Гідродинамічний опис плазми

Як уже вказувалося, найбільш точним є кінетичний опис плазми. Але він є надзвичайно складним. Тому в багатьох випадках застосовують більш просту модель – так званий гідродинамічний опис. Цей опис застосовний тоді, коли плазма близька до стану термодинамічної рівноваги, а її функція розподілу – до максвеллівської. Крім того, для ефектів, які описуються, наявність розподілу електронів за швидкостями повинна бути несуттєвою.

Ідея гідродинамічного опису в найпростішому випадку двокомпонентної плазми, складеної з електронів та однакових іонів, зводиться до того, що вона розглядається як провідне суцільне середовище, точніше, як суміш двох заряджених рідин[7] – електронної та іонної. Ці рідини взаємодіють між собою через зіткнення та спільне електричне поле. Такий опис називається дворідинною гідродинамікою. Для повільних рухів справджується умова електронейтральності, тобто електронна та іонна рідини рухаються однаково. Це відповідає однорідинній гідродинаміці.

Плазма характеризується високою провідністю. Це приводить до того, що зміна магнітного поля в нерухомій плазмі стає неможливою: така зміна породжує сильні струми, що компенсують початкову зміну магнітного поля. В результаті магнітне поле в плазмі може змінюватися тільки при русі самої плазми. Ця властивість відома як вмороженість магнітного поля в плазму. Більш того, динаміку плазми в деяких випадках взагалі можна описувати лише за допомогою магнітного поля.

2.4.1. Система рівнянь дворідинної гідродинаміки

Для швидких рухів швидкості електронів та іонів у плазмі можуть дуже відрізнятися через відмінність їхніх мас (щонайменше на три порядки). З іншого боку, максвеллізація електронів та іонів окремо відбувається значно швидше, ніж вирівнювання температур цих компонент (про це детальніше див. нижче, п. 3.2.1). Тому акуратний гідродинамічний опис плазми вимагає використання окремих рівнянь руху для електронної та іонної „рідин”. При їх записі ми обмежимося найпростішим випадком двокомпонентної плазми з однозарядними іонами одного сорту:

, (2.78)

. (2.79)

У рівняннях (2.78)-(2.79) p_i,e=n_i,ek_BT_i,e, t_eе – середній час між зіткненнями електрона з іонами (ця величина розраховується нижче, див. п. 3.2.1).

Рівняння (2.90) – це, по суті, запис другого закону Ньютона для крапель відповідно електронної та іонної рідин. На кожну таку краплю діє відповідний градієнт газокінетичного тиску (в першому наближенні основну роль відіграють електрон-електронні та іон-іонні зіткнення, оскільки електрон-іонні зіткнення характеризуються дуже малим коефіцієнтом акомодації – див. про це нижче, п. 3.2.1), електричне поле, сила Лоренца, а також сила тертя між електронною та іонною рідинами.

З урахуванням руху «крапель» повні похідні за часом з урахуванням руху самої плазми набувають вигляду:

. (2.80)

Як бачимо, в загальному випадку з’являються нелінійний за швидкістю доданки, але для невеликих швидкостей ними в багатьох випадках нехтують.

Для отримання повної системи рівнянь дворідинної гідродинаміки співвідношення (2.78)-(2.79), як і раніше, слід доповнити рівняннями неперервності для кожної з компонент

(2.81)

і рівняннями Максвелла

; ;

; . (2.82)

Що стосується температур, то для малих проміжків часу зміни T_e і T_i можна вважати адіабатичними.

Рівняння дворідинної гідродинаміки застосовують як до замагніченої плазми, так і до плазми без магнітного поля. Такий підхід використовується, зокрема, при дослідженні хвиль у плазмі (див. нижче розділ 6).

