньому випадку, як випливає з формули (5.139), наближення геометричної оптики порушується одночасно для електромагнітної та ленгмюрівської хвиль. Це вказує на можливість взаємної трансформації названих хвиль у цій області.

Тепер приймемо, що „геометрикооптичні” амплітуди А_1,2 і В_1,2 у виразі (5.139), в свою чергу, є функціями координати - саме така ситуація має місце при взаємній трансформації хвиль, коли наближення геометричної оптики порушується. Справді, в областях, де виконується наближення геометричної оптики, ці амплітуди залишаються сталими.

Фактично замість однієї невідомої функції введені чотири невідомі функції - „геометрикооптичні” амплітуди. Щоб визначити їх однозначно, необхідно накласти деякі додаткові умови (пор. з п. 5.4.3).

Перша похідна від функції (5.139) з урахуванням залежності А_1,2 і В_1,2 від координати має вигляд:

, (5.142)

де використані позначення

, , (5.143)

, .

Вимагатимемо, щоб похідні від Е_z до третьої включно не містили похідних від „геометрикооптичних” амплітуд та передекспоненціальних функцій. Для першої похідної в цьому випадку отримаємо вираз

, (5.144)

що справедливий за виконання умови

. (5.145)

Для похідних другого та третього порядку можна отримати вирази

, (5.146)

за виконання умов

(5.147)

та

. (5.148)

З другої з формул (5.146) випливає такий вираз для четвертої похідної:

. (5.149)

Підставляючи вирази (5.139), (5.144), (5.146), (5.149) до рівняння (5.138), можна отримати співвідношення:

(5.150)

В силу умов (5.145), (5.147)-(5.148) до виразу (5.150) увійшли лише перші похідні від „геометрикооптичних” амплітуд (тобто величини х_± та у_±). Тому ці умови разом з рівнянням (5.150) можна розглядати як систему рівнянь щодо х_± та у_±. Розв’язавши цю систему, можна з урахуванням явного вигляду n_z1,2 (5.140) отримати:

; ; (5.151)

;

(враховано, що b_Т²<<1).

Нарешті, врахувавши, що

, (5.152)

(див. співвідношення (5.143)), можна отримати шукані вирази для похідних від „геометрикооптичних” амплітуд:

(5.153)

Формули (5.153) описують лінійну трансформацію р-поляризованих електромагнітних хвиль та ленгмюрівських хвиль (прямих і зворотних), що поширюються під кутом до градієнту концентрації плазми.

Відразу відзначимо, що формули (5.153) втрачають чинність при n_y=0, оскільки в цьому випадку електромагнітні хвилі не мають z-компоненти електричного поля, і рівняння (5.138) виявляється незастосовним.

По-перше, рівняння (5.153) описують відбиття від щільної плазми електромагнітних (перші доданки в правих частинах першої пари рівнянь) та ленгмюрівських (останні доданки в правих частинах другої пари рівнянь) хвиль. Власне, взаємна трансформація прямої та зворотної хвиль має місце на будь-якій неоднорідності (de/dx¹0). Але найбільш ефективною вона виявляється в околі відповідної точки повороту (e(x)=n_y² для електромагнітних та e(x)=b_Т²n_y² для ленгмюрівських хвиль), де права частина має полюс першого порядку. Доданки з полюсами першого порядку в точці локального плазмового резонансу (e(x)=0) описують зростання поля в околі цієї точки (див. вище п. 5.4.5).

По-друге, рівняння (5.153) показують, що в неоднорідній плазмі має місце також взаємна трансформація ленгмюрівських та р-поляризованих електромагнітних хвиль. Цей процес, як і відбиття хвиль, найбільш ефективно протікає в околі точок повороту та в області локального плазмового резонансу.

