Кінетичний опис плазми

Поведінку плазми можна описувати різними способами. Найбільш повним (але й найбільш складним) є кінетичний опис за допомогою функції розподілу. У цьому розділі ми розглянемо деякі загальні поняття, що стосуються кінетичного опису плазми.

2.3.1. Одночастинкова функція розподілу

Точний опис системи, що складається з багатьох частинок, дає така звана мікроскопічна функція розподілу частинок (мікроскопічна густина):

, (2.32)

де сума береться по всіх частинках. Ця функція розподілу визначена в шестивимірному фазовому просторі і відмінна від нуля лише в точках, що відповідають стану окремих частинок.

Мікроскопічний стан плазми цілком визначено, якщо в даний момент часу t визначено мікроскопічну густину для кожного сорту частинок (тобто, по суті, положення і швидкість кожної з частинок) та мікрополя E і B в будь-якій точці простору.

Насправді поведінку плазми характеризують макроскопічні величини. Їх із достатньою точністю можна одержати в межах статистичного опису.

Статистичний підхід до опису багаточастинкової системи полягає в тому, що для знаходження координат і імпульсів усіх частинок системи в деякий момент часу розглядається сукупність таких систем, які відрізняються лише мікроскопічними станами частинок, і вивчається розподіл систем за різними мікроскопічними станами (підхід запропонований Дж. Гіббсом).

Для опису розподілу систем за станами вводять так звану функцію розподілу Ліувілля у фазовому просторі для відповідного числа частинок. Функція розподілу Ліувілля для системи з N частинок залежить від координат і швидкостей усіх N частинок:

, (2.33)

де x_i={ r _i, v _i}. Таким чином, функція розподілу Ліувілля визначена в 6N-вимірному просторі, кожна точка якого відповідає певному мікроскопічному стану системи. На відміну від мікроскопічної функції розподілу, функція розподілу Ліувілля відмінна від нуля не в окремих точках, а в деякій області.

Якщо частинки тотожні, тобто йдеться про газ, утворений однаковими атомами чи молекулами, то функція розподілу Ліувілля симетрична щодо перестановки координат і швидкостей окремих частинок. Саме про такий газ з однакових частинок йтиметься нижче.

Функція Ліувілля нормована на одиницю:

. (2.34)

Функція Ліувілля визначає ймовірність того, що стан системи відповідає певній точці в 6N-вимірному фазовому просторі (по осях якого відкладені координати та компоненти швидкостей усіх частинок). Іншими словами, величина D_N(x₁,x₂,...x_N)dx₁dx₂...dx_N визначає ймовірність того, що стан системи відповідає елементу фазового об’єму dx₁dx₂...dx_N із центром у точці x₁,x₂,...x_N.

Багаточастинкова функція розподілу для S частинок (S<N) визначається інтегруванням розподілу Ліувілля відповідне число разів:

(2.35)

(відзначимо, що при S<<N коефіцієнт перед інтегралом набуває вигляду N!/(N-S)!»N^S).

Багаточастинкова функція f_S містить всю ту саму інформацію, що й f_S-1, плюс деяку додаткову інформацію. Максимальну інформацію про ансамбль містить функція Ліувілля, для якої S=N.

При з (2.35) отримуємо так звану одночастинкову функцію розподілу:

. (2.36)

Одночастинкова функція розподілу нормована на повне число частинок:

(2.37)

Якщо частинки не взаємодіють, то будь-яка багаточастинкова функція розподілу може бути записана як добуток одночастинкових функцій:

(2.38)

В цьому випадку для статистичного опису поведінки системи достатньо знати одночастинкову функцію розподілу.

Повернемося до позначення f(r, v,t) замість f(x,t).

Інтегрування одночастинкової функції розподілу дає макроскопічні характеристики ансамблю. Зокрема, інтеграл

(2.39)

визначає концентрацію частинок, інтеграл

(2.40)

– густину потоку частинок, а інтеграл

(2.41)

– середнє значення будь-якої фізичної величини j(r, v,t).

Одночастинкова функція розподілу використовується для опису безструктурних частинок, кожна з яких має 3 ступені вільності та рухається відповідно до законів класичної механіки. Для практичного використання одночастинкової функції розподілу необхідно знати рівняння, що описує її зміну в просторі з часом.

Якщо ансамбль складається з частинок різних сортів, то вводять функції розподілу f_a для кожного сорту частинок a (наприклад, електронів, іонів та нейтральних атомів у плазмі).Тоді формули (2.34)-(2.41) визначають величини, які характеризують певний сорт частинок.

