Відбиття електромагнітних хвиль від неоднорідної плазми

Реальна плазма майже завжди є неоднорідною.

При поширенні хвиль у неоднорідних середовищах можливий цілий ряд ефектів, які не реалізуються в однорідному випадку: зміна амплітуди та швидкості, відбиття, лінійна трансформація, розсіювання та інші. Ми розглянемо ці явища на прикладі електромагнітних хвиль у неоднорідній ізотропній плазмі.

7.2.1 Хвильові рівняння для електромагнітних хвиль у плоскошаруватій плазмі

Будемо розглядати холодну ізотропну плазму без зіткнень, концентрація якої залежить від однієї координати z (так звана плоскошарувата модель). Нехай у такій плазмі поширюється гармонічна електромагнітна хвиля з частотою , , причому її хвильовий вектор лежить у площині yz.

Будемо описувати неоднорідну плазму її діелектричною проникністю e на частоті . Це можливо, якщо характерний розмір неоднорідності

(5.88)

буде значно більшим за дебаївський радіус, L>>r_D. У протилежному випадку виразом для e (5.13) у неоднорідній плазмі користуватися не можна.

Хвильове рівняння для такої моделі можна отримати з відповідних рівнянь Максвелла (5.6). Воно має вигляд:

, , (5.89)

або

. (5.89 а)

Приймемо, що компоненти поля не залежать від х, тобто хвильовий вектор лежить у площині . Тоді проекції хвильового рівняння (5.89 а) на осі координат мають вигляд:

; (5.89 б)

(5.89 в)

Система отриманих таким чином рівнянь розпадається на рівняння (5.89 б) для компоненти Е_х (це рівняння описує s-поляризовані хвилі) і підсистему (5.89 в) для компонент E_y та E_z (вона відповідає р-поляризованій хвилі)[1].

Розглянемо спочатку s-поляризовані хвилі. Будемо шукати розв’язок хвильового рівняння (5.89 б) у формі . Після його підстановки отримаємо:

, . (5.90)

7.2.2. Наближення геометричної оптики

В однорідній плазмі, де k_z(z)=const, розв’язок рівняння (5.90) має вигляд

. (5.91)

Нехай неоднорідність плазми є слабкою, тобто виконано умову

. (5.92)

Умова (5.92) означає, що характерний розмір неоднорідності значно перевищує просторовий період електромагнітної хвилі в напрямку градієнту концентрації плазми. В цьому випадку в розв’язку (5.91) можна припустити, що амплітуда А та хвильове число k_z є повільними функціями координати z. Іншими словами, шукатимемо розв’язок рівняння (5.90) у формі:

, (5.93)

що відповідає наближенню геометричної оптики[2]. Введена таким чином величина y називається ейконалом. Амплітуда та ейконал мають задовольняти умовам

, (5.94)

(перша похідна від ейконалу відповідає z-компоненті хвильового вектора, тому при L®¥ залежності А та dy/dz від z повинні зникнути). З умов (5.94) та (5.92) випливають нерівності

, (5.92 а)

(сам ейконал не є повільною функцією координати).

Випишемо в явному вигляді першу та другу похідні від Е_х:

; (5.93 а)

(над доданками у правих частинах виразів указаний їхній порядок мализни за параметром (k_zL)^-1).

Тепер підставимо розв’язок (5.93) з урахуванням (5.93 а) до рівняння (5.90), залишаючи лише доданки нульового та першого порядків мализни. В цьому виразі прирівняємо до нуля окремо доданки нульового і першого порядків. Отримане таким чином рівняння для доданків нульового порядку мализни має вигляд:

, (5.95)

звідки можна знайти явний вираз для ейконалу:

. (5.96)

Рівняння для доданків першого наближення має вигляд

, (5.97)

або, з урахуванням явного вигляду ейконалу,

. (5.97 а)

Інтегруючи рівняння (5.84 а), можна знайти явний вигляд просторової залежності амплітуди А:

. (5.98)

Отже, в загальному випадку розв’язок рівняння (5.90), отриманий методом геометричної оптики, можна подати у формі:

. (5.99)

Розв’язок (5.99) описує дві хвилі – пряму та зворотну.

