Попит на хліб на добу

Попит на добу, шт.
Ймовірність	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

Якщо булка виготовлена, але не продана, то додаткові збитки становлять 0,20 грн. за штуку.

Потрібно побудувати платіжну матрицю доходів та матрицю ризиків і за допомогою різних критеріїв визначити, яку кількість продукції необхідно випускати пекарні.

1. Строим платежную матрицу:

Платежная матрица			продали
			в1	в2	в3	в4	в5
произвели		а1
		а2	-0,2	2,4	2,4	2,4	2,4
		а3	-2,4	0,2	2,8	2,8	2,8
		а4	-4,6	-2	0,6	3,2	3,2
		а5	-6,8	-4,2	-1,6		3,6
		Max		2,4	2,8	3,2	3,6

Каждая ячейка = Цена * продали – С/с * произвели – Разница между произвели и продали (если она есть) * дополнительные расходы

2. Строим матрицу рисков

Матрица рисков			продали
			в1	в2	в3	в4	в5
произвели		а1		0,4	0,8	1,2	1,6
		а2	2,2		0,4	0,8	1,2
		а3	4,4	2,2		0,4	0,8
		а4	6,6	4,4	2,2		0,4
		а5	8,8	6,6	4,4	2,2

Каждая ячейка = максимальное значение по столбцу из платежной матрицы – значение ячейки платежной матрицы

При прийнятті рішень в умовах невизначеності для вибору рішень використовуються наступні критерії: критерій Вальда, критерій максимакс, критерій Севіджа, критерій Гурвіца.

7.2 Характеристика критеріїв прийняття рішень в умовах невизначеності

7.2.1 Критерій Вальда

Критерій Вальда (Максимінний) дозволяє обрати варіант рішення, який гарантує отримання максимально можливого виграшу за найгірших умов економічного середовища. Формалізований вираз цього критерію має вигляд:

(7.1)

Наш пример:

Платежная матрица		продали
		в1	в2	в3	в4	в5	мин
произвели	а1
	а2	-0,2	2,4	2,4	2,4	2,4	-0,2
	а3	-2,4	0,2	2,8	2,8	2,8	-2,4
	а4	-4,6	-2	0,6	3,2	3,2	-4,6
	а5	-6,8	-4,2	-1,6		3,6	-6,8
	Max		2,4	2,8	3,2	3,6

Выбираем минимальные значения результата (минимальная прибыль или максимальный убыток) из всех вариантов производств – и из них выбираем максимальное значение – это и есть вариант производства.

Ответ: мы производим минимум – 10 булок - потому что в этом случае мы понесем минимальные убытки при самом плохом варианте продаж.

Вихідними даними при виборі варіантів рішень за критерієм Вальда є виграші а_ij, що відповідають кожному зі сполучень рішень і стану економічного середовища, наведені в матриці виграшів. За кожним варіантом рішення визначають мінімальне значення виграшу. Потім з обраних мінімальних значень виграшу знаходять максимальну величину, яка дозволяє визначити варіант рішення, що дозволить отримати максимально можливий виграш за найгірших умов економічного середовища. Цей варіант рішення вважається оптимальним за даним критерієм.

Критерій Вальда орієнтує особу, що приймає рішення, на дуже обережну (песимістичну) лінію поведінки та уникнення ризику. Тому критерієм Вальда користуються у випадках, коли існує загроза дуже значних втрат в разі помилково прийнятого рішення; або якщо суб᾽єкт управління не схильний до ризику та прагне з більшою упевненістю отримати менший виграш замість значного, але непевного виграшу.

критерий крайнего пессимизма

7.2.2 Критерій максимакс (Критерий крайнего оптимизма)

Максимаксний критерій передбачає оптимістичну позицію щодо прийняття рішення та відповідає наступальній економічній стратегії. Цей критерій орієнтує суб᾽єкта управління на отримання максимально можливого результату рішення. Формалізований вираз цього критерію має вигляд:

(7.2)

Відповідно до цього критерію на основі даних матриці виграшів за кожним варіантом рішення визначають максимальне значення. Далі з-поміж обраних максимальних значень виграшу знаходять максимальну величину. Цій величині відповідатиме варіант рішення, що дозволить отримати найкращий економічний результат.

