Вплив скінченої провідності плазми на її утримання магнітним полем

Скінчена провідність плазми, обумовлена наявністю зіткнень електронів та іонів, як ми бачили, порушує ідеальну вмороженість магнітного поля в плазму. Перш за все, це приводить до повільної дифузії плазми перпендикулярно до магнітного поля (див. вище пп. 3.4.2-3.4.9) та/або до проникнення такого поля в плазму (див. вище п.2.4.4).

В результаті врахування скінченої провідності плазми виникають також нові типи нестійкостей, що мають характер повільного проникнення плазми через магнітні бар’єри. Такі нестійкості дістали назву дисипативних.

У цьому підрозділі ми розглянемо основні типи дисипативних нестійкостей – “гравітаційну” нестійкість, пересполучення магнітних силових ліній та дрейфову нестійкість.

4.4.1. „Гравітаційна” нестійкість

Один із можливих типів нестійкості плазми з ненульовим опором обумовлений внутрішньою енергією плазми, яка витрачається на її розширення, як це має місце при виникненні жолобкової нестійкості в ідеальній магнітній гідродинаміці (нагадаємо, що такі нестійкості належать до класу універсальних). Але, на відміну від ідеальної магнітної гідродинаміки, рух плазми з невеликою провідністю мало збурює магнітне поле. Електричне поле, що виникає при цьому, виявляється чисто потенціальним (Е=–Ñj). Прикладом нестійкостей такого типу є так звана „гравітаційна” нестійкість.

Нагадаємо, що за умови вмороженості поля в плазму (при b<<1, коли магнітний тиск значно перевищує газокінетичний) деформації, що виникають, орієнтовані строго вздовж магнітного поля (жолобкова нестійкість, див. п. 4.3.2). Якщо вважати збурення гармонічним, сказане означає, що відповідний хвильовий вектор орієнтований перпендикулярно до поля, k ^ B. При врахуванні скінченої провідності плазми можуть виникнути збурення з ненульовою поздовжньою (щодо магнітного поля) компонентою хвильового вектора. В обох випадках нестійкість виникає, коли поле зменшується в напрямку зменшення густини плазми.

Для спрощення аналізу замість сили, обумовленої діамагнетизмом плазми й неоднорідністю магнітного поля (див. пп. 4.2.4, 4.3.4), зручно взяти деяку ефективну силу, а поле вважати однорідним. Такою ефективною силою може бути сила ваги, звідки й походить термін „гравітаційна” нестійкість.

Нехай плоский шар плазми з концентрацією n(x) (dn/dx<0) знаходиться в сильному магнітному полі, паралельному до осі z, B = e _zB. Сила ваги, що моделює вплив неоднорідного магнітного поля, спрямована вздовж осі х.

Нехай у плазмі виникла флуктуація густини в площині yz, n₁~exp(ik_yy+ik_zz). При цьому на поверхнях рівної густини плазми з’являться збурення, паралельні осі х. Можна сказати, що сусідні шари плазми зсунуться в різні боки паралельно осі х (див. рис. 4.16).

Рис. 4.16. До пояснення “гравітаційної” нестійкості.

Пі дією сили ваги, паралельної осі х, і магнітного поля, паралельного до осі z, виникне дрейф (див. вище п. 4.1.1) у напрямку y, що залежить від знаку зарядів. В однорідній по y плазмі розділення зарядів при цьому не виникне. Але збурення n₁ приведе до поляризації шарів, паралельних до осі х, і утворення на їхніх межах об’ємних зарядів. Величина цих об’ємних зарядів залежить від провідності, бо їх частково компенсує струм, паралельний магнітному полю.

Поле Е, що лежить у площині , разом із полем В, паралельним z, в свою чергу породжують дрейф у схрещених полях у напрямку х. Оскільки в сусідніх шарах напрямок електричного поля, а, отже, й дрейфова швидкість спрямовані в протилежні боки, то початкова флуктуація густини підсилюється, і цим замикається кільце позитивного зворотного зв’язку, який забезпечує розвиток нестійкості.

Як показує розрахунок, інкремент такої нестійкості визначається формулою

, (4.27)

де

, .