Відзначимо, що в розв’язку (5.99) сталі інтегрування А₁ та А₂ – комплексні амплітуди зворотної та прямої хвиль – залежать від параметра z₀ (початку відліку) таким чином, що розв’язок у цілому не залежить від цього параметра.

В щільній плазмі, де k_z²<0, також можна записати розв’язок хвильового рівняння у наближенні геометричної оптики:

, (5.99 а)

де введене позначення c_z²(z)=–k_z²(z).

7.2.3. Обговорення геометрикооптичного розв’язку

Нехай у неоднорідному середовищі присутня тільки пряма хвиля, тобто А₁=0, А₂¹0. Знайдемо z-компоненту вектора Пойнтінга для такої хвилі. Як відомо, вектор Пойнтінга пропорційний добутку групової швидкості хвилі на густину її енергії, так що P_z~v_zgE_m², де E_m=A₀(k_z(z))^-1/2. Розрахунок z-компоненти групової швидкості з урахуванням явної залежності e(w) (5.13) дає:

.

(5.100)

Отже,

. (5.101)

Як бачимо, просторова зміна амплітуди, що описується формулою (5.97), обумовлена зміною групової швидкості хвилі при збереженні густини потоку її енергії. Іншими словами, амплітуда хвилі зростає там, де зменшується її групова швидкість, так що густина потоку енергії в усіх точках залишається однаковою.

Знайдемо тепер, у яких областях наближення геометричної оптики (5.92) порушується. Очевидно, це відбувається при k_z®0, тобто в околі точки, де e(z)=(k_y/k₀)². Оскільки у вакуумі k_y=k₀sinq ( – кут падіння, що відраховується від осі ), то в цій точці e(z)=sin²q. Ця точка називається точкою повороту хвилі, оскільки вона розділяє області прозорості та непрозорості для хвилі з даними значеннями w та k_y.

Порушення справедливості наближення геометричної оптики в околі точки повороту означає, що в цій точці можливе взаємне перетворення прямої та зворотної хвиль.

Для того, щоб з’ясувати більш конкретно, в чому саме полягає порушення наближення геометричної оптики в околі точки повороту, розглянемо знову s-поляризовану хвилю в плоскошаруватій плазмі. Неоднорідність тепер вже не вважатимемо слабкою.

Підставимо розв’язок рівняння (5.89) у формі (5.98), вважаючи, однак, що "геометрикооптичні амплітуди" А_1,2 залежать від координат. Розрахуємо спочатку першу похідну dE_x/dz:

. (5.102)

Оскільки ми замість однієї невідомої функції E_x ввели дві нові – А₁ та А₂, то ми можемо накласти на них деяку додаткову умову. Задамо її у формі

. (5.103)

З урахуванням (5.103) можна записати, що

. (5.104)

Підставивши (5.104) до (5.89), отримаємо:

. (5.105)

Співвідношення (5.103) та (5.105) можна розглядати як систему лінійних неоднорідних алгебраїчних рівнянь щодо похідних dA_1,2/dz. Розв'язавши її, отримаємо:

. (5.106)

Як видно з (5.106), зміна геометрикооптичної амплітуди А₁ (А₂) можлива лише за рахунок іншої геометрикооптичної амплітуди А₂ (А₁). Для того, щоб така зміна відбувалася, необхідний градієнт поздовжнього хвильового числа (тобто, по суті, градієнт e). Цей ефект – розподілене відбиття хвилі – має місце, зокрема, й у слабконеоднорідній плазмі. Він не враховується в першому наближенні методу геометричної оптики, яким ми користувалися вище.

Найбільш помітна зміна геометрикооптичних амплітуд, як видно з (5.103), відбувається в околі точки повороту, тобто там, де в слабконеоднорідній плазмі порушується наближення геометричної оптики.

7.2.4. Відбиття s-поляризованої хвилі від слабконеоднорідної плазми

Розглянемо тепер задачу про відбиття s-поляризованої електромагнітної хвилі від плазми з розмитою межею. Концентрація плазми, як і раніше, залежить лише від координати z. Нехай область z<0 являє собою вакуум, а в області z>0 концентрація плазми монотонно зростає (рис. 7.2 а).

