Метод Гаусса.

Перечислим допустимые преобразования СЛАУ, не изменяющие ее решения (подобные операции можно выполнять над матрицей ).

1. Перестановка уравнений (перестановка строк матрицы ).

2. Перенумерация переменных (перестановка столбцов матрицы ).

3. Умножение любого уравнения на любое число, не равное нулю (умножение любой строки матрицы на число).

4. Прибавление к одному уравнению любого другого уравнения, умноженного на любое число, не равное нулю (прибавление к любой строке матрицы другой строки, умноженной на любое число, не равное нулю).

Идея метода Гаусса поиска решения СЛАУ заключается в том, чтобы, используя перечисленные выше допустимые преобразования, привести СЛАУ к квазитреугольному виду (виду «трапеции»)

Если последние числовых равенств не являются тождествами, то система уравнений несовместная. Пусть эти равенства являются тождествами и . В этом случае система рассматриваемых уравнений имеет единственное решение. Если , то СЛАУ совместная и неопределенная.

После получения системы уравнений в квазитреугольном виде, находим неизвестные переменные, начиная с последнего уравнения.

Пример 2. Решим методом Гаусса систему уравнений

С помощью первого уравнения уберем переменную из последующих уравнений

Теперь с помощью второго уравнения уберем переменную из четвертого и пятого уравнений

Вычтем третье уравнение из пятого

Последние два тождества показывают, что рассматриваемая СЛАУ является совместной, а тот факт, что оставшееся число уравнений меньше числа неизвестных, говорит о том, что система является неопределенной (т.е. имеет бесконечно большое число решений). Используя третье и второе уравнения, находим . Подставляя эти значения в первое уравнение, получаем , где - произвольное вещественное число. Мы нашли общее решение СЛАУ. Взяв, например, , получим частное решение , , .

ЗАДАЧИ

Дата добавления: 2015-07-08