«Гравітаційна» нестійкість нерідко спостерігається в тороїдальних магнітних пастках. У такому випадку роль ефективного прискорення вільного падіння відіграє величина

, (4.28)

де р – тиск плазми, r – її масова густина, R – радіус кривини силової лінії магнітного поля. Фактично відповідна сила обумовлена відцентровим прискоренням при русі плазми вздовж викривлених магнітних силових ліній. Розвиток «гравітаційної» нестійкості призводить до того, що зовнішня межа плазми стає порізаною, і язики плазми можуть бути викинуті на стінки камери.

Якщо в плазмі вздовж магнітного поля тече струм і існує перпендикулярний до магнітного поля градієнт температур, то може виникати так звана струмово-конвективна нестійкість, що також породжує косі деформації в плазмі (пор. з рис. 4.16). Але в ній головну роль відіграють збурення не густини, а температури та електропровідності.

4.4.2. Пересполучення магнітних силових ліній

Властивість вмороженості силових ліній магнітного поля в плазму, здавалося б, має гарантувати збереження їхньої топології при складному русі плазми. Але насправді так буває не завжди.

Інколи силові лінії з різними напрямками можуть підходити досить близько одна до одної, майже дотикаючись (рис. 4.17 а). При подальшому русі силові лінії можуть розійтися з попередньою топологією, а можуть і „пересполучитись” (рис. 4.17 б).

а	б
Рис. 4.17. Пересполучення магнітних силових ліній.

Скінченність провідності плазми приводить до того, що для пересполучення не потрібен дотик силових ліній, а досить їх тісного зближення. Сам факт такого зближення означає, що в цій області протікає сильний струм (в силу граничної умови [ n ´(H _t1- H _t2)]=4p j _surf/c). Таким чином, при пересполученні скінчена провідність „спрацьовує” лише в малих областях з великою густиною струму. Але при цьому може істотно змінитися топологія силових ліній, що може вплинути на рух плазми в цілому.

Справді, пересполучення породжує сильно вигнуті силові лінії. Це, в свою чергу, породжує сили, що діятимуть з боку магнітного поля на плазму, прискорюючи її (рис. 4.17 б).

Ефект пересполучення магнітних силових ліній породжує специфічну нестійкість плазми – так звану нестійкість тірінг-моди, або розривну нестійкість (від англійського слова tearing – розрив).

Найпростіший варіант тірінг-нестійкості реалізується в плоскій моделі, де відбувається збурення рівноваги плазми в так званому нейтральному шарі. Нехай тиск плазми досягає максимуму в площині х=0, а магнітне поле, паралельне z, дорівнює нулю при х=0 і зростає по обидва боки від площини x=0 з характерним масштабом D, причому напрямки поля в областях x<0 і x>0 протилежні. Таке поле повинно підтримуватися струмом, паралельним до осі y (рис. 4.18 а-б).

В системі первісно однорідний по z струм розбивається на окремі „жмути”. Це супроводжується пересполученням магнітних силових ліній і відповідним зменшенням магнітної енергії системи (рис. 4.18 в). Останній ефект можна розглядати як причину виникнення цієї нестійкості.

В розрахунку збурення швидкості електронів та магнітного поля обираються у формі exp(iwt–ikz). В результаті можна отримати такий вираз для інкременту нестійкості:

, (4.29)

де r та s – відповідно масова густина та провідність плазми.

а	в
б	Рис. 4.18. Тірінг-нестійкість: початкова (а, б) та кінцева (в) конфігурація струму та магнітного поля.

Можна показати, що існує повна аналогія між розглянутою задачею з плоскою геометрією і задачею про рівновагу плазми в гвинтовому магнітному полі з широм (див. вище п. 4.3.5). Роль нейтральної площини в останньому випадку відіграє магнітна поверхня, на якій крок гвинта лінії магнітного поля збігається з кроком гвинта збурення[5].

Оскільки джерелом енергії, що витрачається на розвиток тірінг-нестійкості, виступає зміна конфігурації магнітного поля, то ця нестійкість належить до класу конфігураційних.

