Интерполяционная формула лагранжа

Оценка погрешности формулы Лагранжа

R_n(x)= f(x) - L_n(x)

R_n(x_i) =0 i=0..n

будем изучать что на [a;b] фнк имеет до n+1 производные

введем ψ(x) = f(x) - L_n(x) - k Π_n+1(x) (10) //k=? = const

ψ(x) имеет n+1 корень

подберем так чтобы ψ() =0,

, !=0

(11)

Правило Ролля (Тролля))

найдется такая точка Ы что тогда на концах [Ы_i, Ы_i+1] найдется такая формула

= (12) =>

(13)

если сравнить (11) и (13) то ,

Оценка погрешности формулы ньютона

q = (x-x₀)/h;

I: (16)

II: (17)

I:

II:

что такое Ы смотри предыдущий билет

заведем некое

I:

II: (21)

I:

II: (23)

I:

II:

Интерполяция сплайнами

Тотчетное среднеквадратичное приближение функций

Интегральное среднеквадратичное приближение функций

Численное интегрирование. формула Ньютона-Котеса

Численное интегрирование (историческое название: (численная) квадратура) — вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое), основанное на том, что величина интеграла численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс, графиком интегрируемой функции и отрезками прямых x = a и x = b, где a и b — пределы интегрирования

(1)

Методы приближенного интегрирования интеграла (1) приходится применять, если:

· (1) не берется в элементарных функциях

· Громоздкая первообразная

· Подынтегральная фнк задана таблично

Приближенные формулы = квадратурные.

Формула Ньютона-Котеса.

-шаг

[a,b] делим на n равных частей

заменяем соответствующим полиномом Лагранжа (R - погрешность)

(2)

- узлы кв. ф-лы; – коэффициенты пост. квадратурной формулы; , -не зависят от

Значит

(a<=x<=b) (5)=> (0<=q<=n)

(3) будет иметь вид:

· n=0 -> формула прямоугольников

· n=1 -> формула трапеций

· n=2 -> формула Симпсона

· n>2 -> формула Ньютона-Котеса высших порядков

Формула трапеций

Если функцию на каждом из частичных отрезков аппроксимировать прямой, проходящей через конечные значения, то получим метод трапеций.

X1

y1

y0

X0

Оценим погрешность R

По теор. О среднем:

Параметры в формуле трапеции дважды дифференцируемы пропорц.

При малом h этой погрешностью можно пренебречь.

Дата добавления: 2015-10-26