Численное интегрирование уравнения движения.

При приближенном пред­ставлении процесса (E^’ = const) на основе уравнения (2) легко найти изображе­ние на фазовой плоскости Δω= ψ(δ)

или

С помощью графического интегрирования функции Δω = ψ(δ) можно прибли­женно получить зависимость τ = f(δ). Для этого соответствующая кривая Δω = ψ(δ) разбивается по оси б на интервалы и на каждом из интервалов участок кривой заменяется горизонтальным отрезком с ординатой, равной среднему значению Δω на этом интервале — Δω _ср. Для i-го интервала

Δω _ср = (Δω _i + Δω _i+1)/2 = Δ δ₁/Δ τ_i

Откуда, Δ τ_i = Δ δ_i / Δω _срi

Проводя такие вычисления по всем интервалам, получим искомую зависимость τ =f(δ), представ­ленную на рис. 8.2 б, от которой легко перейти к зависимости

t =

Построение ее будет тем точнее, чем меньше будет взята величина интервала Δ δ.

Численные методы решения дифференциальных нелинейных уравне-

ний. Метод последовательных интервалов.

Качественную оценку переходного процесса смены режимов при больших возмущениях (к каковым относится и КЗ) можно выполнить по зависимости Δ=f(t), которую можно получить численным решением системы нелинейных дифференциальных уравнений. Существует немало методов решений таких уравнений (методы решения с помощью рядов Тейлора, метод Эйлера, метод Рунге-Кутта и др.) Эти методы находят широкое применение при анализе переходных процессов в электрических системах. Мы рассмотрим здесь более простой, но в то же время дающий достаточно точные результаты при исследовании переходных процессов СЭС, который носит название метода последовательных интервалов. Этот метод позволяет учесть влияние управляющих

воздействий на характер переходного процесса от регулирования элемента,

АПВ и др.

Переходный процесс описывается уравнением

,

где . δ – рад

,

где . δ – град

Обосновывая метод последовательных интервалов, что поставленная задача уже решена и подлежащие определению зависимости построены, разобьём весь процесс на малые интервалы времени Δt и будем рассматривать его последовательно от интервала к интервалу. Выбирая одинаковые интервалы по времени, очевидно, будем иметь неодинаковые интервалы по углу. Каждый интервал может характеризоваться некоторыми начальными и конечными значениями угла, скорости, ускорения, действующими в данном интервале. Начальные значения этих величин в последующих интервалах будут равны конечным в предыдущих. Выберем интервал настолько малым, чтобы на протяжении его ускорение можно было считать неизменным. Практически при расчётах современных мощных систем выбирается интервал Δt=0,02 – 0,05 с. Наиболее точные результаты получаются, разумеется, при меньшем интервале, который должен выбираться тем меньше, чем меньше постоянная времени. При меньшем интервале погрешность расчёта на каждом интервале будет меньше, но при этом увеличится длительность расчёта.

В первом интервале начальная скорость равна нулю и при постоянном ускорении α0 (см. рис.5.2).

Изменение угла будет происходить по закону равномерно ускоренного движения.

Решение

граничные условия для определения С1

а) при t = 0 ∆ω = 0 С₁ = 0

т.о.

граничные условия для определения С1

б) при t = 0 ∆δ = 0 С₂ = 0

I интервал

Во втором интервале времени ротор генератора движется под действием избытка мощности ΔР1=Р0 – Pmax авsinδ1 и некоторой начальной скорости, приобретённой в первом интервале:

Решив уравнение (5.5) относительно приращения во втором интервале

времени, получим

После преобразования этого уравнения найдём

Для n-го интервала времени

Δδn=Δδ1+ kΔРn -1.

Если в i-м интервале времени происходит изменение режима с пере-

ходом из одной угловой характеристики мощности на другую, то прира-

щение угла определяется приращением

Δδ1=Δδi-1+0,5k(ΔР'i-1+ΔР''i-1).__

Упрощенные (приближенные) решения. Сов­ременные вычислительные средства (АВМ, ЦВМ) дают возможность численного интегрирования урав­нений вида (2), однако для общего анализа про­цессов и многих практических инженерных реше­ний важно уметь находить приближенное решение таких уравнений.

Трудность решения уравнения (2) обуслов­лена наличием синусоидальной функции угла δ. Поэтому простейшая возможность обеспечить ин­тегрирование уравнения (2) — это заменить си­нусоиду отрезком прямой (рис. 8.3,а). Можно провести линию АВ через точку, соответствующую установившемуся (точка а) и начальному (точка А) режимам. Разность между приведенной мощностью первичного двигателя Р_*^’’ и электрической мощ­ностью, равной sin δ, т. е. относительное ускорение ΔP_* = P_*^’’—sin δ, представлена на рис. 8.3,а отрезком 1 2.

Заменяя участок синусоиды А2а соответствующим отрезком прямой ΔP_* = (δ₀¹¹— δ₀¹)tgε и обозначая тангенс наклона аппроксимирующей прямой через

C = (P_*^II - P_*^I)/ (δ₀¹¹— δ₀¹)

вместо (2) будем иметь

∂²δ/∂τ² = Cδ₀¹¹—Cδ. (3)

Уравнение (3) легко интегрируется:

δ = δ₀¹¹ - (δ₀¹¹— δ₀¹) cos Cτ, (4)

где τ =

Напомним, как интегрируется (3).