Платежная матрица		продали
		в1	в2	в3	в4	в5	Макс
произвели	а1
	а2	-0,2	2,4	2,4	2,4	2,4	2,4
	а3	-2,4	0,2	2,8	2,8	2,8	2,8
	а4	-4,6	-2	0,6	3,2	3,2	3,2
	а5	-6,8	-4,2	-1,6		3,6	3,6
	Max		2,4	2,8	3,2	3,6

Выбираем максимальные значения результата (максимальная прибыль или минимальный убыток) из всех вариантов производств – и из них выбираем максимальное значение – это и есть вариант производства.

Ответ: мы производим минимум – 18 булок - потому что в этом случае мы получим максимальную прибыль при самом хорошем варианте продаж.

Цей критерій передбачає ігнорування можливих несприятливих подій під час реалізації рішення, тому він придатний для ситуацій, коли суб᾽єкт управління є схильним до ризику, а можливі позитивні результати прийнятого рішення значно перевищують його можливі негативні наслідки.

7.2.3 Критерій Севіджа (минимального риска):

Мінімаксний критерій Севіджа використовується у випадках, коли потрібно за будь-яких умов уникнути великого ризику. Відповідно до цього критерію перевагу слід надати варіанту рішення, для якого максимальні втрати за різних варіантів стану економічного середовища виявляться мінімальними. Його формалізований вираз має вигляд:

(7.3)

де r_ij – втрати, що відповідають i-му рішенню при j-му варіанті стану економічного середовища.

Мы используем матрицу риска:

Матрица рисков		в1	в2	в3	в4	в5	Макс
	а1		0,4	0,8	1,2	1,6	1,6
	а2	2,2		0,4	0,8	1,2	2,2
	а3	4,4	2,2		0,4	0,8	4,4
	а4	6,6	4,4	2,2		0,4	6,6
	а5	8,8	6,6	4,4	2,2		8,8

При застосуванні критерію Севіджа вихідними даними є можливі втрати, що відповідають кожному зі сполучень варіантів рішень і стану економічного середовища, які отримують за даними матриці ризику. За кожним варіантом рішення знаходять величину максимально можливих втрат (збитків, недоотриманого прибутку). Серед отриманих максимальних значень знаходять мінімальне значення, яке відповідатиме оптимальному варіанту рішення за критерієм мінімаксу. Отже, у випадку реалізації цього варіанту рішення можливі втрати будуть мінімальними з усіх максимальних.

Даний критерій орієнтує суб᾽єкта управління на обережну лінію поведінки, орієнтовану на використання захисної стратегії та уникнення ризику. Використання цього критерію доцільне, якщо небезпека втрат дуже значна та необхідно забезпечити їх мінімізацію.

Спільною рисою критеріїв Вальда та Севіджа є орієнтація на обережну поведінку, пов᾽язану з уникненням ризику та песимістичною позицією щодо прийняття рішення. Але критерій Вальда орієнтований на отримання мінімального виграшу, а критерій Севіджа дозволяє мінімізувати можливі втрати [ивч, лагоша, гранат].

Недоліком критеріїв Вальда, максимакса та Севіджа є врахування тільки одного варіанту економічного середовища для кожного варіанта рішення [клим, с.87].

7.2.4 Критерій пессимизма–оптимизма Гурвіца

Критерій узагальненого максиміна (песимізму-оптимізму) Гурвіца використовується, якщо потрібно знайти певну комбінацію оптимістичної та песимістичної позицій щодо прийняття рішення. Відповідно до цього критерію перевагу надають варіанту рішення, для якого виконується умова:

, (7.4)

Коэффициент отображает меру пессимизма ЛПР

де χ – коефіцієнт, що відображає ступінь песимізму ЛПР ,

а_ij – виграш, що відповідає i-му рішенню при j-му варіанті стану економічного середовища.

