Решение СЛАУ.

Теорема Кронекера-Капелли. СЛАУ совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы .

Рассмотрим различные виды СЛАУ.

А) Квадратная неоднородная СЛАУ

1) Пусть основная матрица является невырожденной, т.е. . Поскольку такая матрица имеет обратную, решение СЛАУ легко находится в матричном виде

.

Следовательно, в этом случае решение СЛАУ существует и оно единственное, т.е. СЛАУ является совместной и определенной. Используя рассмотренную ранее структуру обратной матрицы, можно получить формулы Крамера

,

где , а

.

Пример 1. Найти решение СЛАУ , используя формулы Крамера. Вычисляем определители , , , . Следовательно, .

2) Пусть . В этом случае неоднородная квадратная СЛАУ либо не имеет решения, либо имеет бесконечно много решений. Последнее имеет место, если выполнено условие теоремы Кронекера-Капелли.

B) Квадратная однородная СЛАУ

1) . , т.е. имеется только нулевое (тривиальное) решение.

2) . Имеется бесконечно много решений, так как .

С) Прямоугольная СЛАУ.

1) и . СЛАУ совместная и неопределенная.

2) и . В этом случае уравнений можно отбросить и найти единственное решение.

3) и . СЛАУ совместная и неопределенная (можно отбросить уравнений).

4) . СЛАУ несовместная.

Дата добавления: 2015-07-08