Як показують розрахунки, така трансформація виявляється найбільш істотною при F(t)~1, тобто при sinq~(k₀L)^-1/3. За виконання цієї умови коливання в області локального плазмового резонансу, які й породжують плазмову хвилю, найдужче пов’язані з падаючою електромагнітною хвилею (див. п. 5.4.5). Справді, при q®0 ленгмюрівська хвиля має лише компоненту E_z, а електромагнітна - лише E_y, тому поля цих хвиль виявляються ортогональними, що унеможливлює їхню взаємну трансформацію. Навпаки, при великих значеннях q зростає бар’єр непрозорості між точкою повороту електромагнітної хвилі й розташованими поруч одна з одною точкою локального плазмового резонансу та точкою повороту ленгмюрівської хвилі.

Узагальнюючи результати розрахунку, можна сказати, що необхідною умовою лінійної трансформації хвиль є неоднорідність плазми та наявність перекриття полів хвиль різного типу. Найбільш ефективно трансформація відбувається в областях, де для хвиль порушується наближення геометричної оптики.

Звернемо увагу ще на одну обставину. Щоб знайти зміну амплітуди хвилі певного типу (наприклад, амплітуду електромагнітної хвилі, що породжена ленгмюрівською хвилею за механізмом лінійної трансформації), треба проінтегрувати праву частину відповідної формули (5.153) по області неоднорідності плазми. Наявність під інтегралом осцилюючої експоненти типу exp(iy₁±iy₂) приведе, очевидно, до різкого зменшення величини інтегралу (нагадаємо, що в розрахунку плазма вважається слабконеоднорідною в масштабі довжин відповідних хвиль). Але, якщо в деякій точці неоднорідної плазми довжини двох хвиль збігаються (а частоти їх однакові), то в околі цієї точки експонента вигляду exp(iy₁-iy₂) вже не буде осцилювати. Тому відповідна область - її інколи називають областю синхронізму, або областю черенковського резонансу - даватиме основний (або принаймні помітний) внесок до інтегралу, причому трансформація матиме місце для хвиль, що поширюються в однаковому напрямку. У випадку взаємної трансформації ленгмюрівської та електромагнітної хвиль виконати умову черенковського резонансу неможливо (відповідні дисперсійні гілки не перетинаються ні при яких значеннях концентрації плазми). Якщо ж така область існує, то саме в ній (поруч із околами відповідних точок повороту чи резонансу) лінійна трансформація хвиль відбуватиметься найбільш ефективно.

Лінійна трансформація хвиль відіграє важливу роль, наприклад, в умовах нагрівання плазми падаючими на її межу хвилями, що характерно, зокрема, для лазерного термоядерного синтезу. В деяких випадках лінійна трансформація хвиль може забезпечити проходження сигналу через області, які без врахування названого ефекту є для нього непрозорими (так звана квазіпрозорість плазмових хвильових бар’єрів).

Контрольні питання до підрозділу 7.4

1. В яких областях у неоднорідній плазмі можлива лінійна трансформація хвиль? Наведіть приклади таких процесів.

7.5. Плазмово-пучкова взаємодія

У випадку згасання Ландау (див. п. 5.1.4) хвиля передає свою енергію частинкам плазми. Але в плазмі з немаксвеллівським розподілом частинок за швидкостями, точніше, з розподілом, який має ділянку з додатною похідною, , можливий обернений процес, коли частинки передають свою енергію на збудження хвилі. Прикладом такої системи може служити плазма, крізь яку з надтепловою швидкістю рухається пучок електронів, який і формує ділянку функції розподілу з додатною похідною.

7.5.1. Якісний розгляд та класифікація режимів

Нехай через плазму рухається пучок заряджених частинок. Це означає, що розподіл частинок за швидкостями (наприклад електронів) буде істотно немаксвеллівським, тобто така система буде нерівноважною – в ній міститься деякий запас енергії у формі кінетичної енергії електронів пучка. Ця енергія в процесі переходу системи до стану термодинамічної рівноваги буде виділятись, що може, зокрема, привести до збудження деяких коливань або хвиль (явище плазмово-пучкової нестійкості).

Якщо пучок є монокінетичним (кількісний критерій монокінетичності буде сформульовано нижче), то задачу про плазмово-пучкову нестійкість можна розв’язати в гідродинамічному наближенні. В цьому випадку говорять про гідродинамічний режим плазмово-пучкової нестійкості.

