Перенесення теплоти, імпульсу та заряду в плазмі

Для того, щоб дослідити особливості явищ перенесення в плазмі, необхідно спершу розібратися в питанні про часи релаксації в електронній та іонній підсистемах та в плазмі в цілому. Після цього отримані в попередньому підрозділі формули для коефіцієнтів теплопровідності та в’язкості можуть бути безпосередньо перенесені на плазму.

Окремо розраховується електропровідність плазми, яка, як відомо, відсутня в нейтральних газах. Явище дифузії розглядається в наступному підрозділі 3.4.

3.3.1. Часи релаксації та довжина вільного пробігу

Записавши інтеграл зіткнень у t-наближенні, ми отримали оцінку для характерного часу між зіткненнями частинок газу у формі

, (2.67)

де v_T~(k_BT/m)^1/2.

Використаємо це співвідношення для оцінки характерного часу електрон-електронної, іон-іонної та електрон-іонної релаксації. Для простоти розглядатимемо повністю іонізовану плазму, що складається з електронів та однакових однозарядних іонів.

У курсі фізичної електроніки (ч. І) для ефективного перерізу пружних зіткнень у плазмі було одержано вираз

, (3.25)

де

(3.26)

– кулонівський логарифм (у широкому діапазоні параметрів плазми це величина порядку 10¹).

Підставивши (3.25) до (2.67) і знехтувавши числовим коефіцієнтом порядку одиниці, отримаємо:

. (3.27)

Це – середній час між зіткненнями електронів з електронами (точніше, середній час між зіткненнями одного обраного електрона з іншими електронами).

Відзначимо, що таким самим (принаймні, за порядком величини) буде середній час між зіткненнями електронів з іонами (точніше, середній час між зіткненнями одного обраного електрона з іонами), оскільки переріз пружних зіткнень (3.25) для цього процесу буде таким самим, як для електрон-електронних зіткнень (цей переріз залежить лише від величини заряду розсіювального центру).

Величина t_ее визначає одночасно й час релаксації (максвеллізації) електронного газу.

Замінивши в (3.22) масу електронів m на масу іонів M, можна отримати середній час між іон-іонними зіткненнями (точніше, середній час між зіткненнями одного обраного іона з іншими іонами):

(3.28)

(тут іони, як уже вказувалося, вважаються однаковими й однозарядними, а плазма – повністю іонізованою). Величина t_іі визначає одночасно і час встановлення максвеллівського розподілу для іонів.

Якщо плазма неізотермічна, тобто електронний та іонний гази характеризуються відмінними температурами Т_е та Т_і, то відповідно в формули (3.27) та (3.28) треба підставляти саме ці температури.

За одне зіткнення електрона з іоном перший передає другому частку своєї енергії порядку m/M. Звичайно Т_е>Т_і. Тому час електрон-іонної релаксації, тобто час вирівнювання первісно відмінних температур електронів та іонів, можна оцінити як

(3.29)

(підкреслимо, що t_еі – не середній час між зіткненнями електронів та іонів, а саме час вирівнювання температур електронів та іонів).

В ізотермічній плазмі (при Т_е=Т_і) буде виконуватись таке співвідношення між характерними часами:

, , . (3.30)

Отже, t_ei>>t_ii>>t_ee. Таким чином, у плазмі з помітним відхиленням розподілу частинок за швидкостями від рівноважного спочатку (за час t_ее) встановлюється максвеллівський розподіл для електронів, потім (за час t_іі) – для іонів, і лише в останню чергу (за час t_еі) вирівнюються температури електронів та іонів.

Середня довжина вільного пробігу електронів у плазмі (між двома зіткненнями з іонами) визначається співвідношенням:

. (3.31)

Аналогічно

. (3.31 а)

3.3.2. Коефіцієнти теплопровідності та в’язкості в ізотропній плазмі

Конкретизуємо тепер вирази для коефіцієнтів перенесення стосовно плазми. Для цього слід підставити отримані у п. 3.3.1 вирази для часів релаксації та довжини вільного пробігу до формул для коефіцієнтів перенесення, отриманих у п. 3.2.

