Изоморфизм линейных пространств

Два линейных пространства V₁ и V₂ над полем К называются изоморфными, если между элементами этих пространств можно установить взаимно однозначное соответствие , для которого

1)

2)

Отображение в этом случае называется изоморфизмом, а для линейных пространств применяется обозначение .

Для того, чтобы проверить является ли отображение изоморфизмом линейных пространств в соответствии с этим определением, надо убедиться, что

1)

2) – сюръекция, т.е.

3) – линейное отображение, т.е. и

Свойства изоморфизмов:

1)

2) где и – нулевые векторы и соответственно.

3)

4)

Теорема. При изоморфизме линейно независимая система переходит в линейно независимую.

Доказательство. Пусть – изоморфизм между линейными пространствами и над полем К и линейно независимы в . Предположим, что и – нулевые векторы и соответственно и

Тогда по свойству линейности , а в силу того, что – мономорфизм, . Из линейной независимости взятых векторов следует, что Это означает, что векторы линейно независимы. ■

Теорема. Все линейные пространства одной и той же размерности изоморфны между собой.

Доказательство. Пусть и базис . Любой вектор можно разложить по базису: .

Докажем, что . Для этого проверим, что отображение – инъекция, сюръекция и линейное. Соответствие действительно отображает в , так как каждому вектору в фиксированном базисе ставится в соответствие единственный набор коэффициентов. Если векторы различны, то хотя бы в одной координате они отличаются, поэтому – инъекция. Если , то в существует элемент и при этом , т.е. – сюръекция. Столь же очевидна и линейность отображения . Если , , то и , т. е. , .

Так как все линейные пространства над К изоморфны , то они изоморфны между собой. ■

Замечание. Изоморфизм как бы “срисовывает” структуру линейного пространства. Поэтому утверждение теоремы можно трактовать так: линейные пространства одной и той же размерности с алгебраической точки зрения тождественны.

Упражнения

1) Линейно ли отображение , если

а) ;

б) ;

в) .

2) Если – линейное отображение в , то называется гомоморфным отображением, , . Докажите, что – подпространство линейного пространства , Im – подпространство линейного пространства .

3) Линейное инъективное отображение в называется мономорфизмом. Докажите, что если – мономорфизм, то .

4) Линейное сюръективное отображение на называется эпиморфизмом. Докажите, что если эпиморфизм , то .

Дата добавления: 2015-10-23