Производная сложной функции, производные основных элементарных функций.

Пусть переменная у есть функция от переменной u (y=f(u)), а переменная u, в свою очередь, есть функция от независимой переменной х, т. е. задана сложная функция y = f[j(x) ].

Теорема. Если y=f(u) и u=j(x) – дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу и умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной х, т.е.

y^/=f ^/(u)×u^/. (3.3.11)

С учетом полученного правила дифференцирования сложной функции (3.3.11)для функции y=uⁿ, где u=u(x), можно записать

(uⁿ) ^/=n×u^{n– 1} ×u ^/ (3.3.12)

Пример 19. Найти производные функций:

Решение: а) функцию можно представить в виде y = u ³, где u = Поэтому на основании формулы (3.3.12)

б) имеем поэтому по формулам (3.3.11), (3.3.12)

Производные основных элементарных функций

Дата добавления: 2015-07-07