Якщо температура пучка є істотною (в пучку має місце суттєвий розкид за швидкостями), то задачу треба розв’язати за допомогою кінетичного рівняння для функції розподілу. В цьому випадку говорять про кінетичний режим плазмово-пучкової нестійкості. Опис кінетичного режиму складніший порівняно з гідродинамічним описом.

В будь-якому випадку розвиток плазмово-пучкової нестійкості супроводжується модуляцією пучка за швидкістю та густиною. Поки виконується умови Dv/v₀<<1, Dn/n_B<<1, тобто відносні збурення швидкості та густини пучка залишаються малими, говорять про лінійну стадію розвитку плазмово-пучкової нестійкості, яку можна адекватно описувати лінеаризованими рівняннями. Коли хоч одна з цих умов порушується, говорять про нелінійну стадію плазмово-пучкової нестійкості. Цю стадію можна описати аналітично тільки на обмеженому проміжку. На пізніх стадіях придатне лише комп’ютерне моделювання.

В принципі можна уявити собі три можливі постановки задачі про плазмово-пучкову нестійкість.

1. Розглядається нескінченна однорідна система, в якій задане деяке початкове періодичне збурення, а потім досліджується еволюція цього збурення з часом. Така постановка відповідає задачі з початковими умовами, або початковій задачі.

2. На вході в деяку область пучок модулюється (наприклад, за гармонічним законом), а нестійкість розвивається в просторі в стаціонарному режимі. Отримуємо задачу з граничними умовами, або граничну задачу.

3. Реально інжекція пучка в плазму починається в деякий момент часу і супроводжується перехідними процесами, які можуть і не згаснути, тобто система може не вийти на стаціонарний режим (так звичайно й буває в реальних експериментах). В цьому випадку слід розв’язувати початково-граничну задачу.

При аналітичному розгляді плазмово-пучкової нестійкості найчастіше розглядається початкова задача, що обумовлено її найбільшою простотою порівняно з іншими. Втім, для порівняння з реальними експериментами звичайно доводиться розв’язувати граничну або (найкраще) початково-граничну задачу.

7.5.2. Отримання дисперсійного рівняння в гідродинамічному режимі

Розглянемо модель плазмово-пучкової системи, в якій електронний потік, що рухається зі швидкістю v ₀, заповнює весь простір, у якому існує однорідна фонова плазма. Нехай середня густина потоку значно менша, ніж густина фонової плазми: n_B0<<n_p0. Вважатимемо, що об’ємний заряд пучка компенсується іонами плазми, так що n_і0= n_p0+ n_B0. Температурою пучка нехтуємо, плазму вважаємо ізотермічною, іони плазми – нерухомими, електричне поле – потенціальним.

Лінеаризовані за малими параметрами , , , та рівняння для плазмово-пучкової системи можна подати у формі:

(5.165)

(рівняння руху електронів плазми, n – частота зіткнень електронів із важкими частинками);

(5.166)

(рівняння руху електронів пучка);

(5.167)

(рівняння неперервності для електронів плазми);

(5.168)

(рівняння неперервності для електронів пучка);

(5.169)

(рівняння Пуассона).

Підставивши розв’язок у формі плоскої хвилі, f(r,t)~exp(iwt–i kr), і вважаючи, що v ₀= e _zv₀, k ={k_x, 0, k_z} (ці умови завжди можна задовольнити шляхом вибору відповідної системи координат), замість системи (5.165)-(5.169) можна записати однорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь щодо амплітуд відповідних змінних:

;

;

;

; (5.170)

;

;

.

Прирівнюючи до нуля визначник цієї системи, можна отримати дисперсійне рівняння:

, (5.171)

де використано позначення w_p²=4pn_p0e²/m, w_B²=4pn_B0e²/m.

Перш ніж аналізувати рівняння (5.171) у повному вигляді, розглянемо спершу його граничні випадки.

1. При (тобто за відсутності пучка) та отримуємо вже знайоме нам дисперсійне рівняння для ленгмюрівських хвиль у гідродинамічному наближенні (5.21):

.