Коефіцієнт теплопровідності для електронів записується у вигляді (пор. з (2.15 а)):

. (3.32)

Коефіцієнт теплопровідності для іонів отримаємо, замінивши m і T_e на M і Т_і відповідно. Оскільки звичайно Т_е>>Т_і і М>>m, то c_е>>c_і – теплопровідність плазми переважно забезпечується електронами.

Для коефіцієнтів в’язкості за рахунок електронів та іонів виходять такі вирази (пор. з формулою (3.20 а)):

, . (3.33)

Таким чином, при Т_е~Т_і маємо h_і>>h_е, тобто в’язкість плазми визначається переважно іонною компонентою. Підкреслимо, що цей висновок справедливий лише в рамках розглянутої моделі, тобто для повністю іонізованої плазми.

3.3.3. Електропровідність ізотропної плазми

Питання про електропровідність плазми детально розглядалося в курсі фізичної електроніки, тому ми лише нагадаємо тут основні деталі.

Густину електронного струму можна подати у формі:

. (3.34)

Спрямована швидкість електронів визначається балансом сил електричного поля і гальмування на зіткненнях з іонами:

(3.35)

(нагадаємо, що середній час між двома зіткненнями електрона з іонами – це якраз t_ее). Звідси

,

де електронна електропровідність s_е визначається формулою

. (3.36)

Цікаво, що електропровідність пропорційна до Т_е^3/2 і практично не залежить від n_e.

Формулу для іонної електропровідності можна отримати з (3.36), замінивши масу та температуру електронів на відповідні параметри іонів. Очевидно, провідність плазми як цілого визначається провідністю електронної компоненти.

Як випливає з формули (3.36), електронна провідність плазми прямує до нескінченності при необмеженому зростанні середнього часу між двома зіткненнями електрона з іонами. Але таке зростання провідності є умовою застосовності моделі ідеальної магнітної гідродинаміки (див. вище п. 2.4.4). Таким чином, ідеальна магнітна гідродинаміка відповідає моделі плазми без зіткнень. Саме в цьому випадку й реалізується вмороженість магнітного поля в плазму. Фактично умовою використання моделі ідеальної магнітної гідродинаміки виступає, як випливає з формули (3.36), висока температура плазми.

Рухливість електронів m визначається із співвідношення v _e=-m_e E, звідки

. (3.37)

Аналогічно рухливість іонів можна подати у вигляді

. (3.37 а)

Рухливість плазми як цілого, як видно з (3.37)-(3.37 а), визначається, як і слід було чекати, рухливістю електронів.

3.3.4. Електрони-втікачі

Як випливає з рівняння (3.35) з урахуванням формули (3.27) для часу вільного пробігу електронів, ефективна сила тертя, що діє на електрон, який рухається в електричному полі, пропорційна його швидкості.

Але формула (3.27) справедлива лише у випадку, коли теплова швидкість електронів значно перевищує швидкість їхнього спрямованого руху. В протилежному випадку в чисельнику цієї формули енергію теплового руху k_BT слід замінити кінетичною енергією спрямованого руху mv²/2. У цьому випадку час між зіткненнями електрона в плазмі швидко (як v³) збільшується зі зростанням швидкості частинок. Тому електрон, що набув у прискорювальному електричному полі великої швидкості, буде рухатись далі майже без зіткнень, безперервно прискорюючись електричним полем. В результаті при великих v «сила тертя», обумовлена зіткненнями електронів з іонами, що стоїть у правій частині (3.35), спадає як v^-2 і для достатньо великих v обов’язково стане меншою від прискорювальної сили з боку електричного поля (рис. 3.2). В результаті швидкість спрямованого руху електрона почне зростати.

