Наближене обчислення визначених інтегралів.

У багатьох випадках для обчислення визначеного інтеграла ми не маємо можливості користуватися формулою Ньютона–Лейбніца, оскільки первісні від підінтегральних функцій не завжди можна виразити в елементарних функціях, наприклад, первісні таких функцій:

,

В таких випадках (і не тільки в таких) інтеграли обчислюють наближено. Існує велика кількість так званих квадратурних формул, тобто формул для наближеного обчислення інтегралів. Познайомимось з деякими з них. Ідея їх використання полягає у тому, що графік підінтегральної функції замінюється новою лінією, більш простою, але близькою до заданої. І замість криволінійної трапеції, яку обмежено графіком функції , ми отримуємо іншу фігуру, «близьку» до неї, але площа якої обчислюється простіше.

1. Формула прямокутників.

Нехай треба обчислити інтеграл

(19.1)

від неперервної на відрізку функції .

Поділимо відрізок на рівних частин точками , де , , . Позначимо . На кожному з частинних відрізків побудуємо прямокутник, основою якого є цей частинний відрізок, а висота дорівнює – значенню функції у лівій межі частинного відрізка (рис. 30).

Рис. 30.

Площа цього прямокутника дорівнює:

.

Внаслідок такої побудови дістанемо ступінчату фігуру, площа якої наближено дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції . Таким чином площа цієї фігури і буде наближеним значенням інтеграла (16.1):

. (19.2)

Формула (16.2) називається формулою лівих прямокутників.

Побудуємо тепер на кожному відрізку прямокутник, висота якого дорівнює значенню функції у правій межі відрізку , тобто (рис. 31):

Рис. 31.

Тоді дістанемо формулу правих прямокутників:

. (19.3)

Нарешті, якщо висотами прямокутників будуть значення функції у серединах відрізків, тобто (рис. 32), то дістанемо формулу середніх прямокутників:

Рис. 32.

. (19.4)

2. Формула трапецій.

Замінимо тепер графік функції ламаною лінією, з’єднавши точки з координатами відрізками прямих (рис.31).

Рис. 33.

Тоді на кожному частинному відрізку буде побудовано трапецію. Площа трапеції, побудованої на відрізку , дорівнює:

.

За наближене значення інтеграла (16.1) беремо суму площ всіх трапецій, тобто:

. (19.5)

Формула (16.5) називається формулою трапецій.

3. Формула парабол (Сімпсона [5]).

У формулах прямокутників і трапецій ми замінювали графік функції відрізками прямих ліній. Щоб підвищити точність, використаємо криву лінію, наприклад, параболу.

Спочатку доведемо, що через три різні точки , , , які не лежать на одній прямій, можна провести параболу і лише одну.

Дійсно, підставляючи координати точок у рівняння параболи, дістанемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь відносно коефіцієнтів , , :

(19.6)

Визначник цієї системи

є визначником Вандермонда, і він дорівнює . Тому система (19.6) має єдиний розв’язок, а це означає, що коефіцієнти параболи визначаються однозначно.

Розв’яжемо систему (16.6) для точок , , . Дістанемо:

.

Знайдемо площу криволінійної трапеції, обмеженої параболою, що проходить через точки , і прямими (рис. 34).

Рис. 34.

.

Розглянемо тепер криволінійну трапецію, обмежену кривою . Якщо через точки

провести параболу, то по доведеному:

, (19.7) де . Але якщо відрізок досить великий, то формула (19.7) буде давати значну похибку. Тоді розіб’ємо відрізок на парне число однакових частин, а криволінійну трапецію на частинних криволінійних трапецій і до кожної з них застосуємо формулу (19.7).

Додаючи почленно отримані таким чином наближені рівності, дістанемо формулу Сімпсона:

. (19.8)

Можна довести, що якщо функція має другу неперервну похідну, і , то похибка формул (19.2) – (19.5) не перевищує величини

,

а похибка формули (19.8) – величини

.

Приклади.

1. Продемонструємо спочатку застосування формул (19.2), (19.5), (19.8) на прикладі інтеграла, який обчислюється точно:

(перевірте самостійно), що наближено (з 5 знаками після коми) дорівнює 0.60948.

Розіб’ємо відрізок на 10 рівних частин точками і складемо таблицю, до якої занесемо та .

	0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9	0,10050 0,20396 0,31321 0,43081 0,55902 0,69971 0,85446 1,02450 1,21083 1,41421

Застосування формули лівих прямокутників (19.2) дає результат:

.

Застосування формули трапецій (19.5) дає результат:

.

Застосування формули Сімпсона (19.8) дає результат:

.

Як бачимо, з розглянутих формул найточніший результат дає формула Сімпсона.

2. Розглянемо тепер інтеграл від функції, первісна від якої не виражається в елементарних функціях:

.

Розіб’ємо відрізок на 10 рівних частин точками і складемо таблицю, до якої занесемо та :

	0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9	1,00005 1,00080 1,00404 1,01272 1,03078 1,06283 1,11360 1,18727 1,28690 1,41421

Застосування до цього інтеграла формули Сімпсона дає результат

.

Помилка цього результату не перевищує 0,000012.

Вправи для самостійної роботи.

1. Обчислити інтеграл за допомогою формули Ньютона–Лейбніца.

1) , 2) , 3) , 4) ,

5) , 6) , 7) , 8) ,

9) , 10) , 11) , 12) ,

13) , 14) , 15) , 16) .

17) , 18) , 19) , 20) ,

21) , 22) , 23) ,

24) , 25) , 26) , 27) .

2. Обчислити визначений інтеграл за допомогою метода заміни змінної.

1) , 2) , 3) , 4) ,

5) , 6) , 7) , 8) ,

9) , 10) , 11) , 12) ,

13) , 14) , 15) , 16) .