4.4.3. Дрейфова нестійкість плазми

Як уже вказувалося, рівняння однорідинної магнітної гідродинаміки не справджуються, коли швидкості електронної та іонної рідин помітно відрізняються (див. п. 2.4.5). Саме така ситуація реалізується для так званих дрейфових хвиль у неоднорідній плазмі в магнітному полі.

Розглянемо спочатку плоску модель, у якій градієнт концентрації плазми спрямований уздовж осі у, тобто n₀=n₀(y), а магнітне поле – вздовж осі z (рис. 4.19 а), причому Т_е>>Т_і. Нехай до того ж концентрація плазми збурена в напрямку х: n₁~exp(iwt-ik_xx). Збурення концентрації плазми породжують збурення тиску електронів: Dp_e=k_BT_eDn_e, а збуреннями іонного тиску можна знехтувати в силу умови Т_е>>Т_і. Під дією градієнту тиску електронні збурення будуть розсмоктуватися. При цьому електронейтральність плазми порушиться, і виникне потенціальне електричне поле (рис. 4.19 б), як це має місце при амбіполярній дифузії плазми (пор. з п. 3.4.1). Зв’язок збурення електронної густини з потенціалом можна записати у формі

(4.30)

(при цьому, очевидно, має виконуватись умова ).

У схрещених електричному та магнітному полях полі заряди починають дрейфувати в напрямку у зі швидкістю v_y=cE_x/B. В результаті збурення зсувається вздовж осі у. Але, оскільки плазма неоднорідна по у, такий зсув буде приводити до зміни концентрації в часі: з рівняння неперервності для іонів

а	б
Рис.4.19. До пояснення природи дрейфових хвиль: а – взаємна орієнтація магнітного поля, градієнту концентрації плазми та хвильового вектора збурення; б – утворення потенціального електричного поля внаслідок розсмоктування електронного збурення.

випливає, що

(4.31)

(враховано, що збурення концентрацій електронів та іонів відрізняються мало).

З урахуванням явного вигляду дрейфової швидкості v_y=cE_x/B можна записати:

(4.32)

(електростатичний потенціал виключений за допомогою співвідношення (4.30)).

Ввівши характерний розмір неоднорідності плазми L з умови

(4.33)

і підставивши (4.33) до (4.32), дістанемо дисперсійне співвідношення для дрейфових хвиль:

. (4.34)

Цей результат справедливий при w<<w_ci.

Неоднорідність концентрації або температури плазми може привести до того, що дрейфові хвилі стануть нестійкими, тобто їхня амплітуда зростатиме з часом. Така нестійкість належить, очевидно, до числа універсальних.

Розвиток дрібномасштабних нестійкостей типу збудження дрейфових хвиль не приводить до негайного порушення рівноваги плазми. Але збудження дрейфових хвиль у широкому діапазоні частот приводить до того, що рух плазми набуває турбулентного харакетру. Турбулентність же спричиняє збільшення потоків частинок і тепла в напрямку, перпендикулярному магнітному полю, яке утримує плазму – так звану аномальну дифузію (див. вище, пп. 3.4.6, 3.4.8) та аномальну теплопровідність.

Контрольні питання до підрозділу 4.4

1. Поясніть якісно характер дифузії плазми в заданому магнітному полі.

2. Які фізичні причини визначають характер дифузії магнітного поля в плазмі?

3. Чим відрізняється “гравітаційна” нестійкість плазми від жолобкової?

4. В чому полягає ефект пересполучення магнітних силових ліній? Назвіть відомі Вам прояви цього ефекту.

5. За яких умов у плазмі виникають дрейфові хвилі? Коли вони можуть стати нестійкими?

6. Охарактеризуйте відомі Вам дисипативні магнітогідродинамічні нестійкості з точки зору того, звідки береться енергія на їхній розвиток.

Задача до підрозділу 4.4

1. У сусідніх областях повністю іонізованої водневої плазми існують протилежно спрямовані магнітні поля індукцією 1 кГс. Перехідний шар між цими областями має товщину 10 см. Концентрація плазми 10¹⁰ см^-3, температура – 100 еВ. За який час у системі розвинеться тірінг-нестійкість? Вважати, що просторовий період збурення межі є величиною порядку її товщини.

Дата добавления: 2015-12-08