Правила дифференцирования.

1. Производная постоянной всегда равна нулю, т. е.

с^/= 0.

Правило очевидно, так как любое приращение постоянной функции y=с равно нулю.

2. Производная аргумента (независимой переменной) равна 1, т. е.

x^/= 1.

Правило следует из формулы (3.3.5) при n =1.

В следующих правилах будем полагать, что u=u(x) и v=v(x) – дифференцируемые функции.

3. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, т. е.

(u+v)^/=u^/+v^/. (3.3.6)

4. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, т. е.

(uv)^/=u^/v+uv^/. (3.3.7)

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

(cu)^/=cu^/. (3.3.8)

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные, например:

(uvw)^/=u^/vw+uv^/w+uvw^/. (3.3.9)

5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле

(3.3.10)

(при условии, что v¹ 0).

Пример 18. Найти производную функции y = f (x) и вычислить ее значение в точке х =1:

Решение: а) по формулам (3.3.7), (3.3.6), (3.3.5)

=

Значение производной в точке х =1 есть

б) сначала вынесем постоянный множитель за знак производной:

у^/= 15 (x ⁴ – 1 )^/= 15 × 4 x ³ = 60 x ³; y^/( 1 )= 60.

в) по формуле (3.3.10)

у^/ (1)=3.

Дата добавления: 2015-07-07