2.3.2. Кінетичне рівняння

Отримаємо тепер рівняння, з якого можна визначити одночастинкову функцію розподілу. Розглянемо спершу найпростіший випадок ідеального газу, який містить частинки лише одного сорту, що не взаємодіють між собою. Така модель описує сильно розріджений газ на невеликих проміжках часу.

Зміна функції розподілу з часом у проміжках між зіткненнями частинок визначається з умови:

. (2.42)

Розпишемо повну похідну за часом у (2.42):

(2.43)

(похідні df/d r та df/d v позначають градієнти функції f відповідно в просторі координат та в просторі швидкостей).

Рівняння (2.43) можна переписати у формі

(2.43 а)

та інтерпретувати як рівняння неперервності в шестивимірному фазовому просторі.

Відповідно до другого закону Ньютона

, (2.44)

де F – сила, що діє на частинку, тому (2.43) можна переписати у формі

. (2.45)

В розріджених газах нейтральних частинок за відсутності зовнішніх полів (наприклад, у невагомості) можна вважати, що F =0. В плазмі силовий доданок необхідно враховувати – він описує взаємодію частинок через електромагнітне поле: тому для неї можна записати, що (детальніше див. нижче п. 2.3.7).

2.3.3. Елементарний акт пружного зіткнення

Повернемося до моделі газу незаряджених частинок. У реальному газі при невеликих тисках взаємодія між частинками відбувається, в першу чергу, у формі зіткнень, які в найпростіших випадках можна вважати пружними.

Щоб врахувати зміну функції розподілу за рахунок зіткнень, у праву частину (2.45) слід дописати доданок, який враховує їхній вплив – так званий інтеграл зіткнень I{f}:

(2.46)

Перш ніж приступити до розрахунку інтегралу зіткнень, який входить до цього рівняння, розглянемо зіткнення двох частинок з масами m₁ і m₂ та початковими швидкостями v ₁ та v ₂. Швидкості частинок після зіткнення складають відповідно v ₁¢ та v ₂¢ (рис. 2.6).

Рис. 2.6. Пружне зіткнення двох частинок

В системі відліку, пов’язаній з першою частинкою, закони збереження мають вигляд (з урахуванням того, що в цій системі v ₁=0):

, (2.47)

. (2.48)

Покажемо, що в такій системі після зіткнення зберігається абсолютна величина відносної швидкості частинок, тобто | v ₂|=| v ₁¢– v ₂¢|. Піднесемо рівняння (2.47) до квадрату і поділимо на 2m₂:

. (2.49)

Віднімемо (2.48) від (2.49):

. (2.50)

Звідси

. (2.51)

Нарешті, поділимо (2.49) на m₂/2 і підставимо в праву частину вираз (2.51) замість m₁/m₂. Отримаємо:

. (2.52)

У лівій частині стоїть, по суті, квадрат відносної швидкості частинок до зіткнення (нагадаємо, що одна з них була нерухомою), а в правій – та сама величина після зіткнення. Таким чином, в процесі розсіювання відносна швидкість (позначимо її через u) зберігає свою абсолютну величину і лише змінює напрямок на деякий кут q – так званий кут розсіювання.

2.3.4. Розрахунок інтегралу зіткнень

Перейдемо безпосередньо до розрахунку інтегралу зіткнень, розглядаючи, як і раніше, газ однакових частинок. Вважатимемо його достатньою мірою розрідженим, що, як уже вказувалося, дозволяє обмежитися врахуванням лише парних зіткнень.

Скористаємось відомим з курсу фізичної електроніки поняттям диференціального перерізу розсіювання q_qj, який пов’язує абсолютну густину потоку падаючих частинок J і кількість частинок dN₁, розсіяних одним розсіювальним центром в елемент просторового кута :

. (2.53)

Визначимо кількість частинок, що вибувають з елементу d v простору швидкостей за одиницю часу внаслідок пружного розсіювання.

Густина потоку частинок зі швидкістю v₁, що розсіюються на деякій іншій частинці того самого сорту, яка рухається зі швидкістю v₂, в системі відліку, пов’язаній з розсіювальним центром, буде

(2.54)

(тут u=v₁-v₂ – відносна швидкість розсіяної частинки щодо розсіювального центру). Відповідно в елемент просторового кута розсіюється від одного центру розсіювання

(2.55)

частинок зі швидкостями в інтервалі [ v₁, v₁ +d v₁ ].