Рис.3.2. Залежність середньої сили тертя Ffr=mv/tee, що діє на електрон, який дрейфує в плазмі під дією електричного поля Е. Для поля Е1 існують точка стійкої рівноваги v1 і точка нестійкої рівноваги vthr, праворуч від якої кулонівська сила переважає силу тертя. Для поля Е2 межа області прискорення наближається до теплової швидкості електронів.

Порогова швидкість, з якої починається цей ефект, визначається формулою

, (3.38)

або

, (3.38 а)

звідки

. (3.39)

Якщо v_thr>>v_Te, то кількість таких електронів (так званих електронів-утікачів) незначна, і закон Ома залишається справедливим. У протилежному випадку (див. рис. 3.2) закон Ома помітно порушується. Очевидно, як випливає з (3.39), це матиме місце при

. (3.40)

Потік електронів-утікачів може збуджувати в плазмі різні коливання, віддаючи їм свою енергію (про це детальніше див. п. 5.6). З нелінійною стадією збудження вказаних коливань пов’язаний так званий аномальний опір плазми – суттєво нелінійний хід залежності сили струму від прикладеної напруги. Очевидно, цей ефект проявлятиметься за виконання умови (3.40).

3.3.5. Провідність анізотропної плазми

Обговоримо тепер провідність плазми, вміщеної в магнітне поле. Зрозуміло, що провідність в напрямку магнітних силових ліній буде такою самою, як у плазмі без магнітного поля. В напрямку, перпендикулярному до магнітного поля, провідність буде зменшуватися внаслідок дії сили Лоренца. Тому в анізотропній плазмі провідність буде вже не скалярною величиною, а тензором.

Як уже вказувалося, роль закону Ома в диференціальній формі відіграє співвідношення (2.84). Для однорідної ізотермічної плазми (grad p=0) з урахуванням умови vºv_i<<v_e його можна переписати у формі

, (3.41)

де s – провідність ізотропної плазми, що визначається формулою (3.36).

Розписавши співвідношення (3.41) по компонентах та порівнявши результат зі стандартним співвідношенням j_i=s_ikE_k, можна знайти компоненти тензора провідності плазми в магнітному полі s_ik.

Контрольні питання до підрозділу 3.3

1. Як співвідносяться між собою часи електрон-електронної, іон-іонної та електрон-іонної релаксації? Дайте якісне пояснення.

2. Чому дорівнює середній час між зіткненнями одного обраного іона з електронами?

3. Чому середній час між двома електрон-електронними зіткненнями є одночасно й часом максвеллізації електронного газу, а середній час між двома електрон-іонними зіткненнями та час встановлення рівноваги між електронною та іонною компонентами суттєво відрізняються?

4. Чому теплопровідність плазми визначається переважно електронною компонентою, а в’язкість – іонною? Дайте якісне пояснення.

5. Як провідність плазми залежить від її концентрації? Дайте якісне пояснення.

6. Що таке електрони-втікачі?

Задачі до підрозділу 3.3

1. Розрахуйте числові коефіцієнти у формулах (3.28), (3.31), (3.32) та (3.33).

2. При яких електричних полях у плазмі токамаку виникне помітна кількість електронів-утікачів? Параметри плазми взяти з табл.2.1.

3. Для плазми, утвореної електронами та іонами з різними зарядовими числами Z, запишіть формулу для оцінки

а) середнього часу між зіткненнями електрона з іонами даного сорту;

б) середнього часу між зіткненнями іона даного сорту з іонами цього ж сорту;

в) середнього часу між зіткненнями іона даного сорту з іонами іншого сорту.

4. При яких значеннях напруженості електричного поля в термоядерній плазмі токамаку виявлятиметься ефект аномального опору? Параметри плазми токамаку взяти з табл.2.1.

5. Отримайте вирази для компонент тензору провідності анізотропної плазми s_ik. Від індукції поля перейдіть до електронної циклотронної частоти.

Дата добавления: 2015-12-08