2.4.2. Система рівнянь однорідинної гідродинаміки

Найпростіший опис динаміки плазми, в тому числі за наявності в ній магнітного поля, дають рівняння однорідинної гідродинаміки. При їх записі ми, як і раніше, обмежимося найпростішим випадком двокомпонентної плазми з однозарядними іонами одного сорту. Наближення однорідинної гідродинаміки справедливе для опису повільних (у масштабі періоду плазмових коливань) великомасштабних (у масштабі дебаївського радіусу) рухів плазми, коли порушеннями електронейтральності можна знехтувати, тобто електрони та іони рухаються з однаковими швидкостями.

В наближенні однорідинної гідродинаміки вважається, що газокінетичний тиск плазми описується рівнянням стану p=2nk_BT, аналогічним відповідному рівнянню для ідеального газу (двійка вказує, що тиск спричиняють як електрони, так і іони). Оскільки M>>m (M – маса іона, m – маса електрона), то масова густина плазми визначається співвідношенням r»nМ, де n, як і раніше – концентрація електронів, що дорівнює концентрації іонів.

Додавши почленно рівняння (2.78)-(2.79), отримаємо рівняння руху для однорідинної гідродинаміки:

, (2.83)

де p=p_e+p_i, j =en(v _i– v _e), v º v _i. У правій частині стоять сили, що діють на «краплю» плазми: градієнт тиску (як у звичайній гідродинаміці) та сила Ампера. В силу електронейтральності макроскопічні сили, зумовлені електричним полем, відсутні; в’язкістю нехтуємо. Протікання ж струму у плазмі можливе й без розділення зарядів.

В цьому ж наближенні рівняння для електронної рідини (2.79) – має вигляд:

. (2.79 а)

Врахувавши, що j =en(v _i– v _e), остаточно перепишемо це рівняння у формі

, (2.84)

де провідність s визначається співвідношенням

. (2.85)

Справді, при В =0 та p_e=const з (2.84) випливає, що E = j /s. Тоді рівняння (2.84), що пов’язує j з E, можна розглядати як узагальнений закон Ома за наявності магнітного поля та градієнту тиску.

До рівняння руху (2.83) треба додати рівняння неперервності

(2.86)

і рівняння Максвелла, де, вважаючи провідність плазми великою, можна знехтувати струмом зміщення поруч зі струмом провідності[8], а порушення електронейтральності відсутнє, тобто електричне поле має лише вихрову складову:

; ; . (2.87)

Рівняння (2.83)-(2.87) і складають систему рівнянь однорідинної гідродинаміки.

Для невеликих за просторовими масштабами збурень в силу гарної теплопровідності плазми можна вважати, що T=const. Для опису еволюції великомасштабних збурень користуються рівнянням адіабати T~n^g-1.

2.4.3. Основне рівняння магнітної гідродинаміки

При розв’язанні системи диференціальних рівнянь її, як правило, намагаються звести до одного рівняння. Відповідно до цього поведінку плазми можна описувати, наприклад, полями концентрації, швидкості або густини струму.

В багатьох випадках (космос, лабораторна плазма, магнітні пастки для термоядерного синтезу та ін.) плазма знаходиться в магнітному полі, яке істотно впливає на рух частинок у напрямках, перпендикулярних до цього поля. З іншого боку, як уже зазначалося, зміна магнітного поля тісно пов’язана з рухом плазми.

Ідея магнітогідродинамічного опису первісно була висунута шведським фізиком Х.Альвеном (Hannes Alfven, 1908-1995) для опису космічної плазми і полягала в тому, щоб описувати динаміку плазми через магнітні поля.

Відповідно до цього спробуємо виключити з рівнянь однорідинної магнітної гідродинаміки (2.83)-(2.87) електричне поле та густину струму.

Плазма має добру провідність, тому за законом Ома j =s E _*, де E _*= E +[ v ´ B ]/c – електричне поле в системі відліку, яка рухається разом з плазмою. Тоді

. (2.88)

Підставивши це співвідношення до другого з рівнянь (2.80) і виключивши j за допомогою першого з рівнянь (2.87), отримаємо:

. (2.89)

Але з урахуванням останнього з рівнянь (2.87)

, (2.90)

тому остаточно отримаємо:

. (2.91)

Рівняння магнітної гідродинаміки (2.91) добре описує великомасштабний рух у плазмі, якщо анізотропія функції розподілу частинок несуттєва.

