Справочная информация. Задача Коши для нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Задача Коши для нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений записывается в виде

или в матричной форме

, ,

где

, , .

Система дифференциальных уравнений связывает независимую переменную x, искомые функции y ₁, y ₂,..., y_n и их первые производные. В данном случае решение задачи Коши заключается в отыскании функций y ₁ = y ₁(x), y ₂ = y ₂(x),..., y_n = y_n (x), обращающих каждое уравнение системы в тождество на конечном или бесконечном интервале (a, b) и удовлетворяющих начальным условиям.

Такая форма записи задачи Коши является канонической для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. К ней могут быть приведены как любые другие формы представления систем дифференциальных уравнений, разрешённых относительно старших производных, так и дифференциальные уравнения высших порядков. Приведение дифференциальных уравнений высших порядков к нормальной системе дифференциальных уравнений осуществляется по следующей схеме. Если дана задача Коши вида

,

, , , …, ,

то замена переменных

, , , …, ,

сводит её к нормальной системе дифференциальных уравнений с начальными условиями

образующих задачу Коши.

Для решения такой задачи Коши используются те же методы, что для обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка. Это обуславливается тем, что матричная форма записи задачи Коши для нормальной системы полностью совпадает с её формулировкой для этих уравнений. Аналогична для неё и теорема о существовании единственного решения. Единственным отличием здесь является то, что вместо функций y (x) и f (x, y) используются вектор-функции y и f, состоящие из n функций y ₁(x), y ₂(x),..., y_n (x) и f ₁(x, y ₁,..., y_n), f ₂(x, y ₁,..., y_n),..., f_n (x, y ₁,..., y_n), соответственно. При этом расчётные схемы методов и оценки их погрешностей сохраняются.

Дата добавления: 2015-07-08