Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Зразок розв’язання нульового варіанта

Читайте также:
  1. Вибір та обґрунтування розрахункового варіанта
  2. Зразок виконання завдання
  3. Зразок завдання на дипломну роботу
  4. ЗРАЗОК ОФОРМЛЕННЯ СТАТЕЙ
  5. Зразок оформлення титульного аркушу
  6. Зразок оформлення титульної сторінки
  7. Зразок оформлення титульної сторінки курсової роботи

 

Завдання 1. Відомо, що з 10 виробів верхнього одягу 3 не пройшли контроль якості. Навмання відібрали 5 виробів. Яка ймовірність того, що серед них є 2 вироби, які не пройшли контроль якості?

Розв’язання. Перенумеруємо всі 10 виробів. Можливими випадками будемо вважати сполучення з 10 виробів по 5, які відрізняються тільки номерами, що входять у кожне сполучення. Звідси, кількість усіх можливих випадків дорівнює кількості сполучень із 10 елементів по 5:

.

Для підрахунку можливих сприятливих випадків враховуємо, що 2 вироби, які не пройшли контроль, із 3 можна отримати = 3 способами.

Крім того, 3 вироби, які пройшли контроль якості, можна вибрати із 7 різними способами.

Кожний варіант із двох, що не пройшли контроль, комбінується із кожним варіантом із трьох минулих, отже, число кількість випадків, які сприяють появі події А, дорівнює . Звідси, шукана ймовірність .

 

Завдання 2. У цеху 3 верстати. Ймовірність роботи І-го дорівнює 0,9; ІІ-го – 0,8; ІІІ-го – 0,9. Обчислити ймовірність роботи: а) всіх верстатів; б) двох верстатів; в) хоча б одного верстата.

Розв’язання:

Позначимо події:

А1 – працює І-й верстат; – відмовив І-й верстат;

А2 – працює ІІ-й верстат; – відмовив ІІ-й верстат;

А3 – працює ІІІ-й верстат; – відмовив ІІІ-й верстат;

Р(А1)= 0,9; Р( )=0,1

Р(А2)= 0,8; Р( )=0,2

Р(А3)= 0,9; Р( )=0,1

а) Нехай подія В – всі верстати працюють.

Ймовірність події В буде дорівнювать .

б) Нехай подія С – працюють тільки два верстати.

Подію С можливо представити у вигляді суми:

Ймовірність події С буде дорівнювати:

Враховуя, що події А1, А2, А3 незалежні, а тому і незалежні і події , то можлитво застосувти теорему добутку ймовірностей:

Такким чином,

в) Нехай подія D працює хоча б один верстат.

Ймовірність події Dбуде дорівнювати:

Таким чином,

 

Завдання 3. У кожному з 500 незалежних випробувань подія відбувається з постійною ймовірністю 0,4. Знайти ймовірність того, що подія відбувається:

а) точно 220 разів;

б) не менше ніж 180 і не більше ніж 240 разів.

Розв’язання

а) Для розв’язання цієї задачі використаємо локальну теорему Муавра–Лапласа. Задано , , .

Маємо: ;

; .

Тоді шукана ймовірність дорівнює

.

б) У цьому випадку для розв’язання застосовуємо інтегральну теорему Муавра–Лапласа. Задано , , ; .

;

.

Знаходимо значення інтегральної функції Лапласа:

; .

Шукана ймовірність дорівнює

.

 

Завдання 4. У кожному з 600 незалежних випробувань подія відбувається з постійною ймовірністю 0,85. Знайти ймовірність того, що відносна частота цієї події відрізняється за абсолютною величиною від імовірності 0,85 не більше ніж на 0,011.

Розв’язання. За умовою ; ; ; . Потрібно знайти ймовірність . Скористаємося формулою

.

Маємо . За таблицею значень інтегральної функції Лапласа знаходимо значення . Отже, . Шукана ймовірність приблизно дорівнює .

Завдання 5. Задано закон розподілу дискретної випадкової величини (у першому рядку зазначено можливі значення величини , у другому – подано ймовірності цих значень). Знайти: математичне сподівання ; дисперсію ; середнє квадратичне відхилення .

       
0,1 0,3 0,2 0,4

 

Розв’язання. Математичним сподіванням дискретної випадкової величини називають суму добутків усіх її можливих значень на їх імовірності: .

Тоді маємо: .

Дисперсією дискретної випадкової величини називається математичне сподівання квадрата відхилення випадкової величини від її математичного сподівання: .