Нехай на плазму під кутом q падає s-поляризована хвиля. Хвильовий вектор хвилі лежить у площині yz. Електричне поле хвилі s-поляризованої перпендикулярне до площини падіння, тобто воно спрямоване вздовж осі х. Таким чином, поведінка електричного поля хвилі описується рівнянням (5.90).

Якщо неоднорідність плазми вважати слабкою, то поза околом точки повороту, в якій e=sin²q, справедливі геометрикооптичні розв’язки (5.95) (ліворуч від точки повороту) та (5.95 а) (праворуч від точки повороту). В останньому розв’язку слід покласти В₂=0, оскільки поле хвилі повинне залишатися обмеженим при z®¥.

Ми вважаємо хвилю, що падає на плазму, заданою (тобто задаємо амплітуду А₂). Тоді, зв’язавши між собою розв’язки хвильового рівняння по обидва боки від точки повороту, можна знайти амплітуди А₁ та В₁.

а	в г
б
Рис. 7.2. Відбиття s-поляризованої хвилі від слабконеоднорідної плазми: а – профіль концентрації плазми; б – просторовий розподіл інтенсивності електричного поля; в – траєкторія окремого променя; г – схема її побудови.

Оскільки в нашій моделі відсутнє згасання (Im e=0), то амплітуда відбитої хвилі має дорівнювати амплітуді падаючої хвилі (|А₁|=|А₂|). Іншими словами, в тій області, де електромагнітна хвиля може поширюватися, вона буде чисто стоячою.

Для того, щоб зв’язати геометрикооптичні розв’язки по обидва боки від точки повороту, можна покласти, що в деякому невеликому околі названої точки профіль концентрації плазми є лінійним. У цьому випадку рівняння (5.90) вдається розв’язати точно через деякі спеціальні функції – так звані функції Ейрі. В свою чергу, асимптотика цих функцій може бути ототожнена з геометрикооптичними розв’язками.

Залежність інтенсивності електричного поля хвилі від координати z, побудована описаним вище способом, наведена на рис. 7.2 б.

Щоб зрозуміти, як виглядає траєкторія окремого променя (вона показана на рис. 7.2 в), можна подумки розбити плазму на плоскі однорідні шари (рис. 7.2 г). При зростанні концентрації плазми її діелектрична проникність e зменшується, і показник заломлення n=e^1/2 також зменшується. В результаті при заломленні на кожній межі шарів промінь все дужче відхиляється від нормалі до меж цих шарів. У точці повороту відбувається повне внутрішнє відбиття, і промінь змінює напрямок руху вздовж осі z на протилежний.

7.2.5. Відбиття р-поляризованої хвилі від розмитої межі плазми. Точка локального плазмового резонансу

Розглянемо тепер падіння на розмиту межу плазми, описану вище (п. 7.2.4), р-поляризованої хвилі, у якої відмінні від нуля компоненти електричного поля Е_у та Е_z. Для неї зручніше розв’язувати хвильове рівняння для магнітного поля, яке має єдину ненульову компоненту В_х. Це хвильове рівняння неважко отримати з рівнянь Максвелла таким самим способом, як ми раніше отримували хвильові рівняння для електричного поля (5.89 б-в).

Запишемо рівняння, що визначає магнітне поле струму, з урахуванням струму зміщення (оскільки струм провідності плазми враховано в її діелектричній проникності, див. п. 5.1.1, то вважаємо, що струм провідності відсутній, j =0):

(5.107)

(прийнято, що часова залежність поля є гармонічною з частотою w, і використано позначення k₀=w/c). Узявши ротор від обох частин цього рівняння, отримаємо:

(5.108)

Тепер перетворимо праву та ліву частини (5.108) за відомими формулами векторного аналізу:

;

(5.109)

(в останньому співвідношенні враховано теорему Гаусса для магнітного поля).

