Дифференциал функции

Пусть функция y = f (x) определена на промежутке Х и дифференцируема в некоторой окрестности точки х ÎХ. Тогда существует конечная производная.

На основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функций можно записать

где a(D х) – бесконечно малая величина при D х ®0, откуда

D y = f ^/(x)D x +a(D х)D х. (3.5.1)

Таким образом, приращение функции D у состоит из двух слагаемых: 1) линейного относительно D х; 2) нелинейного (представляющего бесконечно малую более высокого порядка, чем D х, ибо

).

Определение. Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно Dх часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной

dy=f ^/(x) Dх. (3.5.2)

Пример 32. Найти приращение и дифференциал функции y =2 x ²–3 x при х =10 и Dх =0,1.

Решение. Приращение функции D y = f (x +D х)– f (x)=[2(x +D х)²–3(x + Dх) ] – – (2 x ²–3 x)= D х (4 x +2D х –3).

Дифференциал функции dy = f ^/(x)D х =(4 x –3)D х.

При х =10 и D х =0,1 имеем D y =3,72 и d y =3,70. Различие между D у и dy составляют всего 0,02 или 0,5%.

Пример 33. Найти дифференциал функции х=у.

Решение. dy = dx = x ^/× Dх, откуда

d x = Dх,

т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной.

Поэтому формулу для дифференцирования функции можно записать в виде

d y = f ^/(x)d x, (3.5.3)

f ^/(x)= . Теперь мы видим, что не просто символическое обозначение производной, а обычная дробь с числителем dy и знаменателем dx.

Проведем касательную к кривой y = f (x) в точке М, которая образует угол a с положительным направлением оси Ох, т. е. f ^/(x)=tg a. Из прямоугольного треугольника MKN KN=MN×tga=Dх tga=f ^/(x) Dх, dy=KN. Таким образом, дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции y=f(x) в данной точке, когда х получает приращение Dх.

Геометрический смысл дифференциала. Возьмем на графике функции y = f (x) произвольную точку М (х, у). Дадим аргументу х приращение D х. Тогда функция y = f (x) получит приращение D y = f (x +D х)– f (x) (см. рис. 3.25).

у

y+Dy=f(x+Dх) M ₁

K

Dу

y=f(x) M a dy

N

a Dх

O x x+Dх x

Рис. 3.25

Вопросы 5, 6, 7 изучаются студентами самостоятельно.

7. Заключение: Итак, развитие человеческого общества, усложнение задач производства, техники, торговли, транспорта потребовало введение в математику новых понятий - понятие производной функции и дифференциала функции, новой операции - дифференцирования функций. Повторим основные вопросы лекции.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте задачи, приводящие к понятию производной.

2. Дайте определение производной.

3. Каков геометрический смысл производной?

4. Запишите основные правила дифференцирования.

5. Как находится производная сложной функции?

6. Как находятся производные неявных функций?

7. Как находятся производные высших порядков?

8. Дайте определение дифференциала.

9. Каков геометрический смысл дифференциала?

Дата добавления: 2015-07-07