3. Обчислити визначений інтеграл методом інтегрування частинами.

1) , 2) , 3) , 4) ,

5) , 6) , 7) , 8) ,

9) , 10) . 11) , 12) ,

13) , 14) , 15) , 16) .

4. Обчислити невласний інтеграл I роду або встановити його розбіжність.

1) , 2) , 3) , 4) , 5) ,

6) , 7) , 8) , 9) ,

10) , 11) , 12) , 13) ,

14) , 15) , 16) , 17) .

5. Обчислити невласний інтеграл II роду або встановити його розбіжність.

1) , 2) , 3) , 4) , 5) ,

6) , 7) , 8) , 9) , 10) ,

11) , 12) , 13) , 14) ,

15) , 16) , 17) , 18) .

6. Дослідити на абсолютну та умовну збіжність невласний інтеграл.

1) , 2) , 3) , 4) .

5) , 6) , 7) , 8) ,

9) , 10) , 11) , 12) ,

13) , 14) , 15) , 16) .

7. Обчислити площу фігури, обмеженої графіками функцій в прямокутній декартовій системі координат.

1) , 2) , 3) ,

4) , 5) ,

6) , 7) , 8) ,

9) , 10) , 11) .

8. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями, заданими рівняннями в параметричній формі.

1) , , ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) ,

9) ,

10) .

9. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями, заданими рівняннями в полярній системі координат.

1) , 2) , 3) , 4) ,

5) , 6) , ,

7) , 8) , ,

9) , 10) .

10. Обчислити довжину дуги кривої, заданої в прямокутній декартовій системі координат.

1) , 2) , 3) ,

4) , 5) ,

6) , 7) ,

8) , 9) ,

10) .

11. Обчислити довжину дуги кривої, заданої рівнянням в параметричній формі.

1) ,

2) ,

3) , 4) ,

5) , 6) ,

7) ,

8) ,

9) , 10) .

12. Обчислити довжину дуги кривої, заданої рівнянням в полярній системі координат.

1) , 2) , 3) ,

4) , 5) , 6) ,

7) , 8) ,

9) , 10) .

12. Знайти площу поверхні тіла, утвореного обертанням навколо осі кри-

вої, заданої рівнянням в прямокутній декартовій системі координат.

1) , 2) ,

3) , 4) ,

5) , 6) ,

7) , 8) ,

9) , 10) .

13. Знайти площу поверхні тіла, утвореного обертанням навколо осі кривої, заданої рівнянням у параметричній формі.

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) .

14. Знайти площу поверхні тіла, утвореного обертанням навколо полярної осі кривої, заданої рівнянням в полярній системі координат.

1) , 2) , 3) ,

4) , 5) ,

6) , 7) ,

8) , 9) , 10) .

15. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо вказаної осі фігури, обмеженої лініями, заданими рівняннями в прямокутній декартовій системі координат.

1) навколо осі ,

2) навколо осі ,

3) навколо осі ,

4) навколо осі ,

5) навколо осі ,

6) навколо осі ,

7) навколо осі ,

8) навколо осі ,

9) навколо осі ,

10) навколо осі .

16. Знайти масу і координату центра ваги стрижня, розташованого на заданому відрізку осі , якщо відома його лінійна густина у кожній точці відрізку.

1) , , 2) , 3) ,

4) , 5) .

17. Знайти шлях, пройдений матеріальною точкою від моменту до моменту , якщо відома її миттєва швидкість .

1) , 2) ,

3) , 4) .

18. Знайти тиск рідини на вертикально занурену в неї платівку, якщо задано форму платівки.

1) півкруг, діаметр якого і знаходиться на поверхні рідини;

2) рівнобічна трапеція, менша основа якої дорівнює і лежить на поверхні рідини, більша основа дорівнює , висота ;

3) рівнобічна трапеція, більша основа якої дорівнює і лежить на поверхні рідини, менша основа дорівнює , висота ;

4) рівнобедрений трикутник з основою і бічними сторонами, довжина кожної з яких дорівнює , причому вершина трикутника знаходиться на поверхні рідини, а основа паралельна поверхні;

5) рівнобедрений трикутник з основою і бічними сторонами, довжина кожної з яких дорівнює , причому основа знаходиться на поверхні рідини.

19. Резервуар, який має форму циліндра, радіус основи якого , а висота , цілком заповнений водою. Знайти час, на протязі якого вся вода витече з резервуару через круглий отвір у його дні, площа якого дорівнює .

20. Резервуар, що має форму параболоїда обертання, утвореного обертанням параболи навколо відрізка осі , цілком заповнений водою. Знайти час, за який вся вода витече з резервуару через круглий отвір у його дні, площа якого дорівнює 4 кв. од.

21. Обчислити інтеграл наближено за формулою Сімпсона, розбиваючи відрізок інтегрування на 10 рівних частин. Оцінити похибку. Порівняти знайдене наближене значення з його точним значенням.

1) , 2) , 3) , 4) .

[1] Діріхле Петер Густав Лежен (1805–1859) – німецький математик.

[2] Дарбу Жан Гастон (1842–1917) – французький математик.

* Ньютон Ісаак (1643–1727) – видатний англійський математик і фізик.

Лейбніц Готфрід Вільгельм (1646–1716) – німецький математик, філософ і дипломат.

* Пуассон Сімеон Дені (1781–1840) – французький математик, механік і фізик.

[3] Паскаль Блез (1623–1662) – французький математик, фізик і філософ, один з творців інтегрального зчислення, а також теорії ймовірностей.

[4] Торрічеллі Еванджеліста (1608–1647) – італійський фізик та математик.

[5] Сімпсон Томас (1710–1761) – англійський математик.

Дата добавления: 2015-10-30