Его характеристическое уравнение p²δ—Cδ = 0 имеет корни

р_1,2 = ±jC = ±jγ.

Решение полного уравнения имеет вид

.

Постоянные интегрирования A₁ и A₂находятся из начальных условий. При t = 0 начение δ = δ₀ и, следовательно, δ'₀== δ"₀ + А₁ + А₂; при t = 0 значение ∂δ/∂τ = 0, откуда

A₁ = A₂ = A = (δ₀¹— δ₀¹¹)/2;

δ = δ₀¹¹ + (δ₀¹— δ₀¹¹)(e^jγτ + e-^jγτ)/2 = δ₀¹¹ - Δδcos√CΔτ

Выражение (4) будет справедливо и при изменении наклона аппроксимирующей прямой, проходящей через точку а (например, кривая А' В' на рис. 8.3, а). Разумеется, результат прибли­женного расчета будет справедлив только в том интервале, где аппроксимирующая прямая достаточно близка к соответствующему отрезку синусоиды, а площадки ускорения и торможе­ния не слишком отличаются от действительных (определенных при синусоидальной зависимости). Сопоставление характера точного решения и решения при замене синусоиды прямой дано на рис. 8.3,б. Для повышения точности расчетов применяются различные корректирующие приемы, вводятся поправочные коэффициенты и т. д. Здесь на этом останавливаться не будем.

Рассмотренный подход к приближенному интегрированию справедлив и в случае, когда ха­рактеристика аварийного режима Р^II_m < Р_о или P_*^III > 1. Проводя при этом линеаризацию так, как это показано на рис. 8.4 будем иметь

δ = δ₀^III - (δ₀^III— δ₀^I)cos√Cτ (5)

Согласно (5) и соответственно рис. 8.4, можно определить предельное время отключения короткого замыкания. Полагая δ = δ _ОТКЛ, находим

cos√Cτ = (δ_откл— δ₀^III)/ (δ₀^I— δ₀^III)

или

Если принять

С = (sinδ_0ТКЛ - sinδ₀^I)/(8_откл- δ₀^I),

то время отключения

(6)

Уточненная аппроксимация синусоиды. Замена синусоиды прямой линией мо­жет привести к погрешностям в определении δ = f(t) и соответственно в определе­нии времени отключения аварии. Можно повысить точность решения, заменяя си­нусоидальную характеристику зависимостью

Р = sinδ ≈ C₀δ – bδ³ (7)

Варьируя коэффициенты С_о и b, можно получить наилучшее совпадение кривой C₀δ – bδ³ с тем или иным участком синусоиды. Минимальная квадратичная ошибка, обусловленная аппрокси­мацией при изменении δ от 0 до π, будет, если принять С_о = 0,855, b = 0,094.

После подстановки (7) в (2) уравнение движения приобретает вид

где Р* = P₀/P_m.

Такое уравнение может быть проинтегрировано.

Случай полного сброса мощности. рассматривалось. Случай движения ротора гене­ратора под действием только механического момента турбины при Р_т = 0, т. е. без отдачи генератором мощности в сеть имеет большое практическое значение, отвечая трехфазному короткому замыканию у шин генератора или отклю­чению генератора от линии (х₁₂ =оо). При этом прекращается связь генератора с нагрузкой и вся мощность турбины (Р_мех = Ро) идет на уско­рение ротора генератора. Это, следовательно, наиболее опасный случай в смысле разгона генератора и нарушения устойчивости.

Дифференциальное уравнение (1) при этом принимает вид

T_j∂²δ/∂t² = Р_о, (9)

Уравнение (9) интегрируется весьма просто. В самом деле, движение проис­ходит при постоянном ускорении α, причем α = ∂ω/∂t = P₀/Tj. Интеграл этого уравнения хорошо известен.

Рост скорости происходит линейно, а угла - по квадратичной параболе; вре­мя t, отвечающее какому-либо значению угла δ.

Если бы в начальный момент (t = 0) ротор имел некоторую скорость ∆ω = 0, то решение имело бы другой вид.

Влияние демпфирования и уменьшения момента турбины при полном сбросе мощности. Демпферные моменты, препятствующие движению, и уменьшение вращаю­щего момента турбины с ростом скорости (уменьшение «естественное», вызванное трением, потерями на гистерезис, действием регуляторов скорости) изменяют ха­рактер движения.

Основное уравнение (1) при учете демпфирования имеет вид

T_j∂²δ/∂t² + Р_d∂δ/∂t = Р_о, (10)

Решение (10) получаем в виде

(11)

Следовательно, скорость не возрастает непрерывно, а экспонен-циально стре­мится к некоторому установившемуся значению Р₀/Кd = ω_уст.

Литература:: [1], § 10.6 – 10.11.

[7], § 8.3 – 8.8.

Дата добавления: 2015-07-08