Випромінювання електромагнітних хвиль у плазмі зарядженими частинками

Розглядаючи згасання ленгмюрівських та незвичайних хвиль у плазмі, ми вже обговорювали механізми втрати енергії хвилями за рахунок взаємодії з електронами плазми – згасання Ландау та циклотронне згасання. Однак у процесі такої взаємодії енергія може переходити і від частинок до хвиль. Цей ефект може мати місце як для однієї частинки, так і для ансамблю таких частинок.

У цьому розділі ми розглянемо випромінювання хвиль окремими зарядженими частинками – так зване черенковське випромінювання і циклотронне випромінювання. Іншими механізмами випромінювання окремих заряджених частинок у плазмі є гальмівне випромінювання, що детально розглядалося в курсі фізичної електроніки, та перехідне випромінювання, яке має місце при рівномірному русі частинки в неоднорідному середовищі.

5.4.1 Черенковське випромінювання

Обговорюючи механізм згасання Ландау, ми вже згадували, що умовою ефективної взаємодії хвиля-частинка є рівність фазової швидкості хвилі вздовж траєкторії частинки та швидкості руху частинки, в результаті чого остання взаємодіє з полем хвилі у сталій фазі. Цю умову можна подати у вигляді w/k_z=v₀, або w=k_zv₀, де k_z – компонента хвильового вектора, паралельна до швидкості частинки v ₀.

Якщо |k_z|<k, то синхронна взаємодія частинка-хвиля можлива лише тоді, коли швидкість частинки v₀ перевищує фазову швидкість хвилі w/k. Саме ця умова і є умовою виникнення черенковського випромінювання.

Якісно явище черенковського випромінювання можна зрозуміти, розглядаючи фронт електромагнітної хвилі, яка утворюється при інтерференції хвиль, випромінюваних у різних точках простору зарядженою частинкою, що рухається. Якщо v₀<w/k, то поле, створене частинкою в попередній момент часу, завжди її випереджає (рис. 5.13 б).

Якщо ж v₀>w/k, частинка випереджає своє випромінювання (рис. 5.13 в), і в результаті інтерференції сферичних фронтів утворюється фронт у формі конічної поверхні. Знайдемо кут її розкриву. Нехай час, за який частинка перейде з точки А в точку В (рис. 5.13 в), дорівнює t. Тоді

. (5.80)

Відзначимо, що кут між напрямком хвильового вектора (або фазової швидкості) збудженої хвилі та швидкістю частинки складає величину j=p/2–q, так що

, (5.81)

а	б	в
Рис. 5.13. Фронти випромінювання від точкового джерела: а – нерухомого (v0=0), б – v0<w/k, в – v0>w/k.

або

. (5.81 а)

Зокрема, при v₀=v_ph виходить q=p/2, j=0, тобто збуджувана хвиля поширюється паралельно до швидкості частинки.

В середовищі з часовою дисперсією (в тому числі й у плазмі) v_ph=v_ph(w). Тоді діапазон частот, у якому матиме місце черенковське випромінювання, визначається співвідношенням v_ph(w)>v₀.

Так, наприклад, для ленгмюрівських хвиль:

, (5.21 а)

звідки

, (5.82)

і умова появи черенковського випромінювання набуває вигляду

. (5.83)

Відзначимо, що за черенковським механізмом можуть випромінюватись не тільки електромагнітні, але й, наприклад, акустичні хвилі (приклад – конус Маха, що утворюється в газі при русі тіл із надзвуковими швидкостями).

В анізотропній плазмі картина черенковського випромінювання ускладнюється, оскільки величина фазової швидкості хвилі виявляється залежною від напрямку її поширення. Але умова черенковського резонансу w–k_zv₀=0 зберігається. На відміну від ізотропної, в анізотропній плазмі за черенковським механізмом можуть випромінюватися й електромагнітні хвилі (коли їхня фазова швидкість менша від с).

5.4.2. Циклотронне випромінювання

Як відомо з курсу електродинаміки, заряд q, що рухається з прискоренням, випромінює електромагнітні хвилі. Поле випромінювання (при v<<c) може бути подане у формі:

, . (5.84)

Тут прийнято, що заряд рухається вздовж траєкторії r = r ₀(t), так що r(r,t)=qd(r–r ₀(t)), j (r,t)=q v d(r–r ₀(t)), і введено позначення R = r–r ₀(t¢), t¢=t–R/c. Тут r ₀(t¢) – положення випромінювача, хвиля від якого в момент t прийшла в точку спостереження r, R/c – час запізнення.

Зрозуміло, що заряд, який обертається навколо силових ліній сталого магнітного поля, рухається з прискоренням d v /dt=(q/m)[ v ´ B ₀], і, отже, має випромінювати.

Спектр випромінювання знаходиться шляхом інтегрування полів випромінювання (5.84):

. (5.85)

Щоб виконати інтегрування в (5.85), слід підставити в явному вигляді залежність E (r,t) (5.84). При цьому зручно від змінної t перейти до змінної t¢. Після такої заміни під інтегралом отримаємо співмножник exp(-iwR/c), де R – миттєва віддаль від заряду до точки спостереження. Нехай спершу заряд рухається по колу, так що

, ,

де використано позначення w_c=qB₀/mc, R_L=mv_^c/qB₀.

У спектрі функції exp(-iw|R₀+x|/c) з’явиться не лише частота w_c, а також і її вищі гармоніки. Отже, випромінювання буде відбуватися на гармоніках циклотронної частоти.