2. При та (тобто за відсутності плазми) отримуємо:

,

звідки

. (5.172)

Це рівняння відповідає швидкій () та повільній () хвилям просторового заряду (ХПЗ) електронного потоку[4], який рухається у вакуумі. Можна показати, що швидка ХПЗ є хвилею з додатною енергією, тобто на її збудження треба витратити енергію (в такій хвилі електронні згустки рухаються швидше, ніж незбурений пучок). Навпаки, повільна ХПЗ – це хвиля з від’ємною енергією, для збудження якої від пучка треба відібрати енергію (в цій хвилі електронні згустки рухаються повільніше від незбуреного пучка).

7.5.3. Якісний аналіз дисперсійного рівняння та побудова дисперсійних кривих

Дисперсійне рівняння (5.147) має четвертий порядок за w, тобто у випадку початкової задачі описує чотири хвилі (нагадаємо, що знаходження w з дисперсійного рівняння при заданому k відповідає початковій задачі). Для з’ясування природи цих хвиль покладемо n=0 (тим самим ми обмежуємося поки що аналізом так званих реактивних нестійкостей, не пов’язаних з існуванням дисипації) і k_x=0[5] (обмежимось аналізом суто поздовжніх хвиль). Тоді дисперсійне рівняння (5.171) можна переписати у формі:

. (5.173)

Якщо w_B®0, то правою частиною рівняння (5.172) можна знехтувати. Тоді ліва частина цього рівняння перетворюється на добуток дисперсійних співвідношень для ленгмюрівських хвиль та для ХПЗ в електронному потоці. В цьому випадку зв’язок між названими хвилями зникає, і вони існують незалежно. Графік дисперсійних кривих для цього випадку поданий на рис.5.18. На ньому криві 1 та 2 відповідають прямій та зворотній ленгмюрівським хвилям (для зворотної ленгмюрівської хвилі додатному хвильовому числу відповідає від’ємна частота), криві 3 та 4 – відповідно швидкій та повільній ХПЗ електронного пучка. Оскільки v_Te<<v₀, то нахил дисперсійних кривих для ленгмюрівських хвиль в обраному діапазоні хвильових чисел майже не помітний.

Однак в дійсності w_B¹0, за рахунок чого виникає зв’язок між хвилями. Як відомо[6], такий зв’язок найбільше виявляється в околі точок синхронізму (точки А та В на рис.5.18).

В точці А реалізується синхронізм між прямою ленгмюрівською хвилею та швидкою ХПЗ. Обидві ці хвилі мають додатну енергію та однаковий напрямок групової швидкості, тому зв’язок між ними має привести до періодичного в просторі обміну енергією між ними.

В точці В реалізується синхронізм між прямою ленгмюрівською хвилею та повільною ХПЗ. Оскільки напрямок групової швидкості у цих хвиль однаковий, а знак енергії – різний (повільна хвиля просторового заряду – це хвиля з від’ємною енергією), то взаємодія між ними має привести до розвитку конвективної нестійкості в системі[7].

На рис.5.19 подано графік дисперсійних залежностей, описуваних рівнянням (5.172), з урахуванням взаємодії між ленгмюрівськими хвилями та ХПЗ. Гілка 1 (уявна частина частоти дорівнює нулеві, пряма 1¢) є результатом взаємодії прямої ленгмюрівської хвилі та швидкої ХПЗ. Гілка 4 відповідає зворотній ленгмюрівській хвилі (вона практично не взаємодіє з ХПЗ, тому її вигляд у порівнянні з рис.5.18 майже не змінився; для неї так само уявна частина частоти дорівнює нулеві – пряма 4¢). Гілки 2 та 3 виникають в результаті взаємодії ХПЗ та прямої ленгмюрівської хвилі. Першій з них при не дуже великих значеннях k відповідає декремент 2¢, другій – інкремент 3¢. Видно, що максимальний інкремент досягається при w»w_р, k»w_р/v₀.

Рис.5.18. Графік дисперсійних кривих, описуваних рівнянням (5.172), без урахування взаємодії хвиль (vTe/v0=0.1, wВ/wр=0.1).

