Производные высших порядков

Производные высших порядков. До сих пор мы рассматривали производную f¢ (x) от функции f(x), называемую производной первого порядка. Но производная f¢ (x) сама является функцией, которая также может иметь производную.

Производной n–го порядка называется производная от производной (n–1)–го порядка.

Обозначение производных: f¢¢ (x) – второго порядка (или вторая производная), f ^///(x) – третьего порядка (или третья производная).

Для обозначения производных более высокого порядка используются арабские цифры в скобках или римские цифры, например, f ⁽⁴⁾(x),..., f ⁽ⁿ⁾(x) или и т. д.

Выясним механический смысл второй производной. Выше было установлено, что если точка движется прямолинейно по закону s=s(t) (где s – путь, t – время), то s^/(t) представляет скорость изменения пути в момент t₀. Следовательно, вторая производная пути по времени s^//(t₀) = [s^/(t₀)] = v^/(t₀) есть скорость изменения скорости илиускорение точки в момент t₀.

Пример 21. Найти производные до n–го порядка включительно от функции y=ln x.

Решение: и т. д. Очевидно, что производная n–го порядка

Пример 22. Найти производные функций:

Решение: а) при дифференцировании следует учесть, что первое слагаемое представляет степенную функцию (y = ), ее аргумент – логарифмическую функцию плюс постоянную (u=lgх+1), а второе слагаемое – логарифмическую функцию (y = lnu, где u = +1):

б) данная функция представляет произведение двух функций и ln²x, каждая из которых является сложной функцией (y=5^u, где u=x³; y₁=u₁², где u₁=ln x).

Поэтому

Дата добавления: 2015-07-07