Введение в корпускулярную теорию фазового пространства. Термодинамические вероятности и простейшее моделирование микроканонических ансамблей.

В ДОПОЛНЕНИЕ И ДЛЯ РАСШИФРОВКИ

СОДЕРЖИМОГО КОНСПЕКТА ЛЕКЦИЙ.

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ НАЧАЛА СТАТИСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ КОЛЛЕКТИВОВ ЧАСТИЦ, ЗАСЕЛЯЮЩИХ ЯЧЕИСТОЕ ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО.

ВВЕДЕНИЕ В КОРПУСКУЛЯРНУЮ ТЕОРИЮ ФАЗОВОГО ПРОСТРАНСТВА. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ПРОСТЕЙШЕЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МИКРОКАНОНИЧЕСКИХ АНСАМБЛЕЙ.

1. Энтропия смешанного кристалла,

содержащего узлы 2-х видов, например, A и B, мультипликативна. Рассмотрим узлы и частицы как две исходные подсистемы. Будем рассматривать узлы как энергетически полностью равноценные, и потому независимые. Лишь перемешивание формирует все качества подобного объекта – системы, состоящей из двух подсистем: (A,B) → (A+B). Для исчерпывающей характеристики такого коллектива, кв котором частицы распределяются между отдельными узлами (одночастичными состояниями), определим конфигурацию (зададим число ячеек g и число заселяющих их частиц N) в наглядном виде посредством двух символов, а именно в виде (g, N). Преставим, что узлов два вида, и частиц также два вида. В этом случае получим символ системы в виде:

(g, N)= (g_A+g_B, N_A+ N_B),

Будем вычислять числа возникающих комплексий – возможностей с помощью приближения Стирлинга в его простейшей адаптированной форме, как-то:

N!=(N/e)^N.

Формируя мультипликативное выражение для общей термодинамической вероятности из независимых термодинамических вероятностей двух подсистем, получаем и общий прирост энтропии в их иде энтропии смешения, используя формулы:

Это последнее выражение в точности совпадает с тем, что было получено «тепловым» способом. Результат оказался общим, и потому распространим его на фазовое пространство.

Пространтсва ФАЗОВОЕ и КОНФИГУРАЦИОННОЕ возникли при построении общей теории уравнений механики.

Можно различит три уровня математического описания механических движений.

1) Первый это сама система уравнений Ньютона.

2) Второй – система уравннений 2-го рода Лагранжа. Функция Лагранжа это разность кинетической и потенциальной энергий. Пространство переменных состоит лишь из координат и называется конфигурационным (или пространством конфигураций), к которым добавляется время. Его размерность 3N, где N – число частиц в механической (не путать с теромдинамической!) системе.

3) Третий – система уравнений 1-го рода Гамильтона. Функция Гамильтона почти не отличается от полной энергии. Пространство переменных состоит из координат всех частиц и всех «одномерных» компонент импульсов. Его размерность вдвое больше конфигурационного и равна 6N.

4) Фазовое пространство коллектива микрочастиц состоит из ячеек - орбиталей отдльных частиц, оно счётное, и размер каждой ячейки определяется принципом Гейзенберга, т.е. равен Dp_xDx Dp_yDyDp_zDz = h³ (см. вводный курс физики).

5) В итоге все комбинаторные операции совершаются в точном подобии с узлами решётки кристалла.

2. ПРОСТРАНСТВА ПЕРЕМЕННЫХ МЕХАНИКИ. КОНФИГУРАЦИОННОЕ И ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВА (ФП). ДИСКРЕТНОСТЬ, КВАНТОВАНИЕ И ЯЧЕЙКИ ФАЗОВОГО ПРОСТРАНСТВА. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ ДЛЯ РАЗНЫХ МОДЕЛЕЙ КОЛЛЕКТИВОВ НЕРАЗЛИЧИМЫХ ЧАСТИЦ И РАЗЛИЧИМЫХ ЯЧЕЕК ФП.

1. Термодинамическая вероятность (Т/Д) и энтропия ориентации в узлах кристаллической решётки. Примеры:

1.1. Метан и производные: дейтерометан –дидейтерометан – тридейтерометан.