Підставивши (5.109) до (5.108) і виключивши електричне поле за допомогою (5.107) та закону електромагнітної індукції

, (5.110)

отримаємо:

, (5.111)

або остаточно

. (5.111 а)

Врахуємо, що e=e(z), а залежність від х відсутня. Тоді векторне рівняння (5.110) можна переписати у формі двох скалярних:

, . (5.110 а)

Шукатимемо розв’язок хвильового рівняння (5.111 а) у формі
B (r,t)= e _xB(z)exp(iwt–ik_yy). Врахувавши, що

, , ,

можна переписати (5.111 а) у вигляді:

. (5.112)

Можна показати, що в околі точки, в якій e=0, розв’язок рівняння (5.112) не має особливості, тобто там наближено виконується умова В(z)=const. Тому в цій області, відповідно до першого зі співвідношень (5.110 а),

, (5.113)

тобто електричне поле у точці e=0 має полюс першого порядку (рис. 7.3 а, пор. з рис. 7.2 б). Ця особливість електричного поля відповідає збудженню коливань у точці локального резонансу , де частота хвилі збігається з електронною ленгмюрівською частотою, .

а
б	Рис. 7.3. Відбиття р-поляризованої хвилі від слабконеоднорідної плазми: а – просторовий розподіл інтенсивності електричного поля; б – функція, що визначає залежність поля в області локального плазмового резонансу від кута падіння хвилі q та характерного розміру неоднорідності плазми L (t = (k0L)^1/3sinq).

Справді, електричне поле р-поляризованої хвилі має z-компоненту, паралельну до градієнту концентрації. Ця компонента збуджує резонансні коливання електронів у точці локального резонансу, які супроводжуються порушенням електронейтральності плазми, неоднорідної в напрямку z.

Врахування зіткнень електронів із важкими частинками або ненульової температури електронів обмежує амплітуду коливань електричного поля в резонансній точці. Цей результат цілком аналогічний до обмеження особливості резонансної кривої ідеального коливного контуру при врахуванні дисипації. При врахуванні зіткнень енергія електричного поля витрачається на розігрів плазми. При врахуванні температури плазми в околі точки локального плазмового резонансу буде збуджуватись ленгмюрівська хвиля, що відходить у бік розрідженої плазми (див. нижче пп. 7.4.1-7.4.2). На збудження цієї хвилі також витрачається енергія.

Можна показати, що електричне поле в околі точки локального плазмового резонансу при врахуванні лише зіткнень електронів з важкими частинками можна записати у формі

, , (5.114)

де n – частота зіткнень електронів з важкими частинками, L – характерний розмір неоднорідності плазми в області локального плазмового резонансу. Графік функції F(t) поданий на рис. 7.3 б.

При малих кутах q падіння р-поляризованої хвилі на плазму поле в точці локального плазмового резонансу прямує до нуля, оскільки при q=0 електричне поле падаючої хвилі стає чисто поперечним (щодо градієнту концентрації плазми), і таке поле не може розгойдувати поздовжні коливання в резонансній точці. Навпаки, при великих q зростає бар’єр непрозорості між точкою повороту, де e=sin²q, і точкою резонансу, де e=0, в якому поле падаючої хвилі спадає за законом експоненціального типу.

Коливання в точці локального плазмового резонансу можна збудити й іншими способами – наприклад, помістивши неоднорідну плазму в змінне електричне поле, паралельне до градієнту її концентрації.

Контрольні питання до підрозділу 7.2

1. В чому полягає наближення геометричної оптики при описі поширення хвиль у слабконеоднорідній плазмі? Коли ним можна користуватися? Де воно порушується?

2. Чому при відбитті від слабконеоднорідної плазми амплітуда хвилі в околі точки повороту зростає?

3. Чим відрізняється картина поля при відбитті р- та s-поляризованих хвиль від слабконеоднорідної плазми?

4. Від чого залежить амплітуда поля, збуджуваного в точці локального плазмового резонансу при відбитті р-поляризованої хвилі від слабконеоднорідної плазми? Чим вона обмежується?

Задачі до підрозділу 7.2

1. Вважаючи, що концентрація електронів в іоносфері Землі лінійно зростає на висотах 0-300 км від 0 до 4×10⁵ см^-3, знайдіть, на якій максимальній висоті відбувається відбиття сигналу від радіолокатора з довжиною хвилі 60 м.

2. Від плазми з характерним розміром неоднорідності 1 м відбивається р-поляризована електромагнітна хвиля з частотою 3ГГц і амплітудою електричного поля 1В/см (у вакуумі). При якому куті падіння амплітуда поля в області локального плазмового резонансу буде максимальною? Оцініть її величину, вважаючи, що n/w=10^-3.

Дата добавления: 2015-12-08