Значення коефіцієнту песимізму встановлюються суб᾽єктивно, залежно від конкретних обставин та схильності до ризику особи, що приймає рішення. При χ = 0 має місце оптимістична позиція та орієнтація на граничний ризик, а величина критерію Гурвіца співпадає з величиною критерію максимакса. При χ = 1 суб᾽єкт управління налаштований песимістично та прагне уникати ризику, а величина критерію Гурвіца співпадає з величиною максимінного критерію Вальда. Значення χ між 0 і 1 є проміжними між ризиком і обережністю. Чим більша можлива небезпека, тим більш наближуватиметься до одиниці значення коефіцієнта песимізму. При зміні значення коефіцієнта песимізму змінюватиметься й варіант рішення, якому надається перевага. Отже, схильність до ризику суб᾽єкта управління значною мірою впливає на вибір рішення.

Визначити яку кількість продукції випускати компанією за допомогою критерію Гурвіца із коефіцієнтом оптимізму 0,7.

Соответственно коэффициент пессимизма = 0,3

Платежная матрица		продали							Х=
		в1	в2	в3	в4	в5	Макс	мин	0,3
произвели	а1
	а2	-0,2	2,4	2,4	2,4	2,4	2,4	-0,2	1,62
	а3	-2,4	0,2	2,8	2,8	2,8	2,8	-2,4	1,24
	а4	-4,6	-2	0,6	3,2	3,2	3,2	-4,6	0,86
	а5	-6,8	-4,2	-1,6		3,6	3,6	-6,8	0,48
	Max		2,4	2,8	3,2	3,6

Выбираем максимум и минимум по строкам.

По формуле – умножаем минимальное значение на критерий пессимизма, умножаем максимальное значение на критерий оптимизма (1 – критерий пессимизма = 0,7), потом складываем. Из полученных значений выбираем максимальное.

Розглянуті критерії пов᾽язані між собою, тому рекомендується використовувати їх комплексно. Остаточний вибір варіанта рішення слід здійснювати з урахуванням всіх розглянутих критеріїв.

Рассмотрим конкретный (сильно упрощенный) пример.

Пусть у некоего физического лица имеется 1000 долларов. Он предлагает рассмотреть 4 возможных стратегии:

положить деньги дома в шкаф;

положить деньги в банк на депозит (10% годовых);

вложить деньги в бизнес друга (рентабельность 100% в случае успеха);

купить лотерейные билеты (рентабельность 1000% в случае выигрыша).

Все возможные исходы предлагается получить исходя из следующего набора факторов:

уровень инфляции (%): 5, 10, 15;

судьба бизнеса: прогорел, не прогорел;

результаты лотереи: выиграл, не выиграл.

Период планирования — один год.

Предположим, что наш герой решил обратиться к консультанту за помощью в выборе наилучшей стратегии. Что же сделал консультант?

Прежде всего, он исключил из рассмотрения стратегию «лотерея». Потому что вероятность исхода «выиграл» существенно ниже всех остальных вероятностей (даже при том, что все они неизвестны)! Действительно, если бы вероятности были заданы, то эффективность стратегии («лотерея») была бы точно сильно ниже остальных. Это дает консультанту право исключить эту стратегию из рассмотрения. Вероятности всех остальных исходов для оставшихся стратегий, хоть и не известны, но сопоставимы. Поэтому все остальное консультант оставил.

Далее консультант сформировал матрицу выигрышей и рассчитал на ее основе матрицу рисков (см. рисунок ниже).

После этого консультант применил рекомендации Сэвиджа и 2 раза Гурвица (с разными константами — уровнями оптимизма).

Сэвидж рекомендует депозит.