Кількість центрів розсіювання, тобто частинок зі швидкістю в інтервалі [ v₂, v₂ +d v₂ ], складає величину

(2.56)

Тоді повна кількість частинок, що вибувають з елементу d v₁ простору швидкостей за одиницю часу, визначається інтегралом

(2.57)

Міркуючи абсолютно аналогічно, можна записати кількість частинок, що надходять до елемента d v₁¢ простору швидкостей за одиницю часу в результаті зіткнень:

(2.58)

де тильдою позначені швидкості частинок після зіткнення.

Оскільки за теоремою Ліувілля

,

то інтеграл зіткнень можна подати в формі:

, (2.59)

де індекси 1,2 і штрих при f відповідають тим самим символам у аргументу v. Нагадаємо, що v₁ та v₂ – це швидкості відповідно розсіяних частинок та розсіювальних центрів до (без штриха) та після (з штрихом) зіткнення.

Диференціальний переріз розсіювання q_qj знаходиться з розв’язку задачі розсіювання двох частинок за методами класичної або квантової механіки. Він залежить від модуля відносної швидкості u та кута розсіювання q.

Інтегрування в (2.62) виконується в просторі v₂ з урахуванням законів збереження імпульсу та енергії, тобто швидкості частинок після зіткнення подаються через v₁ та v₂. Інтеграл зіткнень залежить від v₁ як від параметра.

Інтеграл зіткнень у формі (2.59) називають інтегралом зіткнень Больцмана, а рівняння (2.46) з правою частиною у формі (2.59) – кінетичним рівнянням Больцмана.

2.3.5. Рівноважна функція розподілу: статистика Максвелла

Оскільки рівноважним може бути тільки однорідний газ, рівноважна функція розподілу не може залежати від координат. До того ж рівноважний стан є стаціонарним, отже, відповідна функція розподілу не може залежати від часу. Таким чином, для рівноважного розподілу f⁽⁰⁾(v) кінетичне рівняння Больцмана набуває вигляду

, (2.46 а)

де явний вигляд інтегралу зіткнень дається формулою (2.59).

Достатня умова справедливості рівняння (2.46 а) має вигляд

. (2.60)

Прологарифмувавши його, отримаємо:

. (2.60 а)

Отже, сума логарифмів функцій розподілу має зберігатися при зміні їхніх аргументів, спричиненому пружними зіткненнями частинок. З іншого боку, при таких зіткненнях мають виконуватися закони збереження імпульсу та енергії:

, (2.47 а)

. (2.48 а)

Тоді умова (2.60 а) буде автоматично задовольнятися, якщо функція розподілу буде пов’язана з енергією та імпульсом частинки співвідношенням

, (2.61)

де – довільні константи.

Увівши замість констант інші константи – концентрацію частинок сорту , температуру і середню швидкість , рівноважну одночастинкову функцію розподілу для частинок сорту a (електронів, іонів, нейтральних атомів) можна записати як функцію вектора швидкості у формі

. (2.62)

Формула (2.62) визначає рівноважний розподіл частинок за швидкостями, або розподіл Максвелла.

2.3.6. Кінетичне рівняння Больцмана і t-наближення для інтегралу зіткнень

Кінетичне рівняння Больцмана

(2.63)

є інтегро-диференціальним та нелінійним. Для просторово необмежених систем його слід доповнити початковою умовою, задавши значення f(r, v, t=0), а для просторово обмежених – ще й граничними умовами. Крім того, в усіх випадках має виконуватись умова f(r, v, t)®0 при v®¥.

В загальному випадку побудувати розв’язок кінетичного рівняння Больцмана (2.63) не вдається через складність інтегралу зіткнень. Для спрощених обчислень можна використати модельну форму I{f} у так званому t-наближенні.

Нехай слабко неідеальний газ має функцію розподілу, яка мало відрізняється від рівноважної:

, . (2.64)

Підставимо (2.64) до (2.62) і обмежимося доданками, лінійними по f₁:

(2.65)

(враховано, що I{f⁽⁰⁾}=0).

Для оцінки інтегралу зіткнень (2.65) за порядком величини винесемо з-під знаку інтегралу швидкість u зі значенням v_T. Врахуємо, що інтегрування диференціального перерізу q_qj по всіх тілесних кутах дає повний переріз розсіювання q. Нарешті, винесемо з-під знаку інтегралу мале збурення df. З урахуванням умови нормування (2.42) отримаємо таку оцінку для інтегралу зіткнень:

, (2.66)

де

(2.66 а)

– повний переріз зіткнень,

(2.67)

– середній час між двома зіткненнями тієї самої частинки.