Маємо: .

Середнє квадратичне відхилення випадкової величини дорівнює квадратному кореню з дисперсії: .

Таким чином, .

 

Завдання 6. Для неперервної випадкової величини , щільність розподілу ймовірностей якої відповідає нормальному закону, задано математичне очікування і середнє квадратичне відхилення . Потрібно знайти ймовірність того, що: 1) випадкова величина набуде значення в заданому інтервалі ; 2) абсолютна величина відхилення випадкової величини від її математичного сподівання не перевищує .

Розв’язання

1) Імовірність того, що нормально розподілена випадкова величина набуде якого-небудь значення з інтервалу , обчислюється за формулою:

.

Підставивши значення, отримаємо

.

Знаходимо значення інтегральної функції Лапласа . Тоді шукана ймовірність дорівнює .

2) Імовірність того, що відхилення нормально розподіленої випадкової величини від математичного сподівання не перевищить за абсолютною величиною , обчислюється за формулою . Підставляємо значення . Значення інтегральної функції Лапласа дорівнює . Маємо ймовірність .

Завдання 7. Дано варіаційний ряд випадкових чисел із вказівкою інтервалів і частот. Знайти: 1) середнє арифметичне ; 2) дисперсію і середнє квадратичне відхилення ; 3) побудувати гістограму частот; 4) за допомогою критерію Пірсона перевірити гіпотезу про нормальний розподіл вибірки.

           

Розв’язання. Статистичні дані згруповано по часткових інтервалах довжиною .

Для спрощення розрахунків при обчисленні числових характеристик емпіричного розподілу використаємо умовну варіанту , де – центральне значення (середина) -го часткового інтервалу; – деяке значення, що його набуває випадкова величина (як правило, відповідає найбільшому значенню частоти ); – довжина часткових інтервалів.

Виберемо . За умовою задачі . Тоді . За статистичним розподілом вибірки знайдемо статистичні оцінки числових характеристик випадкової величини , використовуючи аналогічні формули для умовних варіант:

; .

Перехід до значень для випадкової величини здійснюється за формулами:

; .

Усі результати розрахунків занесемо в таблицю:

№ з/п
      -3 −6   0,1
      -2 −16   0,4
      -1 −20    
            2,8
            0,6
            0,1
Сума       −26    

Підставляємо результати у вищезазначені формули й отримаємо:

;

.

Звідси

;

.

Середнє квадратичне відхилення дорівнює

.

Для побудови гістограми частот на осі абсцис відкладаємо задані інтервали однакової довжини і будуємо на цих часткових інтервалах як на основах прямокутники, висота яких дорівнює щільності частот .

20 40 60 80 100 120 140

Для того щоб при даному рівні значущості перевірити гіпотезу про нормальний розподіл генеральної сукупності, необхідно:

1) перейти до випадкової величини і обчислити кінці інтервалів: ; ;

2) обчислити теоретичні частоти , де – обсяг вибірки (сума всіх частот); ;

3) порівняти емпіричні й теоретичні частоти за допомогою критерію Пірсона. Для цього знаходимо спостережуване значення критерію Пірсона .

Обчислені вже значення , ; обсяг вибірки . Слід звернути увагу, що маємо два інтервали з нечисленними частотами (), тому об’єднаємо перший і другий інтервали, отримавши інтервал ; п’ятий і шостий інтервали, отримавши інтервал .

Результати обчислень для зручності занесемо в таблицю:

№ з/п
  -3,55 -1,36 -0,5000 -0,4131 8,69 0,20
  -1,36 -0,26 -0,4131 -0,1026 31,05 3,93
  -0,26 0,83 -0,1026 0,2967 39,93 6,47
  0,83 3,02 0,2967 0,5000 20,33 1,97

 

Знаходимо спостережуване значення критерію Пірсона .

Кількість степенів вільності обчислюємо за формулою , де – кількість інтервалів. Маємо .

У таблиці критичних точок розподілу за рівнем значущості і кількістю степенів вільності знаходимо критичну точку правосторонньої критичної області .

Оскільки , то гіпотезу про нормальний розподіл генеральної сукупності відкидаємо.


Дата добавления: 2015-10-28; просмотров: 116 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Основні поняття. Визначення ймовірності | Випадкових величин | Первинна обробка і графічне подання вибіркових даних. Числові характеристики вибіркової сукупності |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
ЗАВДАННЯ КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ| ПЕРЕЛІК ПИТАНЬ З ДИСЦИПЛІНИ

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.017 сек.)