Гурвиц-1 (оптимист) — бизнес

Гурвиц-2 (пессимист) — депозит

Вывод — рекомендуется выбор стратегии «Депозит в банке».

ТЕМА 8 ТЕОРІЯ КОРИСНОСТІ ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ У ПРОЦЕСАХ ПРИЙНЯТТЯ РІШЕНЬ

8.1 Концепція корисності

В умовах невизначеності обґрунтування вибору рішень базується на результатах об'єктивних і суб'єктивних оцінок, або на певній їх комбінації.

Для задач прийняття рішень в умовах невизначеності та ризику принцип оптимальності часто набуває виду функції корисності.

Корисність представляє собою ступінь задоволення, яке одержує суб'єкт від споживання товару чи виконання будь-якої дії.

Концепція корисності дозволяє забезпечити співвимірність споживчих елементів різних товарів, які не завжди співвимірні з фізичної точки зору. Встановлення певної міри ризику необхідно, щоб охарактеризувати випадкову величину одним показником (параметром). Застосовуючи різні функції корисності, можна описати будь-які варіанти оцінки випадкової величини у виді сподіваного значення такої функції.

Основним положенням теорії корисності є те, що суб'єкт управління, який приймає рішення в умовах невизначеності та породжуваного нею ризику, повинен максимізувати сподіване значення корисності результатів. Тобто з всіх можливих рішень він обере те, яке забезпечить найбільшу сподівану корисність.

У відповідності до концепції Неймана-Моргенштерна корисність - це деяке число, приписуване особою, що приймає рішення, (ОПР) кожному можливому результату. Функція корисності Неймана-Моргенштерна для ОПР характеризує корисність, яку він приписує кожному можливому результату рішення, що приймається.

У кожної ОПР існує своя функція корисності, яка показує його пріоритет тим або іншим результатам у залежності від її відношення до ризику. З погляду ставлення (схильності) до ризику усі ОПР поділяються на три категорії: схильні до ризику, байдужі до ризику (нейтральні), несхильні до ризику. Кожна з них має власні особливості при обґрунтуванні й прийнятті рішень в умовах невизначеності.

8.2 Пріоритети та їх числове вираження

У теорії корисності широко застосовується таке поняття, як пріоритет.

Позначимо співвідношення «пріоритетніше, ніж», «байдуже» і «не гірше, ніж» відповідно символами ~, .

Нестроге співвідношення пріоритетності «не гірше, ніж» (х у), де х та у - набори товарів або послуг (точки простору Х). Це означає, що певний суб'єкт вважає для себе набір х більш пріоритетним, ніж набір у, або не робить між ними різниці.

Ситуація байдужості характеризується тим, що набори товарів еквівалентні для споживача (х~у) тільки тоді, коли х у та у х.

Ситуація строгої пріоритетності характеризується тим, що якщо споживач бажає вибрати х, а не у, то х пріоритетніше, ніж у (тобто х у). Це відбувається тоді, коли х не гірше у, а у гірше х. Тобто х у, якщо х у, а твердження у х є несправедливим.

На основі введених аксіом доведене існування неперервної функції U(х), визначеної на елементах множини Х, яку називають функцією корисності та для якої U(х) > U(у), якщо х у.

Гранична корисність вимірює додаткове задоволення, одержуване суб'єктом від споживання додаткової кількості товару. Для окремо взятого товару гранична корисність знижується при збільшенні його кількості (закон спадаючої граничної корисності).

8.3 Корисність за Нейманом

8.3.1 Поняття лотереї

Для визначення корисності розглядається вибір суб'єкта в умовах ризику, який формалізується за допомогою поняття лотереї.

Для цього експерту пропонують порівняти дві альтернативи:

1) значення показника X;

2) лотерею: отримати з імовірністю або з ймовірністю — .

Величину ймовірності змінюють поступово до такої величини від 0 до 1, доки, на думку експерта, значення показника і лотерея стануть еквівалентними. Тобто всі можливі результати розміщують за зростанням. Корисність найгіршого результату оцінюється як 0, а найкращого — 1 (або як 100): .