Рис.5.19. Графік дисперсійних кривих, описуваних рівнянням (5.172), з урахуванням взаємодії хвиль (vTe/v0=0.1, wВ/wр=0.1). Дійсні частини частот показані суцільними лініями, уявні – штриховими.

Тепер бажано з’ясувати механізми виникнення нестійкості в різних частотних діапазонах. Для цього приймемо, що v_Te та w_B² – це величини першого порядку мализни. Тоді, відкинувши в (5.172) доданки другого й вищих порядків мализни, можна отримати:

. (5.174)

Саме з цим дисперсійним рівнянням ми будемо далі працювати.

7.5.4. Нерезонансна нестійкість у закритичній плазмі без зіткнень

Можна чекати, що потенціальна хвиля електричного поля буде найбільш ефективно взаємодіяти з пучком за виконання умови черенковського резонансу w=k_zv₀. Тому для початкової задачі (тобто для заданого дійсного ) шукатимемо розв’язок рівняння (5.174) у формі w=kv₀+d, |d|<<kv₀. Врахувавши, що

,

рівняння (5.174) можна переписати у формі:

(5.175)

де e₀=1–(w₀/kv₀)² – діелектрична проникність теплої плазми на частоті w=kv₀, w₀=(w_р²+k²v_Те²)^1/2.

Спочатку розглянемо випадок, коли e₀ від’ємне, а за модулем значно перевищує другий доданок у (5.175). Тоді з (5.175) випливає, що d²=–w_В²/(–e₀), і

. (5.176)

Один з коренів (5.176), а саме d₂, якраз і відповідає інкременту нерезонансної плазмово-пучкової нестійкості для аналізованої моделі:

. (5.176 а)

Бачимо, що g~n_B^1/2.

Підставивши отримане значення |d| до другого доданку в (5.175), можна записати названі вище умови для e₀, які забезпечують чинність розв’язку (5.176), у формі

(5.177)

Механізм цієї нестійкості пов’язаний із тим, що діелектрична проникність плазми є від’ємною. При цьому кулонівська сила змінює знак, і однойменні заряди починають притягуватися. В результаті початкова модуляція пучка за густиною з часом буде зростати.

Пояснимо цей механізм детальніше. Нехай пучок в одновимірній моделі промодульований за густиною, так що змінна складова його струму визначається формулою

.

Закон повного струму для системи плазма-пучок можна записати у формі

, (5.178)

де e=1–w_р²/w² і враховано, що поле є чисто потенціальним. Прийнявши, що всі величини змінюються за законом exp(iwt–ikz), отримаємо, що

а	б
Рис. 5.20. Розподіли густини електронів пучка та енергетичного профілю, створеного електричним полем, у докритичній (а) та закритичній (б) плазмі.

. (5.179)

У закритичній плазмі, де e>0, профіль енергії електронів W=–ej повторює профіль збурення густини електронів пучка, тобто максимуми густини електронів пучка опиняються на вершинах максимумів потенціалу (рис. 5.20 а). В результаті електронні згустки будуть розвалюватися. Навпаки, в закритичній плазмі, де e<0, максимуми густини електронів опиняються в мінімумах енергії (в потенціальних ямах), куди починають скочуватися й інші електрони пучка (рис. 5.20 б). Іншими словами, електрони будуть ще більше групуватись у згустки. Цей процес і відповідає розвитку нестійкості.

7.5.5. Резонансна нестійкість у холодній плазмі без зіткнень

Нехай тепер виконується умова, протилежна до (5.177), тобто

. (5.180)

Вона означає, що e₀»0, тобто (kv₀₎²»w_р²+(kv_Те)². Остання рівність визначає (з точністю до малої величини w_В²) точки А та В перетину дисперсійних кривих для ХПЗ та ленгмюрівської хвилі на рис. 5.18. Саме в околі цих точок інкремент досягає максимуму (див. рис. 5.19). Таким чином, в аналізованому випадку можна говорити про те, що збудження нестійкості в пучку супроводжується збудженням супутньої ленгмюрівської хвилі у фоновій плазмі. Отже, механізм нестійкості полягає в тому, що повільна ХПЗ з від’ємною енергією передає енергію ленгмюрівській хвилі (з додатною енергією) з тими самими частотою та хвильовим числом (і, відповідно, фазовою швидкістю). В результаті амплітуди обох хвиль зростають. Таку нестійкість звичайно називають резонансною.