Розглянемо просторово однорідний газ за відсутності зовнішніх сил. Тоді в t-наближенні кінетичне рівняння Больцмана (2.63) набуває вигляду:

, (2.68)

звідки

. (2.69)

Як бачимо, час t є характерним часом релаксації збуреної функції розподілу до її рівноважного значення. Цей час інколи називають часом максвеллізації.

2.3.7. Самоузгоджене поле в плазмі. Рівняння Власова

З умови ідеальності плазми (2.26) випливає, що середня відстань між частинками в ідеальній плазмі має бути набагато меншою від дебаївського радіусу. Це означає, що, з одного боку, в силу ідеальності плазми взаємодія між зарядженими частинками є слабкою, а з іншого боку, кількість частинок, які відзначають вплив електричного поля будь-якого пробного заряду, є великою. Таким чином, у плазмі, на відміну від нейтрального газу, колективна взаємодія частинок через електричне поле є суттєвою.

Точні мікроскопічні поля, що діють на заряджену частинку в ідеальній плазмі, можна подати як суми:

, , (2.70)

де d Е та d В – випадкові флуктуаційні поля, що зумовлюють зміни руху частинок, пов’язані з парними зіткненнями, а Е і В – це макроскопічні поля, тобто значення полів, усереднені за областями з розміром d таким, що

. (2.71)

Кінетичні рівняння для кожного сорту заряджених частинок у плазмі можна записати у формі (пор. з кінетичним рівнянням Больцмана (2.63) для газу)

, (2.72)

де f_a – функція розподілу частинок сорту a (в найпростішому випадку повністю іонізованої плазми з іонами одного сорту a=i, e), І_ab – інтеграл зіткнень частинок сорту a з частинками сорту b (І_aa відповідає зіткненням однакових частинок між собою), F _a – сила, що діє на частинку сорту a з боку електромагнітного поля:

. (2.73)

Якщо плазма досить розріджена, то кореляціями між положеннями окремих частинок можна знехтувати. Оскільки парні зіткнення означають наявність парних кореляцій, то нехтування кореляціями означає нехтування зіткненнями. Тоді кінетичні рівняння для заряджених частинок різних сортів набувають вигляду

. (2.74)

Макроскопічні поля Е і В визначаються з рівнянь Максвелла:

; ; (2.75)

; .

Густини зарядів і струмів, що входять до рівнянь Максвелла, в свою чергу, визначаються координатами та швидкостями заряджених частинок, тобто можуть бути записані через відповідні функції розподілу:

; (2.76)

. (2.77)

Тому поля, що визначаються з рівнянь (2.75), часто називають самоузгодженими.

Рівняння (2.74)–(2.77) утворюють замкнену систему – так звану систему рівнянь Власова.

Необхідна умова застосовності рівнянь Власова зводиться до того, що ефективна частота зіткнень n має бути малою порівняно з частотою коливань самоузгодженого поля w (w>>n), або середня довжина вільного пробігу l_f має бути великою в порівнянні з довжиною хвилі l. Оскільки l_f ~v_Te/n, а l~1/k, то остання умова набуває вигляду n<<kv_Te.

Рівняння Власова інваріантні щодо заміни t на -t, тобто вони не можуть описувати наближення системи до стану термодинамічної рівноваги.

Контрольні питання до підрозділу 2.3

1. Порівняйте між собою розподіл Ліувілля, одночастинкову та багаточастинкову функції розподілу за ступенем інформативності.

2. Для яких типів частинок можна використовувати одночастинкову функцію розподілу?

3. Якому рівнянню задовольняє одночастинкова функція розподілу? З яких міркувань можна отримати це рівняння?

4. Що таке інтеграл зіткнень? Які форми його запису Вам відомі? Чому він дорівнює для максвеллівського розподілу?

5. Який зміст вкладається в поняття самоузгодженого поля в плазмі?

6. Чому в кінетичному рівнянні Власова відсутній інтеграл зіткнень?

7. Які умови застосовності рівнянь Власова?

8. Чи можна за допомогою рівнянь Власова описати процес максвеллізації?

Задачі до підрозділу 2.3

1. Записати інтеграл зіткнень електронів з іонами (плазма повністю іонізована, всі іони однакові).

2. Записати повний інтеграл зіткнень для електронів у частково іонізованій плазмі. Всі нейтральні атоми однакові, всі іони утворені шляхом однократної іонізації цих атомів.

Дата добавления: 2015-12-08