1.2. Нафталин и производные: Моно-, ди-, тридейтеронафталины.

1.3. Бензол и производные: моно-, ди-, три-, тетра-, пентадейтеробензолы.

2. Вероятность и её природа: виды, положения, ориентация, энергия частиц

3. Конфигурационная энтропия определена лишь положением и ориентацией в узлах решётки

4. Энтропия смешанного кристалла (A,B)→(A+B) и формула W=(n_A+n_B)!/ n_A! n_B!

5. S= k lnW.

6. Три модели частиц, орбитали и спин-орбитали и геометрия фазового пространства.

H = p ²/(2m) + U (x,y,z)= (p_x ²+ p_y ²+ p_z ²)/(2m) + U (x,y,z)

E=f(p_x, p_y, p_z,x,y,z) ≡ f(x,y,z, p_x, p_y, p_z)

Переменные: (x,y,z, p_x, p_y, p_z) - фазовое пространство

(x,y,z) – конфигурационное пространство

Уравнения механики можно записать и в конфигурационном пространстве.

Такова система уравнений Лагранжа. Это дифференциальные уравнения 2-го порядка.

Уравнения механики можно записать и в фазовом пространстве.

Такова система уравнений Гамильтона. Это дифференциальные уравнения 1-го порядка.

В квантовой механике также существуют оба варианта построения теории.

7. У различимых частиц ФП подобно обычному кристаллу. Возникает статистика Больцмана.

8. У неразличимых частиц ФП возникает в двух видах: для БОЗОНОВ и для ФЕРМИОНОВ.

8.1. По Больцману-Планку (частицы различимы).

8.2. По Бозе-Эйнштейну (частицы неразличимы, спин целый 0, 1, 2, 3, 4…, НО ЯЧЕЙКИ различимы – они уподоблены узлам кристалла, различным пространственно, и у которого их можно рентгенографически «увидеть» - отсюда и странноватая на первый взгляд ситуация. Орбитали – ячейки же вполне обычные).

8.3. По Ферми-Дираку (частицы неразличимы, спин кратен ½, 1½, 2½…. Здесь ячейки суть спин-орбитали. У них не 3, а целых 4 характеристики (3 координаты плюс спиновая проекция частицы) Это четырёхмерные объекты, и одна из переменных – проекция спина частицы, а три другие - обычные координаты).

9. Больцмановская статистика считается физически неверной. Она не учитывает фундаментальное свойство микрочастиц – их идентичность-неразличимость, и всё же она количественно работает при достаточно высоких температурах – практически уже при нескольких десятках Кельвинов.

10. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ для разных частиц и ячеек ФП

10.1Каждое распределение задаём распределением n частиц по g ячейкам в виде

10.2(g,n)= (g₁, g₂, g₃,… n₁,n₂, n₃,…).

10.3Приходим к разным формулам термодинамической вероятности в зависимости от природы ячеек и частиц. Отсюда следуют и разные формулы ТД (g,n), и для распределений Больцмана (А), Бозе-Эйнштейна (Б), Ферми-Дирака (В), они приобретают вид:

А) W_B=(n₁+n₂+n₃+…)!/(n₁!n₂!n₃!...) (SW)= gⁿ ...Искусственные ЯФП для различимых частиц в

различимых ячейках

Б) W_E=(g ₁+ g ₂+ g ₃+…)!/(g ₁! g ₂! g ₃!...) (SW)=(n +g-1)!/ [n! (g-1)!] ЯФП ≡ Орбитали

…Более правдоподобны для неразличимых частиц (фотонов, экситонов-возбуждений) в различимых узлах кристаллической решётки, и по аналоги в любом ФП)

В) W_F=g!/(n! g!) … g>>n ЯФП ≡ Спин-Орбитали

пригодные для неразличимых частиц, подчиняющихся принципу Паули…

…Нам остаётся построить иллюстрации для вычисления Т/Д вероятностей, задавая различные конфигурации фазового пространства, а в простейших случаях – просто рассматривая конфигурационные вероятности в кристаллах.

Дата добавления: 2015-10-24