З урахуванням нерівності (5.180) із рівняння (5.175) можна отримати:

, (5.181)

причому в силу (5.180) можна прийняти, що kv₀»w₀, тобто

(5.181 а)

Оскільки

, ,

то інкремент нестійкості в цьому випадку дається формулою

. (5.182)

Оскільки n_B – мала величина, то нестійкість у цьому випадку буде сильнішою, ніж у попередньому. Ця нестійкість називається резонансною, оскільки для неї kv₀»w_р. Вона реалізується як при додатних, так і при від’ємних (але достатньо малих) e₀.

Знайдемо ще межі, в яких рівняння (5.175) має комплексні корені d. Для цього перепишемо його у формі кубічного полінома, перейшовши до безрозмірних змінних:

, (5.183)

де використані позначення

, , . (5.184)

Залежність f(x) має екстремуми, які досягаються в точках х₁=0 та х₂=–e₀у³/3, де df/dx=0, причому

, .

Очевидно, рівняння (5.183) матиме комплексні корені лише в тому випадку, коли графік функції f(x) перетинатиме вісь абсцис тільки один раз. Для цього потрібно, щоб значення f(x) в екстремумах мали однаковий знак. Таким чином, нестійкість у нашій задачі існуватиме лише за тих значень параметрів, коли f(x₂)<0, або

. (5.185)

Оскільки параметри b та у додатні, то нерівність (5.185) автоматично задовольнятиметься при від’ємних значеннях e₀. При додатних e₀ її можна переписати у формі

,

або, з урахуванням явного вигляду e₀=1–(w₀²/kv₀)²,

. (5.186)

Враховуючи, що , де – фазова швидкість ленгмюрівської хвилі, умови існування нестійкості можна переписати у вигляді

, (5.187)

або

. (5.187 а)

Умову (5.187 а) можна інтерпретувати таким чином, що для існування резонансної нестійкості відносне розстроювання за швидкістю між пучком та ленгмюрівською хвилею не повинно перевищувати інкремента, нормованого на ленгмюрівську частоту. Таке саме за порядком величини розстроювання в бік менших хвильових чисел від резонансної точки визначає умовну межу між нерезонансною та резонансною нестійкостями.

В реальних ситуаціях у пучку без початкової модуляції нестійкість від шумів зростає в усьому діапазоні частот, де вона може мати місце. Але резонансна нестійкість, що характеризується максимальним інкрементом, виявляється найбільш помітною. Крім того, вона першою досягає нелінійної стадії і захоплює пучок (про це див. нижче п. 7.5.7), що приводить до придушення нерезонансних нестійкостей.

7.5.6. Дисипативна нестійкість

Розглянемо тепер випадок, коли v_Te=0, але n¹0. Введемо позначення

(5.188)

(остання рівність справедлива при n/w<<1). Тоді дисперсійне рівняння (5.172) набуде вигляду:

. (5.189)

Це рівняння зручно розв’язати щодо k (це відповідає граничній задачі). Отримаємо:

. (5.190)

Два розв’язки (5.190) відповідають двом хвилям просторового заряду – повільній (верхній знак) та швидкій (нижній). При Re e_p>0, як відомо, швидка хвиля просторового заряду є хвилею з додатною енергією, а повільна хвиля – з від’ємною. Оскільки e_p має уявну частину, величини k_1,2 також будуть комплексними. Можна показати, що швидка хвиля спадатиме, а повільна – зростатиме вздовж напрямку руху пучка. В даному разі енергія від пучка відбиратиметься на розігрів плазми за рахунок зіткнень. При цьому хвиля з додатною енергією згасатиме, а з від’ємною – навпаки, зростатиме.

Нестійкості такого типу називаються дисипативними.