Врахування руху електрона вздовж магнітного поля приведе до того, що за рахунок ефекту Допплера частоти випромінювання зсунуться:

, (5.86)

де b_//,^=v_//,^/c, v_//,^ – відповідно паралельна та перпендикулярна (щодо магнітного поля) компоненти швидкості частинки, j – кут між напрямком хвильового вектора збудженої хвилі (тобто, по суті, напрямком на точку спостереження) та напрямком сталого магнітного поля.

Циклотронне випромінювання називають також гіротронним або магнітогальмівним, а для високих енергій електронів, коли воно різко зростає – синхротронним.

Миттєві діаграми спрямованості циклотронного випромінювання для нерелятивістського та ультрарелятивістського електронів у вакуумі подані на рис.5.14 (a»arccos v/c – кут, що визначає ширину діаграми спрямованості).

а	б
Рис. 5.14. Діаграма спрямованості циклотронного випромінювання для нерелятивістського (а) та ультрарелятивістського (б) випадків.

Вважається, що циклотронне випромінювання ультрарелятивістських електронів є одним із джерел космічного випромінювання (високоенергетичних квантів).

5.4.3. Нормальний та аномальний ефект Допплера

Перепишемо формулу (5.86) для частоти циклотронного випромінювання у формі:

, (5.87)

де w_c^*=w_c(1–b²)^1/2 – допплерівська частота при j=0. Тоді (5.87) можна переписати у формі:

. (5.88)

Опустивши індекс n у w та врахувавши, що b_//=v_///c, w/с=k, можна записати, що

,

або

, (5.89)

де під v _// можна розуміти швидкість провідного центру – точки, навколо якої обертається заряджена частинка.

У такому вигляді формула для частоти випромінювання виявляється справедливою не тільки у вакуумі, але й у середовищі. При n=0 вона переходить у записану вище (п. 5.5.1) формулу для черенковського резонансу (5.81 а).

Можна показати, що при “досвітловому” русі вздовж магнітного поля, коли (k × v _//)/w<1, заряд, який обертається навколо силових ліній магнітного поля, витрачатиме кінетичну енергію обертового руху на випромінювання (v_^ зменшується). Справді, в такому випадку умова черенковського резонансу не може бути виконана, тому енергія на випромінювання може черпатися тільки за рахунок обертового руху. В цьому разі говорять про нормальний ефект Допплера. Йому відповідають додатні значення n у формулі (5.89).

При “надсвітловому” русі, коли (k × v _//)/w>1, випромінювання за черенковським механізмом, навпаки, супроводжується “розгойдуванням” циклотронних коливань (збільшенням v_^). В цьому випадку говорять про аномальний ефект Допплера. Йому відповідають від’ємні значення n у (5.89). Зрозуміло, що в цьому випадку має зменшуватися поздовжня компонента швидкості v_//.

Межею між областями нормального та аномального ефекту Допплера є випадок черенковського випромінювання (n=0).

Сказане стане більш зрозумілим, якщо помножити (5.89) на сталу Планка ħ і переписати отриману формулу у вигляді

. (5.90)

Тоді в лівій частині (5.90) стоїть енергія кванта випромінювання. Перший доданок у правій частині визначає енергію, що відбирається від поздовжнього руху зарядженої частинки, а другий – енергію n квантів циклотронної частоти.

У випадку нормального ефекту Допплера енергія на створення кванту випромінювання відбирається як від поздовжнього, так і від поперечного руху зарядженої частинки (ціле число квантів циклотронної частоти). У випадку аномального ефекту Допплера, навпаки, енергія поздовжнього руху зарядженої частинки витрачається як на створення кванту випромінювання, так і на збудження цілого числа квантів циклотронної частоти, тобто на збудження обертового руху частинки. Нарешті, для черенковського випромінювання енергія поздовжнього руху зарядженої частинки витрачається лише на створення кванту випромінювання.

Контрольні питання до підрозділу 5.4

1. Опишіть черенковський механізм випромінювання. Чому він реалізується лише тоді, коли швидкість частинки перевищує фазову швидкість випромінюваних хвиль?

2. Які типи хвиль може випромінювати заряджена частинка в плазмі за черенковським механізмом?

3. Чому випромінювання заряду, що обертається навколо силових ліній магнітного поля, відбувається не тільки на циклотронній частоті, але й на її гармоніках?

4. Охарактеризуйте випромінювання заряду, який рухається по гвинтовій траєкторії в плазмі з магнітним полем.

Задачі до підрозділу 5.4

1. В неізотермічній плазмі (T_e>>T_i) рухається макрочастинка. Якою має бути її швидкість, щоб вона могла збуджувати іонно-звукові хвилі за черенковським механізмом? Запишіть співвідношення між частотою випромінюваних хвиль та напрямком їхнього хвильового вектора (щодо напрямку руху частинки).

2. Температура плазми складає 1 еВ, концентрація електронів – 10⁹ см^-3. У якому частотному діапазоні заряд, що рухається зі швидкістю 10⁹ см/с, випромінюватиме ленгмюрівські хвилі за черенковським механізмом?

[1] Див., наприклад: І.О.Анісімов. Коливання та хвилі. К., Академпрес, 2003. С.209-212.

[2] Таким чином, ми розглядаємо початкову задачу, коли задається початкове збурення з відомим k, а його подальша часова еволюція описується частотою w – в загальному випадку комплексною. Див., наприклад: І.О.Анісімов. Коливання та хвилі. К., Академпрес, 2003. С.206.

Дата добавления: 2015-12-08