Для того щоб оцінити проміжний результат, особі пропонують взяти участь у лотереї. Значення за якого особа відмовиться від гарантованого результату на користь участі у лотереї, беруть для розрахунку корисності: . Тобто із множини значень відомого показника експерт повинен розрахувати два: і — найбільш пріоритетне і найменш пріоритетне, для яких не гірше за , а не гірше за .

Корисність варіанту визначається ймовірністю — за якої експерту байдуже, що обирати: гарантовано або лотерею , де і — вектори, найбільш і найменш приоритетні порівняно з .

8.3.2 Сподівана корисність

Нехай лотерея приводить до виграшів (подій) із відповідними ймовірностями і відповідними корисностями .

Математичне сподівання виграшу, тобто очікуваний виграш, обчислюють за формулою:

. (4.1)

Математичне сподівання корисності, тобто очікувану корисність, визначають за формулою:

.

Тобто корисність сукупності результатів збігається з математичним сподіванням корисності результатів.

8.4.1 Несхильність та схильність до ризику

Вигляд функції корисності характеризує відношення до ризику ОПР. Відповідно до концепції корисності Неймана-Моргенштерна в загальному вигляді графік функції корисності може бути трьох видів:

a) б) в)

а) несхильність до ризику;

б) нейтральність (байдужість) до ризику;

в) схильність до ризику.

Рисунок 8.1 – Класифікація ОПР за схильністю до ризику

8.3.3 Детермінований еквівалент лотереї. Страхова сума

Детермінований еквівалент лотереї — це гарантована сума отримання якої еквівалентно участі в лотереї і гарантує особі таку саму корисність, як і участь у ризикованій справі, тобто

.(4.3)

Особу, що приймає рішення, називають несхильною до ризику, коли для неї найбільш пріоритетною є можливість одержати гарантовано очікуваний виграш у лотереї, ніж узяти в ній участь.

Із теорії корисності можна зробити висновок, що корисність лотереї збігається з математичним сподіванням корисності її випадкових результатів. Відповідно до цього умова несхильності до ризику набуває такого вигляду:

, (4.4)

тобто корисність сподіваного доходу більше сподіваної кориснос­ті. ОПР не схильна до ризику тоді й тільки тоді, коли її функція корисності увігнута.

Для функції корисності можна розрахувати премію за ризик у лотереї (p(х)) як різницю між очікуваним виграшем і детермінованим еквівалентом:

. (4.5)

За своїм фізичним змістом премія за ризик (надбавка за ризик) — це сума в одиницях виміру показника X, якою суб’єкт управління згоден поступитися із середнього виграшу, щоб уник­нути ризику, пов’язаного з лотереєю, і отримати гарантований дохід без ризику.

Коли особа, що приймає рішення, натрапляє на лотерею, менш пріоритетну, ніж стан, у якому вона в даний момент перебуває, то постає питання, скільки б вона заплатила (в одиницях вимірювання критерію X) за свою неучасть у цій лотереї (уникнення її).

Страхова сума (CC) — це величина детермінованого еквівалента з протилежним знаком:

.

Умова схильності до ризику набуває такого вигляду:

, (4.7)

тобто корисність сподіваного доходу менше сподіваної кориснос­ті. ОПР схильна до ризику тоді й тільки тоді, коли її функція корисності опукла, а графік розгорнутий дзвоном униз. Премія за ризик у випадку схильності до ризику показує, скільки коштів інвестор може додатково отримати або втратити, ризикуючи.

Умова байдужості до ризику набуває такого вигляду:

. (4.8)

ОПР байдужа до ризику тоді й тільки тоді, коли її функція корисності лінійна, а графік — пряма. Премія за ризик у випадку байдужості до ризику завжди дорівнює нулю.

Дата добавления: 2015-07-08