7.5.7. Нелінійна стадія гідродинамічної плазмово-пучкової нестійкості

На початку слід відзначити, що нелінійність у процесі розвитку плазмово-пучкової нестійкості буде перш за все проявлятися в пучку. Це пов’язано з тим, що електрони пучка мають швидкість, близьку до швидкості хвилі електричного поля. В результаті вони взаємодіють із полем майже незмінної фази, тобто сприймають його, як майже стале.

В процесі розвитку плазмово-пучкової нестійкості для суто поздовжніх хвиль виникає поздовжня хвиля потенціалу, яку в першому наближенні можна вважати гармонічною. Електрони пучка коливаються в потенціальних ямах, утворених названою хвилею. Тому в системі координат, пов’язаній із цією хвилею, фазовий портрет для електронів пучка нагадує математичний маятник.

Нагадаємо, що поблизу центрів фазові траєкторії ізохронні, а поблизу сепаратриси період коливань зростає.

Спершу частинки пучка майже нерухомі (їхня швидкість практично збігається зі швидкістю хвилі), потім вони починають рухатися по фазових траєкторіях (рис. 5.21 а). Це приводить до того, що у фазовому просторі з’являється хвиля (рис. 5.21 б). В певний момент часу її фронт перекидається (рис. 5.21 в). Цей момент відповідає максимальному групуванню електронів пучка в згустки.

Коливання електронів у потенціальних ямах хвилі прийнято називати баунс-коливаннями. Частота цих коливань (поблизу мінімумів ям) можне бути оцінена з рівняння руху електронів у потенціалі хвилі:

, , (5.191)

звідки

, (5.191 а)

або при kx<<1

. (5.191 б)

Отже,

, . (5.192)

Картина баунс-коливань, наведена на рис. 5.21, ускладнюється тим, що в процесі розвитку нестійкості амплітуда потенціальної хвилі зростає. Оскільки хвиля дещо відстає від пучка, захоплення електронів пучка відбувається не відразу, а лише при певній амплітуді хвилі.

Залежність амплітуди електричного поля та середньої швидкості пучка від часу (для початкової задачі) подана на рис. 5.22. Видно, що на нелінійній стадії відбувається квазіперіодичний обмін енергією між електростатичною хвилею та пучком. При цьому загалом пучок сповільнюється.

а	в
б	г
Рис. 5.21: а – фазовий портрет математичного маятника (жирною лінією показано положення електронів пучка в початковий момент часу); б-г – послідовна зміна фазового портрету електронного пучка з часом при взаємодії з поздовжньою електростатичною хвилею (епюра "в" відповідає моменту перекидання хвилі у фазовому просторі).

Рис. 5.22. Квазіперіодична зміна амплітуди електричного поля хвилі та середньої швидкості електронного пучка, обумовлена баунс-коливаннями (початкова задача).

7.5.8. Кінетичний режим плазмово-пучкової нестійкості

Реальний пучок характеризується ненульовою температурою, тобто наявністю розкиду електронів за швидкостями Dv_B. З іншого боку, хвилі частоти w, що зростає в часі з інкрементом g, можна приписати ширину спектру по частотах порядку g і, отже, розкид по фазових швидкостях Dv_ph~g/k. Якщо Dv_ph>Dv_B, реалізується гідродинамічний режим нестійкості, про який була мова досі. В протилежному випадку реалізується кінетичний режим нестійкості. Такий режим характерний для електронних пучків природного походження (сонячний вітер, авроральні області іоносфери).

В кінетичному режимі (при Dv_B>>g/k) генерується широкий спектр хвиль. Це явище можна інтерпретувати як зміну знаку згасання Ландау в тій області, де нахил функції розподілу системи плазма-пучок буде додатнім (див. рис. 5.23). Число збуджених мод у цьому випадку буде

. (5.193)

В результаті збудження цих мод розподіл f(v_z) із позитивним нахилом поступово зникає (це стосується значення f(v_z), усередненого по багатьох періодах коливань), і формується плато (лінія на рис. 5.23, що відповідає найпізнішому моменту часу).

Схожа еволюція функції розподілу спостерігається і в гідродинамічному режимі. Вперше цей ефект було експериментально досліджено С.М. Левитським та І.П. Шашуріним[8].