Якщо провідність плазми достатньо велика, другим доданком у правій частині можна знехтувати, і ми приходимо до наближення ідеальної магнітної гідродинаміки, в якій дисипація повністю відсутня. В цьому наближенні рівняння (2.91) набуває вигляду

. (2.92)

2.4.4. Вмороженість магнітного поля в плазму

Розберемо більш детально властивості плазми, описуваної рівнянням ідеальної магнітної гідродинаміки (2.92).

Розглянемо замкнений контур L, що рухається разом із плазмою (рис. 2.7). Введемо магнітний потік Ф через поверхню S, напнуту на цей контур. Оскільки div B =0, тобто магнітні силові лінії ніде не починаються і не закінчуються, величина F визначається лише контуром L і не залежать від форми поверхні, напнутої на нього.

Рис. 2.7. До аналізу вмороженості магнітного поля в плазму

Зміна DФ магнітного потоку за час Dt складає величину

(2.93)

(штрих відповідає моменту часу t+Dt). За поверхню S¢, напнуту на контур L¢, в силу сказаного раніше можна взяти поверхню S плюс бічну поверхню DS циліндра, побудованого на поверхні S як на основі: S¢=S+DS. Тоді

(2.93 а)

(враховано, що DS~Dt, B¢=B+O(Dt), тому при заміні B¢ на В у виразі для DФ₂ ми втратили доданок лише другого порядку мализни).

Обрахуємо окремо величини DФ₁ та DФ₂.

. (2.94)

Оскільки елемент бічної поверхні DS можна записати як

,

де d l – елемент контуру L (див. рис. 1.8), то з урахуванням відомого співвідношення для мішаного добутку трьох векторів (a ×[ b ´ c ])=–(c ×[ b ´ a ]) та теореми Гріна можна записати:

. (2.95)

Отже,

, (2.96)

оскільки в силу (2.92), підінтегральний вираз дорівнює нулю. Тут враховано, що швидкість v, з якою рухається контур, збігається зі швидкістю плазми, яка входить до рівняння (2.92). Таким чином, F=const.

Це означає, що силові лінії магнітного поля ніби приклеєні до ідеально провідної рідини. Коли йдеться про плазму в магнітному полі, говорять, що магнітне поле вморожене в плазму.

Вмороженість магнітного поля суттєво спрощує картину динаміки цього поля при русі ідеальної плазми.

Повернемося тепер до повного рівняння (2.91). Якщо не зважати на перший доданок у правій частині (це буде справедливим, якщо плазму вважати нерухомою), це рівняння аналогічне до рівняння дифузії:

. (2.91 а)

Йдеться про дифузійне розпливання поля в провіднику (в даному разі – в плазмі) внаслідок скінченої провідності. Коефіцієнт дифузії магнітного поля складає величину D_m=c²/4ps.

Як відомо, характерний час становлення однорідного розподілу в результаті дифузії можна записати як t=L²/D_m, де L – характерний розмір неоднорідності магнітного поля. Тоді можна сказати, що дифузією магнітного поля в плазмі можна знехтувати на проміжках часу, значно менших від t. Очевидно, це й буде умовою застосовності моделі ідеальної магнітної гідродинаміки, а, отже, і умовою застосовності моделі вмороженості магнітного поля в плазму.

2.4.5. Застосовність моделі однорідинної гідродинаміки

Ми вже відзначали, що рівняння однорідинної гідродинаміки застосовні в тому випадку, коли спрямовані швидкості електронів та іонів відрізняються мало. Отримаємо цей результат більш формально, спираючись на рівняння дворідинної гідродинаміки.