а	б в
Рис. 5.23: а – еволюція функції розподілу електронів за швидкостями в процесі розвитку плазмово-пучкової нестійкості (t0<t1<t2®¥); виділена область фазових швидкостей ленгмюрівських хвиль, у якій вони зазнають підсилення за рахунок взаємодії з пучком; б, в – фрагменти попереднього рисунку для моментів часу t1 та t2; в обох випадках виконано умову S=S’.

7.5.9. Плазмово-пучкова турбулентність та плазмово-пучковий розряд

Якщо ленгмюрівські хвилі, збурені пучком, можуть достатньо велику амплітуду, вони починають нелінійно взаємодіяти, формуючи широкий частотний спектр. В результаті нелінійної взаємодії електронів пучка одночасно з кількома хвилями динаміка електронів набуває хаотичного характеру (відбувається, по суті, перекриття нелінійних резонансів). Наслідком цих процесів є розвиток плазмово-пучкової турбулентності. Їй притаманний широкий спектр хвиль, які нелінійно взаємодіють між собою (в найпростішому випадку це параметрична взаємодія – див. нижче п. 6.4). Але цей хаотичний процес характеризується певними невипадковими спектральними властивостями (наприклад, так званими колмогорівськими спектрами).

Якщо плазмово-пучкова нестійкість розвивається в слабкоіонізованій плазмі, а високочастотні поля, збуджені пучком, достатньо інтенсивні, то ці поля можуть іонізувати нейтральну компоненту плазми (подібно до того, як це має місце у високочастотному розряді). В цьому випадку говорять про плазмово-пучковий розряд.

Контрольні питання до підрозділу 7.5

1. В чому відмінність між кінетичним та гідродинамічним режимами плазмово-пучкової нестійкості?

2. Які основні механізми плазмово-пучкової нестійкості в гідродинамічному режимі?

3. Опишіть механізм насичення гідродинамічної плазмово-пучкової нестійкості.

4. В чому полягають особливості кінетичного режиму плазмово-пучкової нестійкості?

5. Опишіть механізм запалювання плазмово-пучкового розряду. За яких умов виникає такий розряд?

Задачі до підрозділу 7.5

1. Концентрації плазми та пучка складають відповідно 10⁹ см^-3 та 10⁶ см^-3, швидкість пучка – 3×10⁹ см/с. Знайдіть часовий інкремент резонансної нестійкості. На якій частоті та довжині хвилі вона матиме місце?

[1] Терміни "р-поляризація" та "s-поляризація" походять від англ. parallel (паралельний) та нім. senkrecht (перпендикулярний) і вказують на орієнтацію вектора напруженості електричного поля щодо площини падіння хвилі.

[2] В літературі метод геометричної оптики називають також методом Вентцеля – Крамерса – Бріллюена (ВКБ).

[3] Зазначимо, що для Т_е=1еВ теплова швидкість електронів складає v_Te=6×10⁷см/с, тобто b_Т=2×10^–3 і, відповідно, в точці повороту ленгмюрівської хвилі e~10^–3. Таким чином, точка повороту ленгмюрівської хвилі і точка локального плазмового резонансу, в якій e=0, практично зливаються - при L=100l віддаль між ними складає 0.1l, де l - довжина ленгмюрівської хвилі.

[4] Див., наприклад: І.О.Анісімов. Коливання та хвилі. К., Академпрес, 2003. С.218.

[5] У рівнянні (5.171) величину в першому наближенні можна оцінити як . Тоді впливом температури можна знехтувати, коли . За виконання цієї умови властивості нестійкості, як випливає з (5.171), не залежать від величини .

[6] Див., наприклад: І.О.Анісімов. Коливання та хвилі. К., Академпрес, 2003.

[7] Нагадаємо, що для початкової задачі з фіксованим значенням k розрізнити конвективну та абсолютну нестійкості неможливо, тому в обох випадках можна ввести часовий інкремент нестійкості.

[8] С.М.Левитский, И.П.Шашурин. ЖЭТФ, 1967, т.52, №2, с 350-356.

Дата добавления: 2015-12-08