Нехай провідність плазми дуже велика. Тоді узагальнений закон Ома набуває вигляду

. (2.84 а)

Звідси при T_e(r)=const маємо:

(2.97)

(враховано, що p_e=nk_BT).

Підставимо вираз (2.97) до закону електромагнітної індукції (друге з рівнянь (2.87)). Оскільки rot grad j=0, отримаємо:

. (2.98)

З цього рівняння, як ми вже знаємо, випливає вмороженість поля в електронну рідину (див. п. 1.5.2). В однорідинному наближенні до формули (2. 83) входила швидкість плазми v (фактично – швидкість іонів), а не швидкість електронів v _e. Отже, помітного розходження між одно- та дворідинною гідродинамікою можна чекати, коли v _i та v _e сильно відрізняються.

Контрольні питання до підрозділу 2.4

1. Які припущення використовуються при записі рівнянь магнітної гідродинаміки?

2. Які ефекти описує основне рівняння магнітної гідродинаміки?

3. В чому полягає відмінність між ідеальною та неідеальною магнітною гідродинамікою?

4. За яких умов можна говорити про вмороженість магнітного поля в плазму? В чому полягає це явище?

5. Які фізичні причини обумовлюють явище вмороженості магнітного поля в плазму?

6. У чому полягає відмінність дворідинної магнітної гідродинаміки від однорідинної?

7. За яких умов слід користуватися дворідинною магнітною гідродинамікою замість однорідинної?

8. Які варіанти гідродинамічного наближення використовувалися в пп.2.1.2-2.1.3 для розрахунку ленгмюрівської частоти та дебаївського радіусу?

Задачі до підрозділу 2.4

1. Як в ідеальній гідродинаміці пов’язані між собою характерний час та характерна довжина зміни магнітного поля?

2. Отримайте кількісний критерій величини провідності плазми, за виконання якого можна користуватися рівняннями ідеальної магнітної гідродинаміки.

3. Запишіть рівняння руху плазми для дворідинної гідродинаміки з урахуванням ненульової маси електронів. Як у цьому випадку запишеться швидкість плазми як цілого?

4. Запишіть узагальнений закон Ома з урахуванням ненульової маси електронів.

[1] Гіпотетичний стан матерії, що характеризується сильною взаємодією. В цьому стані кольорові кварки (частинки зі спіном 1/2, зарядом ±2/3 або ±1/3 та специфічною характеристикою – так званим кольором) та глюони (частинки, що забезпечують взаємодію кварків між собою), звичайно зв’язані в адрони (до адронів належать усі баріони, в тому числі протони й нейтрони, а також мезони), вивільнюються й можуть рухатись як квазівільні частинки по всьому об’єму плазмової матерії (подібно до електронів у напівпровіднику). Кварк-глюонна плазма характеризується "кольоропровідністю" (аналог електропровідності в електрон-іонній плазмі). Вважають, що така плазма існувала в перші 10^-5 с після космологічного вибуху.

[2] На честь американського фізика та хіміка І.Ленгмюра (Irving Langmuir, 1881 –1957), засновника сучасної фізики плазми.

[3] Ця умова буде обов’язково виконана, якщо теплова енергія електронів значно перевищить потенціал іонізації.

[4] Нагадаємо, що енергія в 1 еВ відповідає температурі 1.16×10⁴ К.

[5] Наприклад, для електрона g_e=2 (дві можливі орієнтації спінів). Для атомів усіх інертних газів g_a=1, для іонів цих самих газів g_і=6. Для лужних металів g_a=2, g_і=1.

[6] Див. нижче пп. 4.1.1, 4.2.1.

[7] Традиційно говорять саме про рідини та гідродинаміку, хоча правильніше було б говорити про гази та відповідно про газодинаміку.

[8] Нагадаємо, що наближення однорідинної гідродинаміки застосовне лише для опису достатньо повільних у часі процесів. Кількісне порівняння струмів провідності та зміщення в гармонічному електричному полі див. нижче, п. 5.1.1.

Дата добавления: 2015-12-08